Matura podstawowa z matematyki | Grudzień 2024

Zadanie 1

Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x + 4| = 7\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(x_1 + x_2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-14)\)

B. \((-8)\)

C. \(3\)

D. \(8\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\big(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\big)^{-5}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(5^4\)

B. \(5^{-4}\)

C. \(5^{0.25}\)

D. \(5^{-0.25}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wykaż, że liczba \(2^{100} + 4^{49} + 16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \(\log_7 x + 6 \log_7 y\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(\log_7 (\frac{x}{y^6})\)

B. \(\log_7 (xy)^6\)

C. \(\log_7 (6xy)\)

D. \(\log_7 (xy^6)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę \(60\ 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(p \%\) w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa \(67\ 925.76\) zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(6 \%\)

B. \(6.4\%\)

C. \(6.5\%\)

D. \(7 \%\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-1), 0\) oraz \(1\) wartość wyrażenia \(\frac{x}{x^2 - 1} : \frac{3x^2}{x + 1}\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{x}{x - 1}\)

B. \(\frac{1}{3x^2 - 3x}\)

C. \(-3x\)

D. \(-\frac{1}{3x}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Para liczb \(x = -1\) i \(y = 6\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax + 3y = 20 \\ x + by = 5 \end{cases}\)

gdzie \(a\) oraz \(b\) są liczbami rzeczywistymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(a \cdot b\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-2)\)

B. \((-0.5)\)

C. \(0.5\)

D. \(2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie

\(\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{2x - 2}\)

Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność

\(x(x - 6) \le 7\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x) = \begin{cases} 3 & \textrm{dla } x \in (-4, -2] \\ -x + 1 & \textrm{dla } x \in (-2, 2] \\ x - 3 & \textrm{dla } x \in (2, 4] \end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\).\(\ \) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(............\).

\(2\).\(\ \) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(............\).

\(3\).\(\ \) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne, jest przedział \(............\).

\(4\).\(\ \) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, jest przedział \(............\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(2\), a punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(Oy\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) ma współrzędne \((0, 4)\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji \(f\), jest równy \((-2)\).

Prawda

Fałsz

Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x, y)\) oraz wykresem funkcji \(f\) jest równe \(8\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3, 0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, -9)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale

Wybierz odpowiedź:

A. \((-\infty, 0]\)

B. \((-\infty, 3]\)

C. \([0, +\infty)\)

D. \([3, +\infty)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3, 0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, -9)\).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji \(f\) zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: \(.........\) oraz \(.........\) .

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3, 0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, -9)\).

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x) - 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(g\) ma jedno miejsce zerowe.

Prawda

Fałsz

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu \(x = 3\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Funkcja logarytmiczna \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \log_6 x\) dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(36\) jest równa \(6\).

Prawda

Fałsz

Funkcja \(f\) jest rosnąca.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.

Prawda

Fałsz

Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(80\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg \((5m, 4 + 2m, m)\) jest arytmetyczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-4)\)

B. \((-1)\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), w którym \(a_2 = \frac{1}{6}\) oraz \(a_3 = \frac{1}{9}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{15}\)

B. \(\frac{2}{27}\)

C. \(\frac{4}{81}\)

D. \(\frac{8}{243}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|AC| = \sqrt{15}\) i \(|BC| = 8\). Na przyprostokątnej \(AB\) leży taki punkt \(D\), że \(|BD| = 6\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta ostrego \(ABC\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{7}{8}\)

C. \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)

D. \(\frac{\sqrt{15}}{8}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|AC| = \sqrt{15}\) i \(|BC| = 8\). Na przyprostokątnej \(AB\) leży taki punkt \(D\), że \(|BD| = 6\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego \(ADC\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sqrt{15}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{7}{8}\)

D. \(\frac{\sqrt{15}}{8}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\big(-\frac{\sqrt{13}}{4}\big)\)

B. \(\big(-\frac{1}{2}\big)\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{13}}{4}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7.5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(6\). Miara kąta wpisanego \(ACB\) jest równa \(60 \degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku \(AB\), na którym oparty jest kąt wpisany \(ACB\), jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2 \pi\)

B. \(4 \pi\)

C. \(6 \pi\)

D. \(12 \pi\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-2, -1)\) oraz \(C = (3, 4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu \(ABCD\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(5\)

B. \(10\)

C. \(5 \sqrt{2}\)

D. \(\sqrt{10}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = -7x + 3\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 6)\). Punkt o współrzędnych \((1, p)\) należy do prostej \(l\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(p\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-4)\)

B. \((-1)\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_1, o_2, o_3, o_4\), o równaniach:

\(o_1: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1\)

\(o_2: (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)

\(o_3: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4\)

\(o_4: (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(o_1\)

B. \(o_2\)

C. \(o_3\)

D. \(o_4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(\alpha\), że \(\tg \alpha = 3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(6\)

C. \(6 \sqrt{2}\)

D. \(12\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość \(p\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(p^3 - 3p^2 + 2p\)

B. \(p^3 + 3p^2 + 2p\)

C. \(p^3 - 6p^2 - 8p\)

D. \(p^3 - 6p^2 + 8p\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8 \pi\).

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry \(0, 1, 2, 3\) (np. \(12\ 303\), \(11\ 111\)), jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(32\)

B. \(384\)

C. \(512\)

D. \(576\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dane są dwa zbiory: \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) oraz \(D = \{7, 8, 9, 10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez \(4\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Do szkolnego koła czytelniczego należy \(50\) uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). \(\ \)Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa \(.........\).

\(2\). \(\ \)Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa \(.........\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(AB\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.