Matura podstawowa z matematyki | Listopad 2025 | Interaktywny Arkusz + PDF

Zadanie 1

Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x +2.(3)| = 0.(6)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \( x_1 + x_2\) jest równa:

Wybierz odpowiedź:

A. \( -4.(6)\)

B. \( -1.(7)\)

C. \( 2.(9)\)

D. \( 4.(6)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Połowa liczby \(\sqrt{32 \cdot \sqrt[3]{8}}\) jest równa:

Wybierz odpowiedź:

A. \(8\)

B. \( 4\)

C. \( 2\)

D. \( 1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \( 5\log_{0.5}2 - 3\log_{0.5}1\) jest równa:

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. \(-5\)

B. \( 2\)

C. \(\log_{0.5}\frac{32}{3}\)

D. \( -8\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \( (3\sqrt 7 +2)^ 2 - ( 3-2\sqrt 7)^2\) jest równa:

Wybierz odpowiedź:

A. \(22\)

B. \( 78\)

C. \( 30 + 24 \sqrt 7\)

D. \( 86 + 24 \sqrt 7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że liczba \(x\) jest podzielna przez \(45\), jeśli \(x = 243^8 + 15\cdot 27^{12} + 9^{19}\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \( -2x - \frac{x-5}{3} > 4\) jest przedział:

Wybierz odpowiedź:

A. \( (-\frac{17}{7}, +\infty)\)

B. \( (-1, +\infty)\)

C. \( (-\infty, -1)\)

D. \( (-\frac{17}{7}, +\infty)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dane jest równanie \( (x^2 +5)(x^2 - 10)(x^2 - 6x +9) = 0\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania.

Prawda

Fałsz

Wśród rozwiązań równania jest dokładnie jedna liczba niewymierna.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie

\( \frac{x+1}{2x - 3} = \frac{2x+3}{x-1}\)

dla \( x\neq 1\) i \(x\neq 1.5\). Zapisz obliczenia.

\( x\in \{ -\frac{2\sqrt 6}{3}, \frac{2\sqrt 6}{3}\}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie

\( 6 - x(x-1) > (x-3)(x+2)\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dany jest układ równań

\( \begin {cases} 5x-3y = -12\\ ax+2y = 8\end{cases}\)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A lub B oraz 1., 2. albo 3.

Dany układ jest

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. nieoznaczony

B. oznaczony

dla

Wybierz odpowiedź:

1. \( a= \frac{10}{3}\)

2. \( a= -\frac{10}{3}\)

3. \( a = -5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\( f(x)\begin{cases} 2x &\text {dla}\ x\in [-3,-1]\\ -2 &\text {dla}\ x\in (-1, 1]\\ -3x+6 &\text {dla}\ x\in (1,4)\end{cases} \)

Wykres funkcji \(y = f (x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiedzi w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(\mathbf{1}\). \(\ \) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(\ .........\) . \(\mathbf{2}\). \(\ \) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(\ .........\) . \(\mathbf{3}\). \(\ \) Miejscem zerowym funkcji \(g(x) = f(x+3)\) jest \(\ .........\) . \(\mathbf{4}\). \(\ \) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f (x)\ge 0\) jest przedział \(\ .........\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=− 6 x + 3m\) .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji \( f \) przecina oś \(Oy\) powyżej punktu \((0, 12)\) dla \(m\) równego:

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcja kwadratowa \(y = f(x)\) dla \(x = −2\) osiąga wartość największą równą \(5\). Jednym z dwóch miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x = −6\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f(x)\) jest malejąca w przedziale \( (-\infty, -2]\).

