Matura podstawowa matematyka grudzień 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x + 4| = 7\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(x_1 + x_2\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\big(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\big)^{-5}\) jest równa

Wykaż, że liczba \(2^{100} + 4^{49} + 16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \(\log_7 x + 6 \log_7 y\) jest równa wartości wyrażenia

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę \(60\ 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(p \%\) w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa \(67\ 925.76\) zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-1), 0\) oraz \(1\) wartość wyrażenia \(\frac{x}{x^2 - 1} : \frac{3x^2}{x + 1}\) jest równa wartości wyrażenia

Para liczb \(x = -1\) i \(y = 6\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax + 3y = 20 \\ x + by = 5 \end{cases}\)

gdzie \(a\) oraz \(b\) są liczbami rzeczywistymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(a \cdot b\) jest równa

Rozwiąż równanie

\(\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{2x - 2}\)

Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

Rozwiąż nierówność

\(x(x - 6) \le 7\)

Zapisz obliczenia.

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x) = \begin{cases} 3 & \textrm{dla } x \in (-4, -2] \\ -x + 1 & \textrm{dla } x \in (-2, 2] \\ x - 3 & \textrm{dla } x \in (2, 4] \end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\).\(\ \) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(............\).

\(2\).\(\ \) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(............\).

\(3\).\(\ \) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne, jest przedział \(............\).

\(4\).\(\ \) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, jest przedział \(............\).

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(2\), a punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(Oy\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) ma współrzędne \((0, 4)\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3, 0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, -9)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3, 0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, -9)\).

Uzupełnij zdanie. Wybierz <u>dwie</u> właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji \(f\) zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: \(.........\) oraz \(.........\) .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3, 0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, -9)\).

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x) - 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja logarytmiczna \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \log_6 x\) dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg \((5m, 4 + 2m, m)\) jest arytmetyczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), w którym \(a_2 = \frac{1}{6}\) oraz \(a_3 = \frac{1}{9}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|AC| = \sqrt{15}\) i \(|BC| = 8\). Na przyprostokątnej \(AB\) leży taki punkt \(D\), że \(|BD| = 6\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta ostrego \(ABC\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|AC| = \sqrt{15}\) i \(|BC| = 8\). Na przyprostokątnej \(AB\) leży taki punkt \(D\), że \(|BD| = 6\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego \(ADC\) jest równy

Kąt o mierze \(\alpha\) jest <u>rozwarty</u> oraz \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7.5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(6\). Miara kąta wpisanego \(ACB\) jest równa \(60 \degree\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku \(AB\), na którym oparty jest kąt wpisany \(ACB\), jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-2, -1)\) oraz \(C = (3, 4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu \(ABCD\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = -7x + 3\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 6)\). Punkt o współrzędnych \((1, p)\) należy do prostej \(l\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(p\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_1, o_2, o_3, o_4\), o równaniach:

\(o_1: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1\)

\(o_2: (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)

\(o_3: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4\)

\(o_4: (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgiem, który <u>nie ma żadnego</u> punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(\alpha\), że \(\tg \alpha = 3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość \(p\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8 \pi\).

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych <u>nieparzystych</u>, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry \(0, 1, 2, 3\) (np. \(12\ 303\), \(11\ 111\)), jest

Dane są dwa zbiory: \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) oraz \(D = \{7, 8, 9, 10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez \(4\). Zapisz obliczenia.

Do szkolnego koła czytelniczego należy \(50\) uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). \(\ \)Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa \(.........\).

\(2\). \(\ \)Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa \(.........\).

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(AB\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.