Matura podstawowa matematyka maj 2020 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2020 • formuła 2015

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Wartość wyrażenia $x^2-6x+9$ dla $x=\sqrt{3}+3$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

B. $3$

A. $1$

C. $1+2\sqrt{3}$

D. $1-2\sqrt{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba $\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{36^{10}}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $6^{70}$

D. $2^{10}\cdot3^{20}$

B. $6^{45}$

C. $2^{30}\cdot3^{20}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Liczba $\log_{5}\sqrt{125}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $3$

B. $2$

A. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Cenę $x$ pewnego towaru obniżono o $20\%$ i otrzymano cenę $y$. Aby przywrócić cenę $x$, nową cenę $y$ należy podnieść o

Wybierz odpowiedź:

D. $12\%$

B. $20\%$

C. $15\%$

A. $25\%$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $3(1-x)>2(3x-1)-12x$ jest przedział

Wybierz odpowiedź:

D. $\left(-\infty;-\frac{5}{3}\right)$

C. $\left(\frac{5}{3};+\infty\right)$

A. $\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)$

B. $\left(-\infty;\frac{5}{3}\right)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Suma wszystkich rozwiązań równania $x(x-3)(x+2)=0$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

B. $1$

D. $3$

C. $2$

A. $0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

B. $2$

A. $1$

C. $-2$

D. $-1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle1,4\rangle$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $-3$

C. $1$

D. $2$

B. $0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

B. $x=2$

A. $x=1$

C. $y=1$

D. $y=2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Równanie $x(x-2)=(x-2)^2$ w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=0$.

D. ma dwa różne rozwiązania: $x=1$ i $x=2$.

A. nie ma rozwiązań.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=2$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem $f(x)=ax+b$.

Kliknij, aby powiększyć

Współczynniki $a$ oraz $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają zależność

Wybierz odpowiedź:

B. $a+b=0$

C. $a\cdot b>0$

D. $a\cdot b<0$

A. $a+b>0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=4^{-x}+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Liczba $f\left(\frac{1}{2}\right)$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $3$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

D. $17$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Proste o równaniach $y = (m - 2)x$ oraz $y = \frac{3}{4}x + 7$ są równoległe. Wtedy

Wybierz odpowiedź:

C. $m=\frac{11}{4}$

A. $m=-\frac{5}{4}$

B. $m=\frac{2}{3}$

D. $m=\frac{10}{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=2n^2$ dla $n\ge1$. Różnica $a_{5}-a_{4}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4$

D. $18$

B. $20$

C. $36$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\ge1$, czwarty wyraz jest równy $3$, a różnica tego ciągu jest równa $5$. Suma $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $-42$

C. $-18$

B. $-36$

D. $6$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Punkt $A=\left(\frac{1}{3},-1\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=3x+b$. Wynika stąd, że

Wybierz odpowiedź:

A. $b=2$

C. $b=-1$

B. $b=1$

D. $b=-2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Punkty $A, B, C, D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt środkowy $DOC$ ma miarę $118\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Miara kąta $ABC$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $62\degree$

A. $59\degree$

B. $48\degree$

D. $31\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Prosta przechodząca przez punkty $A=(3,-2)$ i $B=(-1,6)$ jest określona równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. $y=-2x+4$

B. $y=-2x+8$

C. $y=2x+8$

D. $y=2x-4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wyrażenie $2\cos\alpha-\sin\beta$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $2\sin\beta$

B. $\cos\alpha$

D. $2$

C. $0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Punkt $B$ jest obrazem punktu $A = (−3, 5)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka $AB$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2\sqrt{34}$

C. $\sqrt{34}$

B. $8$

D. $12$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: $1, 3, 5, 7, 9$, w których cyfry się nie powtarzają?

Wybierz odpowiedź:

D. $25$

B. $15$

A. $10$

C. $20$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe $90$. Na bokach $AB$ i $CD$ wybrano – odpowiednio – punkty $P$ i $R$, takie, że $\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Pole czworokąta $APCR$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

C. $54$

D. $60$

B. $40$

A. $36$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Cztery liczby: $2, 3, a, 8$, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: $5, 3, 6, 8, 2$. Zatem

Wybierz odpowiedź:

C. $a=5$

B. $a=6$

D. $a=4$

A. $a=7$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Przekątna sześcianu ma długość $4\sqrt{3}$. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

Wybierz odpowiedź:

B. $24\sqrt{3}$

C. $192$

A. $96$

D. $16\sqrt{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy $3:2$ . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa $12$ cm$^3$.