Prawda

Fałsz

Dla \(x = 0\) funkcja przyjmuje wartość większą od \(5\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Funkcja kwadratowa \(y = f(x)\) dla \(x = −2\) osiąga wartość największą równą \(5\). Jednym z dwóch miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x = −6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

Wybierz odpowiedź:

A. \((-\infty, -2]\)

B. \((-\infty, 5]\)

C. \([-2, +\infty)\)

D. [\(5, +\infty)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Funkcja kwadratowa \(y = f(x)\) dla \(x = −2\) osiąga wartość największą równą \(5\). Jednym z dwóch miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x = −6\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci iloczynowej. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Dany jest ciąg an określony wzorem rekurencyjnym:

\(\begin{cases} a_1 = -2 \\ a_{n+1} = 2a_n - 3n\end{cases}\quad \text{dla każdej liczby naturalnej } n \ge 1\)

Oblicz \(|a_2 -a_4|\) . Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\) przedostatni wyraz jest równy \(-30\), a ostatni jest równy \(-33\). Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy \(3\).

Oblicz liczbę wyrazów ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ciąg o kolejnych wyrazach \((2, 2m, m+3)\) jest rosnącym ciągiem geometrycznym dla \(m\) równego:

Wybierz odpowiedź:

A. \(-1\)

B. \(3\)

C. \(1.5\)

D. \(\frac{5}{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną oraz \(|AB| = 15\), \(|BC| = 7\) i \(|\measuredangle ABC| = \alpha\).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–G i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wartości wyrażeń są poprawnie zapisane w odpowiedziach oznaczonych literami: \(.............\) oraz \(...........\) .

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. \( \sin\alpha = \frac{4\sqrt {11}}{7}\)

B. \( \sin\alpha = \frac{7}{15}\)

C. \( \cos\alpha = \frac{7}{15}\)

D. \( \cos\alpha = \frac{4\sqrt {11}}{7}\)

E. \( \cos\alpha = \frac{4\sqrt {11}}{15}\)

F. \( \tg\alpha = \frac{4\sqrt {11}}{7}\)

G. \( \sin\alpha = \frac{7}{4\sqrt {11}}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\sin 150\degree − \cos120\degree\) to:

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\sqrt 3\)

D. \(1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB| =12\), \(|AC| = 5\) oraz \(|\measuredangle BAC| = 60\degree\) .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe:

Wybierz odpowiedź:

A. \(15\)

B. \(15\sqrt 3\)

C. \(30\sqrt 3\)

D. \(30\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB| =12\), \(|AC| = 5\) oraz \(|\measuredangle BAC| = 60\degree\).

Wyznacz długość środkowej trójkąta \(ABC\) poprowadzonej z wierzchołka \(C\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(M\) leżą na okręgu o środku \(S\). Proste \(k\) i \(l\) są styczne do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\). Proste przecinają się w punkcie \(P\) i tworzą kąt o mierze \(42\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(AMB\) jest równa:

Wybierz odpowiedź:

A. \( 21\degree\)

B. \( 42\degree\)

C. \( 69\degree\)

D. \( 138\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Punkty \(A= (− 7, 3)\) i \(C =( 4, 5)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód tego kwadratu jest równy:

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\sqrt {10}\)

B. \(5\sqrt {10}\)

C. \(10\)

D. \(125\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest trójkąt \(ABC\),w którym \(A=(1, 4)\) oraz \(B =(5, 6)\). Bok \(AC\) trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(6x - y −2 = 0\) oraz bok \(BC\) trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(4x + 3y - 38 = 0\). Przez środek boku \(AC\) poprowadzono prostą \(k\) równoległą do boku \(BC\).

Wyznacz współrzędne punktu, w którym prosta \(k\) przecięła oś \(Oy\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \( (x,y)\), dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S(−2, 5)\) i promieniu \(\sqrt 7\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii względem osi \(Ox\) jest okrąg opisany równaniem:

Wybierz odpowiedź:

A. \((x-2)^2 + (y+5)^2 =7\)

B. \((x+2)^2 + (y+5)^2 =49\)

C. \((x-2)^2 + (y-5)^2 =7\)

D. \((x+2)^2 + (y+5)^2 =7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa \(18\sqrt 2\), a krawędź podstawy ostrosłupa ma długość \(6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość wysokości tego ostrosłupa jest równa:

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\sqrt 2\)

B. \( 2\sqrt 6\)

C. \( 6\sqrt 6\)

D. \( 18\sqrt 6\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa \(18\sqrt 2\), a krawędź podstawy ostrosłupa ma długość \(6\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Prawda

Fałsz

Objętość ostrosłupa zmniejszono trzykrotnie, wysokość ostrosłupa nie zmieniła się, wówczas krawędź podstawy ma długość \(2\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Objętość walca o wysokości \(12\) jest równa \(96\pi\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Promień podstawy tego walca jest równy:

Wybierz odpowiedź:

A. \(16\)

B. \(8\)

C. \(4\)

D. \(2\sqrt 2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Ze zbioru cyfr \(\{0,1,2,3,5,6,7,8\}\) losujemy czterokrotnie bez zwracania po jednej cyfrze i w kolejności losowania tworzymy z nich liczby czterocyfrowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb czterocyfrowych parzystych jest:

Wybierz odpowiedź:

A. \( 7\cdot 6\cdot 5 + 6\cdot 6\cdot 5\cdot 3\)

B. \( 7\cdot 6\cdot 5 \cdot 4\)

C. \( 7\cdot 7\cdot 6 + 6\cdot 7\cdot 6\cdot 3\)

D. \( 7\cdot 8\cdot 8\cdot 4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

W pudełku znajdują się wyłącznie kule czarne i zielone. Kul czarnych jest o \(25\%\) więcej niż kul zielonych. Losujemy jedną kulę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest równe:

Wybierz odpowiedź:

A. \( \frac{1}{4}\)

B. \( \frac{3}{4}\)

C. \( \frac{4}{9}\)

D. \( \frac{5}{9}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

W klasach pierwszych pewnego liceum przeanalizowano dane dotyczące liczby przeczytanych książek w poszczególnych klasach w październiku \(2025\) r. Wszystkich uczniów w klasach pierwszych jest \(150\). W tabeli przedstawiono zebrane wyniki:

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W klasach \(1A\) i \(1E\) średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek na jednego ucznia jest taka sama.

Prawda

Fałsz

W dokładnie jednej z klas średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek na jednego ucznia jest mniejsza od \(4\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

W klasach pierwszych pewnego liceum przeanalizowano dane dotyczące liczby przeczytanych książek w poszczególnych klasach w październiku \(2025\) r. Wszystkich uczniów w klasach pierwszych jest \(150\). W tabeli przedstawiono zebrane wyniki:

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz średnią arytmetyczną liczby przeczytanych książek wśród uczniów wszystkich klas pierwszych. Wynik zaokrąglij z dokładnością do \(0.01\). Zapisz obliczenia.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Właściciel sklepu z rowerami przeprowadził wśród rodziców jedenastolatków w swoim mieście badania dotyczące wpływu zmiany ceny pewnego modelu roweru na liczbę kupujących ten sprzęt. Z badań wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży rowerów w zależności od kwoty obniżki ceny roweru o \(x\) złotych wyraża się wzorem:

\( P(x) = 10(84 - x)(10+x)\)

\(x\) jest liczbą całkowitą dodatnią, nie większą niż \(70\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Dzienny przychód ze sprzedaży rowerów będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Właściciel sklepu z rowerami przeprowadził wśród rodziców jedenastolatków w swoim mieście badania dotyczące wpływu zmiany ceny pewnego modelu roweru na liczbę kupujących ten sprzęt. Z badań wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży rowerów w zależności od kwoty obniżki ceny roweru o \(x\) złotych wyraża się wzorem:

\( P(x) = 10(84 - x)(10+x)\)

\(x\) jest liczbą całkowitą dodatnią, nie większą niż \(70\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dzienny przychód ze sprzedaży rowerów będzie równy \(21600\), gdy liczba \(x\) jest równa:

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(30\)

C. \(37\)

D. \(47\)