Matura podstawowa matematyka grudzień 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}\) jest równa

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za \(40\ 000\) zł oprocentowane \(7\%\) w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa

Właściciel sklepu kupił w hurtowni \(50\) par identycznych spodni po \(x\) zł za parę i \(40\) identycznych marynarek po \(y\) zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił \(8000\) zł. Po doliczeniu marży \(50\%\) na każdą parę spodni i \(20\%\) na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cenę pary spodni \(x\) oraz cenę marynarki \(y\), jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań

Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) są dodatnie oraz \(x \neq y\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie \(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}\) można przekształcić do postaci

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -\log x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x = \sqrt{10}\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędne \((5, -3)\). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych ma współrzędne \((4, 0)\).

Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji \(f\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędne \((5, -3)\). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych ma współrzędne \((4, 0)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Dana jest nierówność kwadratowa

\((3x - 9)(x + k) < 0\)

z niewiadomą \(x\) i parametrem \(k \in R\). Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \((-2, 3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie \(a\), \(b\) i \(c\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(a \neq 0\) oraz \(c < 0\). Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji \(f\) leży w całości

ponieważ

Dany jest układ równań

\(y = x - 1 \\ y = -x + 1\)

Na którym z rysunków A-D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest wielomian \(W\) określony wzorem \(W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian \(W\) przy rozkładzie na czynniki ma postać

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{(4 - x)(2x - 3)}{(3x - 5)(3 - 2x)} = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dana jest nierówność

\(\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(5n^2 + 15n\) jest podzielna przez \(10\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 2n^2 + n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Pięciowyrazowy ciąg \((-3, \frac{1}{2}, x, y, 11)\) jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby \(x\) oraz \(y\) są równe

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

W tym ciągu \(a_1 = -5\), \(a_2 = 15\), \(a_3 = -45\).

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu \((a_n)\) ma postać

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\frac{1}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{16}{9}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) jest równa

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Ponadto \(|\angle AOC| = 130 \degree\) oraz \(|\angle BOA| = 110 \degree\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wewnętrznego \(BAC\) trójkąta \(ABC\) jest równa

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości \(200\) m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary \(a\) i \(b\) kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(8\). Z wierzchołka \(A\) zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe

Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|AD| = 4\) i \(|OD| = |BC| = 6\). Kąty \(ODA\) i \(BCO\) są proste (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka \(OC\) jest równa

Przekątne równoległoboku \(ABCD\) mają długości: \(|AC| = 16\) oraz \(|BD| = 12\). Wierzchołki \(E\), \(F\), \(G\) oraz \(H\) rombu \(EFGH\) leżą na bokach równoległoboku \(ABCD\) (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Oblicz długość boku rombu \(EFGH\).

Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC| = 4\), \(|AB| = 3\), \(\cos \angle BAC = \frac{4}{5}\).

Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Zapisz obliczenia.

Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\) o polu równym \(6 \sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta \(ABE\) jest równe

Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\) o polu równym \(6 \sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka \(AE\) jest równa

Dany jest trapez \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\) oraz przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa \(12\). Obwód trójkąta \(ABO\) jest równy \(39\), a obwód trójkąta \(CDO\) jest równy \(13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość trójkąta \(ABO\) poprowadzona z punktu \(O\) jest równa

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg \(O\) o równaniu

\((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 13\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(O\) przecina oś \(Oy\) w punktach o współrzędnych

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach

\(k:\ y = \frac{1}{3} x - 1\)

\(l:\ y = -3x + 6\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste \(k\) oraz \(l\)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są punkty \(A = (1, 2)\) i \(B = (2m, m)\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta \(k\) o równaniu \(y = -x - 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) jest równoległa do prostej \(k\), gdy

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(9\). Wierzchołki podstawy \(ABCD\) sześcianu połączono odcinkami z punktem \(W\), który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy \(EFGH\). Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDW\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość \(V\) ostrosłupa \(ABCDW\) jest równa

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(9\). Wierzchołki podstawy \(ABCD\) sześcianu połączono odcinkami z punktem \(W\), który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy \(EFGH\). Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDW\) (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian \(F\) o krawędzi długości \(a\) i objętości \(V\) oraz sześcian \(G\) o krawędzi długości \(3a\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość sześcianu \(G\) jest równa

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy \(2 : 7\). Zakupiono jeden los z tej loterii.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:

w I donicy - \(133\) nasiona

w II donicy - \(140\) nasion

w III donicy - \(119\) nasion

w IV donicy - \(147\) nasion

w V donicy - \(161\) nasion.

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe \(\sigma = 14\).

Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Zapisz obliczenia.