Kliknij, aby powiększyć

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $39$ cm$^3$

A. $20$ cm$^3$

B. $30$ cm$^3$

D. $52.5$ cm$^3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność $2(x-1)(x+3)\gt x-1$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Rozwiąż równanie $(x^2-1)(x^2-2x)=0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność

$a(a-2b)+2b^2\gt0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE|=\frac{3}{4}|CD|$. Punkt $F$ leży na boku $BC$ i odcinek $EF$ jest prostopadły do $BC$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że $|CF|=\frac{9}{16}|CB|$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos\alpha}=4$. Oblicz tangens kąta $\alpha$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)$. Przekątna $BD$ tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{4}{3}x$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ oraz pole kwadratu $ABCD$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\ge1$, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0$. Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $\big\lang2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\big\rang$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$, którego krawędź boczna ma długość $6$ (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym. Formy arkusza: MMA-P1_1P-202 (wersje X i Y), MMA-P1_2P-202, MMA-P1_3P-202, MMA-P1_6P-202, MMA-P1_7P-202, MMA-P1_QP-202. Termin główny: czerwiec 2020 r. Data publikacji: 3 sierpnia 2020 r. Warszawa 2020.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1): Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, poprawna odpowiedź B, C. Zadanie 2 (0–1): Obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych, poprawna odpowiedź C, A. Zadanie 3 (0–1): Wykorzystanie definicji logarytmu, poprawna odpowiedź D, B. Zadanie 4 (0–1): Obliczenia procentowe, podatki, zysk z lokat, poprawna odpowiedź A, D. Zadanie 5 (0–1): Rozwiązywanie nierówności pierwszego stopnia, poprawna odpowiedź A, D.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 3: Zadanie 6 (0–1): rozwiązywanie równań typu x(x+1)(x−7)=0, poprawna odpowiedź: Wersja X: B, Wersja Y: C. Zadanie 7 (0–1): interpretacja współczynników funkcji kwadratowej, poprawna odpowiedź: Wersja X: D, Wersja Y: B. Zadanie 8 (0–1): wyznaczanie wartości funkcji kwadratowej w przedziale, poprawna odpowiedź: Wersja X: C, Wersja Y: B. Zadanie 9 (0–1): wykorzystanie funkcji liniowej i kwadratowej, poprawna odpowiedź: Wersja X: B, Wersja Y: C.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 4: Zadanie 10 (0–1): Równania i nierówności, sprawdzanie rozwiązania równania, poprawna odpowiedź B. Zadanie 11 (0–1): Funkcje, interpretacja współczynników funkcji liniowej, poprawna odpowiedź D. Zadanie 12 (0–1): Obliczanie wartości funkcji, poprawna odpowiedź B. Zadanie 13 (0–1): Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, badanie równoległości prostych, poprawna odpowiedź C. Zadanie 14 (0–1): Ciągi, wyznaczanie wyrazów ciągu, poprawna odpowiedź D.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 5: Zadanie 15 (0–1): Modelowanie matematyczne, ciągi, n-ty wyraz, suma n-początkowych wyrazów, wersja X: C, wersja Y: B. Zadanie 16 (0–1): Funkcje liniowe, wyznaczanie wzoru, wersja X: D, wersja Y: A. Zadanie 17 (0–1): Planimetria, kąt środkowy i wpisany, wersja X: D, wersja Y: A. Zadanie 18 (0–1): Geometria kartezjańska, równanie prostej, wersja X: A, wersja Y: A. Zadanie 19 (0–1): Trygonometria, wartości funkcji trygonometrycznych, wersja X: B, wersja Y: A.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 6: Zadanie 20 (1 pkt): Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, obliczanie odległości między punktami, poprawna odpowiedź: A, D. Zadanie 21 (1 pkt): Kombinatoryka, liczenie obiektów, stosowanie reguły mnożenia i dodawania, poprawna odpowiedź: C, B. Zadanie 22 (1 pkt): Obliczanie pól i obwodów figur płaskich, poprawna odpowiedź: C, B. Zadanie 23 (1 pkt): Statystyka opisowa, wyznaczanie średniej i mediany, poprawna odpowiedź: A, D.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 7: Zadanie 24 (0–1): Wymaganie ogólne II, obliczanie pola i objętości brył. Poprawna odpowiedź: Wersja X - A, Wersja Y - D. Zadanie 25 (0–1): Wymaganie ogólne II, obliczanie pola i objętości brył. Poprawna odpowiedź: Wersja X - B, Wersja Y - C. Brak szkiców lub wykresów.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 8: Zadanie 26 (0–2 pkt): rozwiązanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą. Obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: $x_1 = -\frac{5}{2}$, $x_2 = 1$. Zaznaczenie miejsc zerowych na wykresie funkcji $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$. Rozłożenie trójmianu na czynniki: $2(x + \frac{5}{2})(x - 1)$. Wyznaczenie punktów wspólnych wykresów funkcji. Zbiór rozwiązań nierówności: $(-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (1, +\infty)$.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 9: Zadanie dotyczące rozwiązania nierówności z ilustracją graficzną na osi liczbowej. Rozwiązanie nierówności w postaci: $x < -\frac{5}{2}$ oraz $x > 1$. Pokazano wykres z zaznaczonymi przedziałami $(-∞, -\frac{5}{2})$ i $(1, ∞)$. Uwagi dotyczące akceptowalnych zapisów i punktacji, np. 2 punkty za poprawne rozwiązanie nierówności. Elementy wizualne: oś liczbowa z zaznaczonymi punktami -$\frac{5}{2}$ i 1.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 10: Zadanie 9-11: Wyznaczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2x²+3x-5, Δ=49, x₁=-5/2, x₂=1. I sposób: przekształcenie nierówności (2x+5)(x-1)>0, pierwiastki x₁=-5/2, x₂=1. II sposób: obliczenia z Δ=49, wzory Viete’a. III sposób: rysunek pomocniczy, wykres funkcji kwadratowej y=2(x-1)(x+3) i liniowej y=x-1, zbiór rozwiązań nierówności (-∞,-5/2)∪(1,+∞).

