Matura podstawowa matematyka grudzień 2023 - interaktywny arkusz + PDF

Próbny • CKE • grudzień 2023 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\Big(3^{-2.4} \cdot 3^{\frac{2}{5}}\Big)^{\frac{1}{2}}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $0.3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_296 - \log_23$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\log_293$

B. $\log_230$

C. $4$

D. $5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę $4851$ zł (bez uwzględnienia podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4300$ zł

B. $4400$ zł

C. $4500$ zł

D. $4600$ zł

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Na osi liczbowej zaznaczono przedział.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Wybierz odpowiedź:

A. $|x-2|<5$

B. $|x-2|>5$

C. $|x-5|<2$

D. $|x-5|>2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2+4n+1$ jest podzielna przez $4$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest układ równań $\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x +y + 3 = 0 \end{cases}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Wybierz odpowiedź:

A. $x=1$ i $y=2$

B. $x=0$ i $y=-3$

C. $x=-2$ i $y=1$

D. $x=-1$ i $y=-1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-3)$ i $(-2)$ wartość wyrażenia $\frac{x+3}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x^2+2x}{2x+6}$ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{x}{2}$

B. $\frac{x}{4}$

C. $\frac{x}{2x+4}$

D. $\frac{x^3+3x^2}{6x^2+24x+24}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dany jest wielomian $W(x) = −3𝑥^3 − 𝑥^2 + kx + 1$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian $\textrm{W}$ można zapisać w postaci $W(x) = (x + 1) \cdot Q(x)$ dla pewnego wielomianu $Q$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $29$

B. $(-3)$

C. $0$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie

$2x^3 + 3x^2 = 10x + 15$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = −\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $4$.

Prawda

Fałsz

Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Oy$ ma współrzędne $\big(0, -\frac{1}{6}\big)$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\infty,-2]$

B. $(-\infty,4]$

C. $[-2, +\infty)$

D. $[4, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Kliknij, aby powiększyć

Zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci: .$...$ oraz $...$.

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x + 1)$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, fragment wykresu funkcji $y = g(x)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji $y = g(x)$ przedstawiono na rysunku

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze $22\degree\textrm{C}$ opisuje funkcja wykładnicza $T(x) = 78 ⋅ 2 ^{−0.05x} + 22$, gdzie $T(x)$ to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza $(\degree\textrm{C})$ po $x$ minutach liczonych od momentu $x = 0$, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Temperatura naparu po $20$ minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $22\degree\textrm{C}$

B. $39\degree\textrm{C}$

C. $78\degree\textrm{C}$

D. $61\degree\textrm{C}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. W tym ciągu $a_2 = 4$ oraz $a_3 = 9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $24$

B. $29$

C. $36$

D. $69$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem $\textrm{S}_n = 4 ⋅ (2^n − 1)$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $4$.

Prawda

Fałsz

Drugi wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $12$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Trzywyrazowy ciąg $(1 − 2a, 12, 48)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-1)$

B. $3$

C. $4$

D. $12.5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki: $\alpha \in (0\degree, 180\degree)$ i $\tg\alpha = − \frac{2}{3}$ oraz $\beta \in (0\degree, 180\degree)$ i $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $\beta$. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią $\textrm{O}x$, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: $A$ lub $B$, lub $C$, lub $D$, lub $E$, lub $F$.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Kliknij, aby powiększyć

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $l$ o równaniu $y =\frac{3}{2}x − \frac{15}{2}$. Prosta $\textrm{k}$ jest prostopadła do prostej $l$ i przechodzi przez punkt $P = (6, 0)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $k$ ma równanie

Wybierz odpowiedź:

A. $y = \frac{3}{2}x + 6$

B. $y = -\frac{2}{3}x + 6$

C. $y = \frac{3}{2}x - 9$

D. $y = -\frac{2}{3}x + 4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$k: y = -\frac{1}{2}x-7$ $l: y = (2m-1)x +13$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. $m = (-\frac{1}{2})$

B. $ m = \frac{1}{4}$

C. $m = \frac{3}{2}$

D. $m=2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (4, −2)$. Okrąg $\mathcal{O}$ jest styczny do osi $Ox$ układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. $(x-4)^2+(y+2)^2=4$

