Matura podstawowa z matematyki | Maj 2020 | Interaktywny Arkusz + PDF

Zadanie 1

Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(1-2\sqrt{3}\)

C. \(1+2\sqrt{3}\)

B. \(3\)

A. \(1\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba \(\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{36^{10}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(2^{10}\cdot3^{20}\)

C. \(2^{30}\cdot3^{20}\)

B. \(6^{45}\)

A. \(6^{70}\)

Zobacz rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Liczba \(\log_{5}\sqrt{125}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(\frac{3}{2}\)

C. \(3\)

B. \(2\)

A. \(\frac{2}{3}\)

Zobacz rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

Wybierz odpowiedź:

D. \(12\%\)

C. \(15\%\)

B. \(20\%\)

A. \(25\%\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)>2(3x-1)-12x\) jest przedział

Wybierz odpowiedź:

D. \(\left(-\infty;-\frac{5}{3}\right)\)

C. \(\left(\frac{5}{3};+\infty\right)\)

B. \(\left(-\infty;\frac{5}{3}\right)\)

A. \(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(3\)

C. \(2\)

B. \(1\)

A. \(0\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Kliknij, aby powiększyć

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

D. \(-1\)

C. \(-2\)

B. \(2\)

A. \(1\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Kliknij, aby powiększyć

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle1,4\rangle\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(2\)

C. \(1\)

B. \(0\)

A. \(-3\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Kliknij, aby powiększyć

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

D. \(y=2\)

C. \(y=1\)

B. \(x=2\)

A. \(x=1\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

D. ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) i \(x=2\).

C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\).

A. nie ma rozwiązań.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).

Kliknij, aby powiększyć

Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność

Wybierz odpowiedź:

D. \(a\cdot b<0\)

C. \(a\cdot b>0\)

B. \(a+b=0\)

A. \(a+b>0\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(17\)

C. \(3\)

B. \(\frac{3}{2}\)

A. \(\frac{1}{2}\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Proste o równaniach \(y = (m - 2)x\) oraz \(y = \frac{3}{4}x + 7\) są równoległe. Wtedy

Wybierz odpowiedź:

D. \(m=\frac{10}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2\) dla \(n\ge1\). Różnica \(a_{5}-a_{4}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(18\)

C. \(36\)

B. \(20\)

A. \(4\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(6\)

C. \(-18\)

B. \(-36\)

A. \(-42\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że

Wybierz odpowiedź:

D. \(b=-2\)

C. \(b=-1\)

B. \(b=1\)

A. \(b=2\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę \(118\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(31\degree\)

C. \(62\degree\)

B. \(48\degree\)

A. \(59\degree\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

Wybierz odpowiedź:

D. \(y=2x-4\)

C. \(y=2x+8\)

B. \(y=-2x+8\)

A. \(y=-2x+4\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wyrażenie \(2\cos\alpha-\sin\beta\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

D. \(2\)

C. \(0\)

B. \(\cos\alpha\)

A. \(2\sin\beta\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A = (−3, 5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(12\)

C. \(\sqrt{34}\)

B. \(8\)

A. \(2\sqrt{34}\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: \(1, 3, 5, 7, 9\), w których cyfry się nie powtarzają?

Wybierz odpowiedź:

D. \(25\)

C. \(20\)

B. \(15\)

A. \(10\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

Pole prostokąta \(ABCD\) jest równe \(90\). Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano – odpowiednio – punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Pole czworokąta \(APCR\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

D. \(60\)

C. \(54\)

B. \(40\)

A. \(36\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem

Wybierz odpowiedź:

D. \(a=4\)

C. \(a=5\)

B. \(a=6\)

A. \(a=7\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

Wybierz odpowiedź:

D. \(16\sqrt{3}\)

C. \(192\)

B. \(24\sqrt{3}\)

A. \(96\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\) . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\) cm\(^3\).

Kliknij, aby powiększyć

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. \(52.5\) cm\(^3\)

C. \(39\) cm\(^3\)

B. \(30\) cm\(^3\)

A. \(20\) cm\(^3\)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

Rozwiąż równanie \((x^2-1)(x^2-2x)=0\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a-2b)+2b^2\gt0\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos\alpha}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\big\lang2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\big\rang\).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.