Matura podstawowa matematyka czerwiec 2021 - interaktywny arkusz + PDF

Wartość wyrażenia \(\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})\) jest równa

Liczba \(\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}\) jest równa

Niech \(\log_{3}18=c\). Wtedy \(\log_{3}54\ \) jest równy

Cenę drukarki obniżono o \(20\%\), a następnie nową cenę obniżono o \(10\%\). W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((x-1)^2-(2-x)^2\) jest równe

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), spełniających jednocześnie nierówności \(0 < 7-3x\ \) oraz \(\ 7-3x\le5x-3\).

Rozwiązaniem równania \(x\sqrt{3}+2=2x-8\) jest liczba

Równanie \(\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \((-1,7)\).

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-3(x+4)(x-2)\ \) jest parabola o wierzchołku \(W=(p,q)\). Współrzędne wierzchołka \(W\) spełniają warunki

Na rysunku przedstawiono <u>fragment</u> wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\ \) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).

Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Na rysunku przedstawiono <u>fragment</u> wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\ \) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \((-4)\) jest równa

Dane są ciągi \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n}), (d_{n}),\) określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) wzorami: \(a_{n}=20n+3, b_{n}=2n^2-3, c_{n}=n^2+10n-2, d_{n}=\frac{n+187}{n}\). Liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu

Ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_{n})\). Wtedy

Kąt o mierze \(\alpha\) jest ostry i \(\tg\alpha=\sqrt{5}\). Wtedy

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\). Odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy \(AOB\) ma miarę \(82\degree\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(OBC\) jest równa

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Punkty \(B\) i \(C\) są położone na okręgu tak, że \(BC\) jest jego średnicą. Cięciwa \(AB\) tworzy ze styczną kąt o mierze \(40\degree\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC|=24\), \(|BC|=10\), \(|AB|=26\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą \(5\). Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120\degree\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Prosta przechodząca przez punkty \(\ (-4,-1)\ \) oraz \(\ (5,5)\ \) ma równanie

Proste o równaniach \(y=-\frac{1}{m-2}x-1\ \) i \(\ y=\frac{1}{3}x+1\) są równoległe. Wynika stąd, że

W prostokącie \(ABCD\) dane są wierzchołki \(C=(-3,1)\) oraz \(D=(2,1)\). Bok \(AD\) ma długość \(6\). Pole tego prostokąta jest równe

Obrazem prostej o równaniu \(x-2y+3=0\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest prosta o równaniu

Graniastosłup prawidłowy ma \(36\) krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa \(4\). Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest \(2\) razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera - spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o \(25\%\) więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: \(2\), \(3x\), \(3x+2\), \(3x+4\) jest równa \(\frac{13}{2}\). Wynika stąd, że

Rozwiąż nierówność:

\(2(x+1)(x-3) < x^2-9\)

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a, b\ \) i \(\ c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\ \) i \(\ \frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność

\(\frac{a+c}{2} < b\)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_{n})\).

Dany jest trapez o podstawach długości \(\ a\ \) oraz \(b\ \) i wysokości \(\ h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o \(25\%\), a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.

W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach – odpowiednio – \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest \(17\) razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz \(\frac{|CE|}{|EB|}\).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\), losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez \(4\).

Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(\ ABC\ \) jest zawarta w prostej o równaniu \(\ y=-2x+16\). Wierzchołki \(\ B\ \) i \(\ C\ \) mają współrzędne \(\ B=(3,10)\ \) i \(\ C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(\ A\ \) i pole trójkąta \(\ ABC\).