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 11: Zadanie 27 (0-2 pkt): rozwiązanie nierówności 2(x-1)(x+3) > x-1. Wykres funkcji kwadratowej y=2(x-1)(x+3) i liniowej y=x-1, punkty przecięcia x₁=-5/2, x₂=1. Odczytanie przedziału rozwiązań nierówności: x ∈ (-∞, -5/2) ∪ (1, +∞). Szkic paraboli z zaznaczonymi miejscami zerowymi i linią prostą.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 12: Zadanie 27 (1-2 pkt): rozwiązanie równań x²-1=0 i x²-2x=0, wyniki: x=0, x=2, x=1, x=-1, metoda iloczynowa. Zadanie 28 (0-2 pkt): zapisanie nierówności (a-b)²+b²>0, użycie wzorów skróconego mnożenia, analiza trójmianu kwadratowego.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 13: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Opisuje różne sposoby uzyskania punktów za zadania dotyczące nierówności kwadratowych. Zawiera wytyczne dotyczące rozważania przypadków dla różnych wartości parametrów a i b oraz podziału nierówności przez a² lub b². Wymienia warunki uzyskania 1 lub 2 punktów za pełne rozumowanie i poprawne rozważenie przypadków. Zawiera uwagi dotyczące błędów w rozumowaniu.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 14: Zasady oceniania V sposobu rozwiązania: 1 pkt za zapisanie nierówności $a(a-2b)+2b^2 \leq 0$ i błędne zakończenie, 2 pkt za pełne rozwiązanie. Zasady oceniania VI sposobu: 1 pkt za nierówność $a^2+2b^2 \geq 2ab$ i błędne zakończenie, 2 pkt za pełne rozwiązanie. Przykładowe rozwiązanie I sposób: przekształcenie nierówności $a^2-2ab+2b^2>0$, $a^2-2ab+b^2+b^2>0$, $(a-b)^2+b^2>0$.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 15: Zadanie 1: Dowód nierówności $(a-b)^2+b^2>0$. I sposób: wyrażenie $(a-b)^2$ dodatnie, $b^2$ nieujemne, suma liczb rzeczywistych dodatnia. II sposób: przekształcenie nierówności do $a^2-2ab+b^2>0$, analiza trójmianu kwadratowego, $\Delta=4b^2-8b^2=-4b^2$, wnioski dla $\Delta<0$ i $\Delta=0$. III sposób: przekształcenie nierówności, analiza kwadratowa $(\frac{a}{b})^2-2\frac{a}{b}+2>0$, wniosek z nierówności $(x-1)^2+1>0$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 16: Zadanie IV sposób: Rozważanie nierówności dla dwóch przypadków. Przypadek I: a·b>0, przekształcenie nierówności a(a-2b)+2b²>0 do a²+2b²-2√2ab>2ab-2√2ab, wyrażenie (a-√2b)²>2ab(1-√2). Przypadek II: a·b<0, przekształcenie do a²+2b²+2√2ab>2ab+2√2ab, wyrażenie (a+√2b)²>2ab(1+√2). Dowód prawdziwości nierówności dla różnych a i b.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 17: Zadanie (Przypadek III): przekształcenie nierówności a(a-2b)+2b²>0 do a²-2ab+2b²>0, dowód na podstawie sumy kwadratów. V sposób (dowód nie wprost): założenie nierówności a(a-2b)+2b²≤0, przekształcenie do (a-b)²+b²≤0, sprzeczność, dowód prawdziwości. VI sposób (szacowanie): nierówność równoważna a²+2b²>2ab, dowód poprzez założenie a≠b. To kończy dowód.