B. $(x-4)^2+(y+2)^2=2$

C. $(x+4)^2+(y-2)^2=4$

D. $(x+4)^2+(y-2)^2=2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $K = (−7, −2)$ oraz $L = (−1, 4)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $KLM$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $KLM$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $17\sqrt{2}$

B. $17\sqrt{3}$

C. $18\sqrt{2}$

D. $18\sqrt{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ kąt o mierze $32\degree$. Ponadto odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta rozwartego $BOC$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $148\degree$

B. $116\degree$

C. $154\degree$

D. $122\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W rombie $ABCD$ dłuższa przekątna $AC$ ma długość $12$ i tworzy z bokiem $AB$ kąt o mierze $30\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole rombu $ABCD$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $24$

B. $36$

C. $24\sqrt{3}$

D. $36\sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S$. Średnica $AB$ tego okręgu przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Ponadto: $|PB| = 4$, $|PC| = 8$ oraz $|PD| = 5$.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz promień okręgu $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $5$. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt $P$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma odległości punktu $P$ od wszystkich ścian sześcianu $ABCDEFGH$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $15$

B. $20$

C. $25$

D. $30$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $384$. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\tg\alpha =\frac{4}{3}$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $(−3)$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{4}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [$19$ dag, $21$ dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą $50$ jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Kliknij, aby powiększyć

Spośród $50$ zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{5}{7}$

C. $\frac{18}{25}$

D. $\frac{9}{10}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie $1$., $2$. albo $3$.

Dominanta masy $50$ zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $20$ dag,

B. $23$ dag,

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. ta masa jest największa w tej próbie.

2. iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.

3. ta masa występuje najliczniej w tej próbie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość $12$ dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa $18$ dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 1: Dokument zawiera zasady oceniania rozwiązań zadań dla egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym. Wymienione są formy arkusza: MMAP-P0-100, MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-660, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00, MMAP-P0-K00, MMAU-P0-100. Termin egzaminu: 7 grudnia 2023 r. Data publikacji dokumentu: 12 grudnia 2023 r.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1): Wymagania egzaminacyjne dotyczące sprawności rachunkowej, wykonywania obliczeń na liczbach rzeczywistych, potęgowania i pierwiastkowania. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: C.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0–1): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, stosowanie obiektów matematycznych. Rozwiązanie D. Zadanie 3 (0–1): Sprawność rachunkowa, wykorzystanie własności potęgowania i pierwiastkowania, obliczanie procentów składanych. Rozwiązanie B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 4: Zadanie 4 (0–1): odpowiedź A, interpretacja wartości bezwzględnej i nierówności. Zadanie 5 (0–2): dowód podzielności, przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 4n + 1$ do postaci $4(3l^2 + 5l + 2)$, zapisanie, że $l$ jest liczbą całkowitą lub suma $3l^2 + 5l + 2$ jest całkowita. Alternatywne przekształcenia i dowody podzielności przez 4.$

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 5: Zadanie (1 pkt): przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 4n + 1$ do różnych postaci, m.in. $2(n^2 + n) + (n + 1)^2$, z założeniem $n = 2l + 1$ lub $n = 4l + 1$. Rozważanie przypadków dla różnych wartości $l$, wykazanie, że wyrażenie jest liczbą całkowitą. Przykładowe pełne rozwiązanie: $n = 2l + 1$, przekształcenie do $4(3l^2 + 5l + 2)$.$

