Matura podstawowa z matematyki | Czerwiec 2025 | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x − 6| = 4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn \(x_1\cdot{x_2}\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(20\)

C. \(24\)

D. \(100\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(256\cdot{\sqrt[3]{8^2}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2^8\)

B. \(2^{10}\)

C. \(2^{16}\)

D. \(2^{36}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn \(2\cdot{\log_{3}5}\) jest równy \(\log_{3}25\).

Prawda

Fałsz

Suma \(2+\log_{3}5\) jest równa \(\log_{3}10\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((\sqrt{3}+1)^2−\sqrt{12}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(4-4\sqrt{3}\)

B. \(4-2\sqrt{3}\)

C. \(2\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dana jest nierówność

\(8-\frac{1-2x}{2}\geq3x\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(4(x-1)^2(x^2−25) = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. dwa rozwiązania.

B. trzy rozwiązania.

C. cztery rozwiązania.

D. pięć rozwiązań.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

W maju \(2024\) roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie \(1410\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(70\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju \(2024\) roku. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność

\(x(x+4)<x-2\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x)=\begin{cases} -x-2&\text{dla }\ x \in(-5,-2]\\ 0&\text{dla }\ x \in(-2,1]\\ x &\text{dla }\ x \in(1,3]\end{cases}\)

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(..................\) . \(2\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(..................\) . \(3\). Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji \(f\) jest przedział \(..................\) . \(4\). Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<f(-3)\) jest przedział \(..................\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) należy do przedziału

Wybierz odpowiedź:

A. \((-\infty,-1)\)

B. \((-1,0)\)

C. \((0,1)\)

D. \((1,+\infty)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=5x\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi \(Ox\) i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej \(g\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(g(x)=5x-5\)

B. \(g(x)=5x-1\)

C. \(g(x)=5x+1\)

D. \(g(x)=5x+5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2, 15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.1

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(18\)

B. \(24\)

C. \(60\)

D. \(90\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.2

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n= 3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

Prawda

Fałsz

Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15.1

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), dane są wyrazy: \(a_1=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica ciągu \((a_n)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((−\frac{25}{12})\)

B. \((-2)\)

C. \(2\)

D. \(\frac{25}{12}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15.2

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), dane są wyrazy: \(a_1=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_{25}\) dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(675\)

B. \(700\)

C. \(1300\)

D. \(1325\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg \((4,\ m,\ m−1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-3)\)

B. \((-2)\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sin^{3}25\degree+{\sin25\degree}\cdot\cos^{2}25\degree}{\cos25\degree}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sin25\degree\)

B. \(\cos25\degree\)

C. \(\tg25\degree\)

D. \(1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\) .

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{7}\) .

Prawda

Fałsz

Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{4}{7}\) .

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19.1

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10, 24, 26\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{10}{3}\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(\frac{80}{13}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19.2

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10, 24, 26\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{80}{13}\)

B. \(\frac{20}{3}\)

C. \(12\)

D. \(13\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego \(AGD\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(18\degree\)

B. \(36\degree\)

C. \(54\degree\)

D. \(60\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Kwadrat \(\mathcal{K}_2\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_1\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_1\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sqrt{3}\)

B. \(3\)

C. \(\sqrt{13}\)

D. \(13\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=5x+7\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Punkt o współrzędnych \((p, 2)\) należy do prostej \(l\).

Oblicz \(p\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu

\(\mathcal{O}:(x+1)^2+(y-2)^2=9\)

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. \((x+1)^2+(y+2)^2=9\)

B. \((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

C. \((x-1)^2+(y+2)^2=9\)

D. \((x-1)^2+(y-2)^2=9\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94.5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\).

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(20\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(\sqrt{5}\)

C. \(\sqrt{10}\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60\degree\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego stożka jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(2\sqrt{3}\)

C. \(3\sqrt{3}\)

D. \(3\sqrt{5}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Dane są dwa zbiory: \(X=\{−3,−2,−1, 0, 1, 2\}\) oraz \(Y=\{−2,−1, 0, 1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x, y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x, y)\), która będzie spełniać warunek \(x\cdot{y}\ge 0\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(108\)

B. \(117\)

C. \(126\)

D. \(162\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(12\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(2a,\ 3a,\ 2b,\ 3b,\ 2c,\ 3c\), jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(12\)

C. \(30\)

D. \(60\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie \(...............\) uczniów tej klasy. \(2\). Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa \(...............\) . \(3\). Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa \(...............\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(\mathcal{Z}\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

\(\mathcal{Z}(x)=(500+50x)(16−x)\)

gdzie: \(x\) – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x\ge 1\) i \(x\le 14\), \(\mathcal{Z}\) – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Roczny zysk \(\mathcal{Z}\) ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla \(x\) równego

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(7\)

D. \(14\)