Wymagania edukacyjne na maturze od roku 2024/2025

2. Treści nauczania - wymagania szczegółowe

Szczegółowe wymagania są podzielone na działy tematyczne, z wyszczególnieniem wymagań dla zakresu podstawowego i rozszerzonego.

I. Liczby rzeczywiste

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych, przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności, stosuje własności potęg, pierwiastków i logarytmów. Posługuje się pojęciem przedziału liczbowego i wartości bezwzględnej. Wykorzystuje te własności w praktycznych sytuacjach, np. w obliczeniach finansowych.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

II. Wyrażenia algebraiczne

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń stosuje wzory skróconego mnożenia na (a+b)2, (a−b)2, a2−b2. Dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany. Wyłącza jednomian poza nawias i mnoży/dzieli wyrażenia wymierne.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Uczeń dzieli wielomiany, rozkłada je na czynniki, znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych. Stosuje własności współczynnika dwumianowego i trójkąta Pascala. Korzysta z zaawansowanych wzorów skróconego mnożenia, np. na 
• a3+b3, a3−b3, an−bn.

III. Równania i nierówności

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń przekształca równania i nierówności w sposób równoważny. Rozwiązuje nierówności liniowe, równania i nierówności kwadratowe oraz równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną. Stosuje wzory Viète’a. Analizuje równania i nierówności liniowe oraz kwadratowe z parametrami.

IV. Układy równań

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi i interpretuje je geometrycznie. Stosuje układy do rozwiązywania zadań tekstowych.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi.

V. Funkcje

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń określa funkcję za pomocą różnych form (opis, tabela, wykres, wzór). Oblicza wartości funkcji, odczytuje i interpretuje jej własności z wykresu (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność). Wyznacza wzory funkcji liniowej i kwadratowej, interpretuje ich współczynniki i szkicuje wykresy.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Uczeń szkicuje wykresy funkcji y=−f(x) i y=f(−x) na podstawie wykresu y=f(x). Posługuje się złożeniami funkcji. Dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem.

VI. Ciągi

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń oblicza wyrazy ciągów określonych wzorem ogólnym lub rekurencyjnie. Sprawdza, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny i stosuje odpowiednie wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach oraz twierdzenia o trzech ciągach. Rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

VII. Trygonometria

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń wykorzystuje definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0∘ do 180∘. Stosuje podstawowe wzory: 
• sin2α+cos2α=1 i tgα=cosαsinα​. Stosuje twierdzenie cosinusów i wzór na pole trójkąta 
• P=21​⋅a⋅b⋅sinγ.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Uczeń stosuje miarę łukową i posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych. Stosuje wzory redukcyjne oraz wzory na sumę i różnicę kątów. Rozwiązuje równania trygonometryczne. Stosuje twierdzenie sinusów i cosinusów do rozwiązywania trójkątów. Uczeń powinien znać dowody na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, a także twierdzenie sinusów.

VIII. Planimetria

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń wyznacza promienie, średnice i długości cięciw okręgów. Rozpoznaje trójkąty (ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne) przy danych długościach boków, stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Stosuje twierdzenie Talesa oraz cechy podobieństwa trójkątów. Przeprowadza dowody geometryczne.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu. Stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Uczeń powinien poznać dowody twierdzeń o odcinkach w trójkącie prostokątnym, twierdzenia o dwusiecznej, wzoru na pole trójkąta 
• P=21​⋅a⋅b⋅sinγ oraz twierdzenia cosinusów.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń rozpoznaje wzajemne położenie prostych na podstawie ich równań. Posługuje się równaniami prostych (kierunkowym i ogólnym), oblicza odległość dwóch punktów, posługuje się równaniem okręgu.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz dwóch okręgów. Zna pojęcie wektora, oblicza jego współrzędne, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę.

X. Stereometria

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną. Oblicza objętości i pola powierzchni brył (graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli), również z użyciem trygonometrii. Wykorzystuje zależności między objętościami brył podobnych.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych. Wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych.

XI. Kombinatoryka

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosując reguły mnożenia i dodawania.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń oblicza liczbę możliwych sytuacji z wykorzystaniem wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji. Stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym. Oblicza średnią arytmetyczną i ważoną, znajduje medianę i dominantę.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Dodatkowo uczeń oblicza prawdopodobieństwo warunkowe, stosuje wzór Bayesa, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym oraz schemat Bernoullego.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

• 
  
• Zakres podstawowy: Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne dające się opisać funkcją kwadratową.
• 
  
• Zakres rozszerzony: Uczeń oblicza granice funkcji (w tym jednostronne), stosuje własność Darboux. Stosuje definicję pochodnej i podaje jej interpretację geometryczną i fizyczną. Oblicza pochodne, bada monotoniczność funkcji i rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Komentarz eksperta: Wymagania rozszerzone to zdecydowanie duży skok w kierunku myślenia akademickiego. Wprowadzenie pojęć takich jak dowód kombinatoryczny, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenia o pochodnych, czy prawdopodobieństwo warunkowe pokazuje, że matura na tym poziomie ma na celu sprawdzenie nie tylko znajomości wzorów, ale przede wszystkim umiejętności wnioskowania i rozumienia abstrakcyjnych pojęć. Warto zwrócić uwagę na fragment dotyczący nauczania pochodnych, które mają być wprowadzane intuicyjnie, przez interpretację fizyczną (prędkość chwilowa) i geometryczną (styczna do wykresu), co jest świetnym podejściem do trudnych, abstrakcyjnych zagadnień.