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 6: Zadanie 1: Dowód podzielności przez 4 wyrażenia 4(3l² + 5l + 2). Sposób II: Przekształcenie 3n² + 4n + 1, zapisanie n jako 2l + 1, obliczenia prowadzą do 4(3l² + 3l + 1). Sposób III: Wyznaczenie delty Δ=4, pierwiastki n₁=-1/3, n₂=-1, iloczyn (3n + 1)(n + 1), dowód podzielności przez 4. Sposób IV: Zapisanie jako suma dwóch liczb podzielnych przez 4, przekształcenie do 4(n² + n) + (1 - n)(1 + n), dowód podzielności przez 4.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 7: Sposób V: analiza liczby n przy dzieleniu przez 4 z resztą 1 i 3, zapis n=4l+1 oraz n=4l+3, rozwinięcie 3n²+4n+1, końcowe iloczyny 4(12l²+10l+2) i 4(12l²+22l+10) podzielne przez 4. Zadanie 6 (0–1): wymagania egzaminacyjne, interpretacja reprezentacji, rozwiązanie układów równań liniowych, odpowiedź C, punktacja 1 pkt za poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 8: Zadanie 7 (1 pkt): wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, poprawna odpowiedź C. Zadanie 8 (1 pkt): rozwiązanie równań wielomianowych, poprawna odpowiedź D. Wymagania egzaminacyjne obejmują stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 9: Zadanie 9 (0–3 pkt): wymagania egzaminacyjne dotyczące przekształcania równań i nierówności oraz rozwiązywania równań wielomianowych metodą grupowania. Rozwiązanie równania 2x³ + 3x² = 10x + 15 do postaci iloczynowej, przykłady przekształceń i rozwiązań, np. (2x + 3)(x² - 5) = 0, x = -3/2, x = -√5, x = √5. Szczegółowe etapy przekształceń i obliczeń, brak elementów graficznych.

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 10: Zadanie (1 pkt): przekształcenie równania $2x^3 + 3x^2 = 10x + 15$ do postaci $W(x) = 0$, gdzie $W(x) = (2x+3)(x^2-5)$. Przykładowe pełne rozwiązania: Sposób I - przekształcenie równania metodą grupowania wyrazów, wynik: $(2x+3)(x^2-5)=0$. Rozwiązania: $x=-\frac{3}{2}, x=\sqrt{5}, x=-\sqrt{5}$.$

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 11: Zadanie 1: Rozwiązanie równania (2x+3)(x−√5)(x+√5)=0, x=−3/2, x=√5, x=−√5. Sposób II: Przekształcenie równania 2x³+3x²=10x+15 metodą grupowania, uzyskane równanie (2x+3)(x²−5)=0, rozwiązania x=−3/2, x=√5, x=−√5. Sposób III: Podział wielomianu, pierwiastek −3/2, dzielenie przez x+3/2, uzyskane (x+3/2)(x²−5), rozwiązania x=−3/2, x=√5, x=−√5.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 12: Zadanie 4: rozwiązanie równania 2(x + 3/2)(x - √5)(x + √5) = 0, x = -3/2, x = √5, x = -√5. Sposób IV: przekształcenie równania 2x³ + 3x² = 10x + 15 do postaci alternatywnej, rozwiązania: x = -3/2, x = √5, x = -√5. Sposób V: równoważne przekształcenie równania, x = -3/2 jako rozwiązanie, rozwiązanie w zbiorze, x² = 5, x = √5, x = -√5. Rozwiązania: (-√5), (-3/2), √5.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 13: Zadanie 10 (0–1 pkt): interpretacja współczynników we wzorze funkcji liniowej, odpowiedź PF. Zadanie 11.1 (0–1 pkt): odczytywanie informacji z wykresu funkcji, odpowiedź C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub niepoprawną albo brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 14: Zadanie 11.2 (1 pkt): interpretacja wykresu funkcji, rozwiązanie (2, 6). Zadanie 11.3 (2 pkt): wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu, rozwiązanie AB. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź w zadaniu 11.2, 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi w zadaniu 11.3.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 15: Zadanie 11.4 (1 pkt): Wykorzystanie i tworzenie informacji, odpowiedź B. Zadanie 12 (1 pkt): Interpretacja funkcji wykładniczej i obliczanie wartości funkcji, odpowiedź D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 16: Zadanie 13 (0–1 pkt): Wymagania: stosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Rozwiązanie: A. Zadanie 14 (0–1 pkt): Wymagania: obliczanie wyrazów ciągu ogólnym wzorem, stosowanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Rozwiązanie: PF. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub niepoprawną.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 17: Zadanie 15 (0–1): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, odpowiedź A, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 16 (0–1): Stosowanie obiektów matematycznych, odpowiedzi 16.1 B, 16.2 D, 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi. Zasady oceniania i wymagania egzaminacyjne dla obu zadań.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 18: Zadanie 17 (1 pkt): wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych i wzorów trygonometrycznych, odpowiedź A. Zadanie 18 (1 pkt): posługiwanie się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, odpowiedź D. Brak szkiców i wykresów, zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 19: Zadanie 19 (0–1): Wymagania dotyczące wykorzystania równań prostych na płaszczyźnie, odpowiedź B, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 20 (0–1): Wymagania dotyczące równań okręgu, odpowiedź A, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Brak szkiców i wykresów.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 20: Zadanie 21 (1 pkt): obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych, rozwiązanie D. Zadanie 22 (1 pkt): stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych, twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą, rozwiązanie B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 21: Zadanie 23 (0–1): Wykorzystanie informacji, odpowiedź C, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 24 (0–2): Rozumowanie i argumentacja, obliczenie promienia okręgu O: r = 7, 2 pkt za poprawną metodę, 1 pkt za wykazanie podobieństwa trójkątów APC i BPD lub APD i BPC, równość z podobieństwa trójkątów do obliczenia odcinka PA.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 22: Zadanie 1: Rozwiązanie zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów. Sposób I: Trójkąty ACP i BPD są podobne na podstawie cechy KKK, wyliczenie proporcji boków, końcowy wynik promienia r okręgu O: r=7. Sposób II: Podobieństwo trójkątów APD i BPC, również na podstawie cechy KKK, analogiczne wyliczenia, końcowy wynik promienia r okręgu O: r=7.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 23: Zadanie 25 (0–1 pkt): zastosowanie twierdzenia o siecznych okręgu, obliczenie |PA|=10, długość średnicy okręgu AB=14, promień r=7. Wymagania egzaminacyjne: interpretacja reprezentacji, rozpoznanie położenia prostych, obliczanie objętości brył. Rozwiązanie: A. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź, 0 pkt za brak lub błędną odpowiedź.