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 18: Zadanie 29 (0–2 pkt): Wymaganie ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: Planimetria, podobieństwo trójkątów. Odpowiedzi: Wyznaczenie długości odcinków BC i CF w zależności od zmiennej, np. BC=a, CF=3√3/8·√3/2 lub BC=2x, CF=9/8·x. Skala podobieństwa trójkątów BCD i CEF: k=8√3/9. Długość CF w zależności od CB i CD: CF=3[CD]²/4[CB], CD=√3/2[CB]. Punktacja: 1 lub 2 punkty w zależności od pełności rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 19: Zadanie 1: Dwa sposoby dowodu geometrycznego. I sposób: Trójkąt ABC z wysokością CD, BC=a, CD=a√3/2, CE=3/4 CD, CF=9/16 BC. Szkic trójkąta z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F. II sposób: Trójkąt BCD prostokątny, BC=y, CD=y√3/2, CE=3/4 CD, CF=9/16 y. Szkic trójkąta z punktami A, B, C, D, E, F. Dowód zakończony w obu przypadkach.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 20: Zadanie 3: przedstawiono dwa sposoby rozwiązania zadania geometrycznego. III sposób: analiza trójkąta BCD jako prostokątnego z kątami 30° i 60°, obliczenia długości boków BC=2x, CD=x√3, CE=¾x√3, CF=9/16|CB|, zakończone dowodem. IV sposób: szkic trójkąta ABC z wysokością CE i oznaczeniem a, przygotowanie do kolejnych obliczeń.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 21: Zadanie 30 (0–2 pkt): Modelowanie matematyczne, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zadanie wymaga zapisania liczby zdarzeń elementarnych $ |\Omega| = 6^2 = 36 $, wypisania zdarzeń sprzyjających $ A = \{(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (5,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,5)\} $, obliczenia liczby zdarzeń $ |A| = 11 $, oraz prawdopodobieństwa $ P(A) = \frac{11}{36} $.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 22: Zadanie 1: obliczenie liczby zdarzeń elementarnych dla doświadczenia, zbiór zdarzeń elementarnych przedstawiony w tabeli 6x6, wynik |Ω|=36. Zadanie 2: wyznaczenie zbioru A, |A|=11, obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, P(A)=11/36, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Elementy wizualne: tabela z parami liczb (1,1) do (6,6), wyróżnione elementy zbioru A.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 23: Zadanie 30 (0–2 pkt): Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami. II sposób: metoda tabelaryczna, liczba zdarzeń elementarnych |Ω|=36, A' ma 25 zdarzeń, P(A)=1-P(A')=11/36. III sposób: metoda drzewka, graficzny model doświadczenia, P(A)=11/36. Zadanie 31 (0–2 pkt): Trygonometria, zależności między funkcjami trygonometrycznymi, sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, sin(90°-α)=cosα.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 24: Zasady oceniania różnych sposobów rozwiązania równania trygonometrycznego. Przykładowe rozwiązania: I sposób - przekształcenie równania $ \frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 4 $ do postaci $ 2\tan\alpha + 3 = 4 $, wynik $ \tan\alpha = \frac{1}{2} $. II sposób - przekształcenie do $ 2\sin\alpha = \cos\alpha $, wynik $ \tan\alpha = \frac{1}{2} $. III sposób - rysunek trójkąta prostokątnego z oznaczeniem długości boków i kąta $\alpha$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 25: Zadanie 32 (0-4): Wymaganie IV, użycie i tworzenie strategii w geometrii kartezjańskiej. Wyznaczenie równania prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez punkt. