Matura podstawowa matematyka czerwiec 2020 - interaktywny arkusz + PDF

Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

Liczba \(\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{36^{10}}\) jest równa

Liczba \(\log_{5}\sqrt{125}\) jest równa

Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)>2(3x-1)-12x\) jest przedział

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle1,4\rangle\) jest równa

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).

Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) jest równa

Proste o równaniach \(y = (m - 2)x\) oraz \(y = \frac{3}{4}x + 7\) są równoległe. Wtedy

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2\) dla \(n\ge1\). Różnica \(a_{5}-a_{4}\) jest równa

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\) jest równa

Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że

Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę \(118\degree\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) (zobacz rysunek).

Wyrażenie \(2\cos\alpha-\sin\beta\) jest równe

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A = (−3, 5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: \(1, 3, 5, 7, 9\), w których cyfry się nie powtarzają?

Pole prostokąta \(ABCD\) jest równe \(90\). Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano – odpowiednio – punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Pole czworokąta \(APCR\) jest równe

Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\) . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\) cm\(^3\).

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

Rozwiąż równanie \((x^2-1)(x^2-2x)=0\).

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a-2b)+2b^2\gt0\).

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos\alpha}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\big\lang2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\big\rang\).

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.