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 24: Zadanie 26 (0–3 pkt): obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa, wynik: $ h_b = 10 $. Obliczenie współczynnika proporcjonalności: $ x = 2 $, długości krawędzi podstawy: $ a = 12 $, wysokości ostrosłupa: $ H = 8 $. Objętość ostrosłupa: 384, równanie z niewiadomą $ h_b $, obliczenie objętości $ V_1 = 48 $, skala podobieństwa $ k = 2 $. Punktacja: 3 pkt za poprawną metodę i wynik, 2 pkt za obliczenia, 1 pkt za oznaczenie połowy krawędzi.$

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 25: Zadanie dotyczące obliczeń związanych z ostrosłupem. Zapisanie równań z niewiadomymi a i H do wyznaczenia krawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np. $ \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{4}{3} $ oraz $ \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H = 384 $. Obliczenie objętości $ V_1 = 48 $ ostrosłupa o krawędzi podstawy $ a_1 = 6 $ i wysokości $ H_1 = 4 $. Uwagi dotyczące punktacji i błędów w rozwiązaniach.$

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 26: Zadanie: analiza trójkąta prostokątnego SOE, wyznaczenie długości boków |SO|=4x, |OE|=3x, kąt α, tangens α=4/3. Szkic ostrosłupa z trójkątem prostokątnym. Obliczenia z twierdzenia Pitagorasa: (hb)²=16x²+9x²=25x², hb=5x. Obliczenie objętości ostrosłupa V=384, x=2, hb=10.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 27: Zadanie 7: obliczenie wysokości ostrosłupa i jego objętości. Przyjęte oznaczenia: α, a, H, hb, V, pp. Rozwiązanie: w trójkącie prostokątnym SOE, tg α = |S0|/|OE| = H/(1/2a) = 4/3, stąd H = (2/3)a. Objętość V = (1/3)·a²·H = (2/9)a³. Dany V = 384, równanie (2/9)a³ = 384. Szkic: ostrosłup z oznaczeniami kątów i wysokości.

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 28: Zadanie 7: obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa. Rozwiązanie: a³=384, a=12, H=8. Z twierdzenia Pitagorasa: $|SE|^2=|SO|^2+|OE|^2$, $(h_b)^2=H^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2$, $h_b=10$. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami: $H$, $h_b$, $\alpha$. Oznaczenia: $\alpha$, $a$, $H$, $h_b$, $V$, $p_p$. Punkt O jako przecięcie przekątnych.$

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 29: Zadanie 1: Obliczenia trygonometryczne, tg α = 4/3, sin α = 4/5, cos α = 3/5. Zadanie 2: Z trójkąta prostokątnego ΔOS, sin α = H/hb, cos α = 1/2a/hb, H = 4/5 hb, a = 6/5 hb. Zadanie 3: Objętość ostrosłupa V = 384, obliczenia z proporcją, hb = 10.

$Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 30: Zadanie dotyczące ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $A_1B_1C_1D_1S_1$ o wysokości 4 i krawędzi podstawy 6. Obliczenie objętości $V_1=\frac{1}{3}\cdot6^2\cdot4=48$. Stosunek objętości ostrosłupów $k^3=\frac{V}{V_1}=\frac{384}{48}=8$, stąd $k=2$. Wysokość ściany bocznej $S_1E_1=5$, szukana wysokość 10. Rysunek ostrosłupa z zaznaczonymi krawędziami i kątami.$

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 31: Zadanie 27 (0–2 pkt): Rozwiązanie dotyczy liczby sześciocyfrowych numerów CAN spełniających określone warunki. Kluczowe kroki: obliczenie liczby możliwości ustawienia cyfr w trzech pierwszych miejscach jako ciąg arytmetyczny, np. (9, 6, 3), (8, 5, 2). Następnie, liczba możliwości wyboru czwartej, piątej i szóstej cyfry: 7 · 6 · 5. Maksymalna punktacja: 2 pkt za poprawną metodę i wynik 840.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 32: Zadanie 28 (0–1 pkt): obliczenie liczby sześciocyfrowych numerów CAN spełniających warunki zadania, rozwiązanie: 4·7·6·5=840. Wymagania egzaminacyjne: obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: C.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 33: Zadanie 29.1 (0–1): Wykorzystanie informacji, obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym, rozwiązanie C, 1 pkt za odpowiedź poprawną. Zadanie 29.2 (0–1): Interpretowanie informacji, znajdowanie dominanty, dobieranie argumentów, rozwiązanie A3, 1 pkt za odpowiedź poprawną.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 34: Zadanie 30 (0–4 pkt): wymagania egzaminacyjne dotyczące optymalizacji z funkcją kwadratową. 4 pkt: poprawne obliczenie długości podstawy i pola trapezu, b=3 dm, P=112,5 dm². 3 pkt: wzór na pole trapezu, obliczenie współrzędnej wierzchołka paraboli. 2 pkt: wzór na pole trapezu w zależności od jednej zmiennej. 1 pkt: związek między podstawą a wysokością trapezu. 0 pkt: niepoprawna metoda. Uwagi dotyczące funkcji P.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 35: Zadanie (3 pkt): Rozwiązanie zadania dotyczącego trapezu. Przyjęto oznaczenia: a=12, b=krótsza podstawa, h=wysokość. Z równań b+h=18 i h=18-b wyrażono pole trapezu P(b) jako funkcję zmiennej b: P(b)=-½(b+12)(b-18). Wyznaczono dziedzinę funkcji: b∈(0,12). Obliczono wierzchołek paraboli p=3. Dla b=3 pole wynosi 112,5 dm². Największe pole trapezu 112,5 dm² dla b=3.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 36: Zadanie dotyczące trapezu. Przyjęto oznaczenia: a=12, b=krótsza podstawa, h=wysokość. Wyznaczono b=18-h. Pole trapezu jako funkcja P(h)=½(30-h)h. Dziedzina: h∈(6,18). Wierzchołek paraboli: p=15. Maksymalne pole dla h=15 wynosi 112,5 dm². Obliczono b=3. Największe pole 112,5 dm² dla trapezu z krótszą podstawą 3 dm.

Matematyka, matura podstawowa, grudzień 2023, CKE - strona 37: Zadanie 3: Obliczenie pola trapezu metodą nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną. Przyjęto oznaczenia: a=12, b=krótsza podstawa, h=wysokość. Wyznaczono h=18-b. Pole jako funkcja b: P(b)=½(12+b)(18-b). Z nierówności: √((12+b)(18-b))≤15, stąd (12+b)(18-b)≤225. Maksymalne pole dla b=3: P(3)=112,5.

Matura podstawowa matematyka grudzień 2023 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie