Matura podstawowa z matematyki | Maj 2018 | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Liczba \(2\log_{3}6-\log_{3}4\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(2\)

C. \(2\log_3{2}\)

D. \(\log_3{8}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(\frac{9}{4}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dane są liczby \(a=3.6\cdot10^{-12}\) oraz \(b=2.4\cdot10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(8.64\cdot 10^{-32}\)

B. \(1.5\cdot 10^{-8}\)

C. \(1.5\cdot 10^{8}\)

D. \(8.64\cdot 10^{32}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował

Wybierz odpowiedź:

A. \(865.00\) zł

B. \(850.15\) zł

C. \(1000.00\) zł

D. \(977.50\) zł

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}\gt\frac{1}{3}\) jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. \(\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)\)

B. \(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)

C. \(\left(\frac{1}{6},+\infty\right)\)

D. \(\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_{1}\), \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

Wybierz odpowiedź:

A. \(x_{1}+x_{2}=-8\)

B. \(x_{1}+x_{2}=-2\)

C. \(x_{1}+x_{2}=2\)

D. \(x_{1}+x_{2}=8\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)

Wybierz odpowiedź:

A. ma trzy rozwiązania: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\)

B. ma dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-2\)

C. ma dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=2\)

D. ma jedno rozwiązanie: \(x=0\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

Wybierz odpowiedź:

A. Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).

B. Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

C. Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).

D. Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Wybierz odpowiedź:

A. \((-6,-3)\)

B. \((-6, 69)\)

C. \((3,-12)\)

D. \((6,-3)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(-\frac{3}{2}\)

D. \(-1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\ge1\). Ciąg ten jest

Wybierz odpowiedź:

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Dla ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_{4}+a_{5}+a_{6}=12\). Wtedy

Wybierz odpowiedź:

A. \(a_{5}=4\)

B. \(a_{5}=3\)

C. \(a_{5}=6\)

D. \(a_{5}=5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{1}=\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\sqrt{2}\), \(a_{3}=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

Wybierz odpowiedź:

A. \(a_{n}=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_{n}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_{n}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)

D. \(a_{n}=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

Wybierz odpowiedź:

A. \(27\degree< \alpha\le 30\degree\)

B. \(24\degree< \alpha\le 27\degree\)

C. \(21\degree< \alpha\le 24\degree\)

D. \(18\degree< \alpha\le 21\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

Wybierz odpowiedź:

A. \(10, 15, 20\)

B. \(20, 45, 80\)

C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)

D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=111\degree\). Wynika stąd, że

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. \(\alpha=74\degree\)

B. \(\alpha=76\degree\)

C. \(\alpha=70\degree\)

D. \(\alpha=72\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL|=a\), \(|MN|=b\), \(a > b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60\degree\). Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. \(a-b\)

B. \(2(a-b)\)

C. \(a+\frac{1}{2}b\)

D. \(\frac{a+b}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Punkt \(K=(2,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM|=|LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N=(4,3)\). Zatem

Wybierz odpowiedź:

A. \(L=(5, 3)\)

B. \(L=(6, 4)\)

C. \(L=(3, 5)\)

D. \(L=(4, 6)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. \(m=2\)

B. \(m=3\)

C. \(m=0\)

D. \(m=1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

Wybierz odpowiedź:

A. \(\alpha=45\degree\)

B. \(45\degree< \alpha < 60\degree\)

C. \(\alpha> 60\degree\)

D. \(\alpha=60\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(\alpha\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wysokość graniastosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(5\)

B. \(3\sqrt{2}\)

C. \(5\sqrt{2}\)

D. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Kliknij, aby powiększyć

Objętość tej bryły jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{5}{3}\pi r^3\)

B. \(\frac{4}{3}\pi r^3\)

C. \(\frac{2}{3}\pi r^3\)

D. \(\frac{1}{3}\pi r^3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\).

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

Wybierz odpowiedź:

A. \(402\)

B. \(403\)

C. \(203\)

D. \(204\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W pudełku jest \(50\) kuponów, wśród których jest \(15\) kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{15}{35}\)

B. \(\frac{1}{50}\)

C. \(\frac{15}{50}\)

D. \(\frac{35}{50}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność \(2x^2-3x>5\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).

Kliknij, aby powiększyć

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a\gt0\) i \(a\ne1\)), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x)=f(x)-2\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Dane są dwa zbiory: \(A=\{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B=\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.