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych i środka odcinka. Przykład: równanie prostej AC: y = -3/4x + 25/12, odległość punktu A od prostej BD: 5.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 26: Zadanie 1 (2 pkt): wyznaczenie równania prostej AC: $y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}$, obliczenie współrzędnych punktu przecięcia przekątnych kwadratu $O=(1,\frac{3}{4})$. Zadanie 2 (3 pkt): obliczenie współrzędnych punktu przecięcia przekątnych kwadratu $O=(1,\frac{4}{3})$, długość przekątnej kwadratu: 10. Szkice i rysunki niewidoczne.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 27: Zadanie (4 pkt): Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia przekątnych kwadratu. Prosta AC prostopadła do równania $y=\frac{4}{3}x$, współczynnik kierunkowy $-\frac{3}{4}$. Równanie prostej przez punkt $A=(5,-\frac{5}{3})$. Rozwiązanie układu równań: $x=1$, $y=\frac{4}{3}$, punkt przecięcia $O=(1,\frac{4}{3})$. Obliczenie długości przekątnej $AC=10$.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 28: Zadanie 1: Obliczenie pola kwadratu ABCD o przekątnej długości $a\sqrt{2}$, gdzie $a=5\sqrt{2}$, pole $a^2=50$. Użycie dwóch metod: przez długość przekątnej i odległość punktu od prostej. Zadanie 2: Wyznaczenie punktu $O=(1,\frac{4}{3})$ na prostej $y=\frac{4}{3}x$ przez równanie odległości. Zadanie 3: Odległość punktu $P$ od $A$ jako funkcja jednej zmiennej, obliczenia prowadzą do $|AP(x)|=\frac{5}{3}\sqrt{(x-1)^2+9}$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 29: Zadanie 4: analiza trójmianu kwadratowego y=(x-1)²+9, najmniejsza wartość dla x=1. Obliczenia długości odcinka AP i pola kwadratu ABCD. IV sposób: kąt między prostymi, równania prostych AB i AD, współrzędne wierzchołków B i D, punkt przecięcia przekątnych kwadratu O, pole kwadratu P_ABCD=50.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 30: Zadanie 33 (0-4 pkt): Użycie wzoru na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Rozwiązanie z niewielkim postępem (1 pkt): zapisanie wzoru na n-ty wyraz. Istotny postęp (2 pkt): równanie 6a₁ - 5a₁q + a₁q² = 0. Pokonanie trudności (3 pkt): rozwiązanie q² - 5q + 6 = 0, q = 2 lub q = 3. Pełne rozwiązanie (4 pkt): iloraz q = 3. Zasady oceniania II sposobu: podobne etapy z użyciem b² = ac.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 31: Odpowiedzi: Zadanie 1: równanie 6a₁ - 5a₁·q + a₁q² = 0, iloraz q = 3, pełne rozwiązanie, 4 punkty. Uwagi do oceniania: 4 punkty za rozwiązanie z poprawnym ilorazem i ciągiem, 3 punkty za błędne równanie kwadratowe z poprawnym wnioskiem, 2 punkty za ujemny wyróżnik, 1 punkt za podanie ilorazu q = 3 i poprawne wnioski dotyczące przedziału wartości.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 32: Zadanie 10-15: analiza ciągów geometrycznych i arytmetycznych, sprawdzanie warunków ilorazu q i przynależności do przedziału $\left\langle \sqrt{2}, 3\sqrt{2} \right\rangle$. Przykładowe rozwiązania: I sposób - oznaczenie q, równanie $6a_1 - 5a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 = 0$, rozwiązania q=2 lub q=3. II sposób - równanie $b^2 = ac$, przekształcenie do $b^2 - 5ab + 6a^2 = 0$.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 33: Zadanie 34 (0-5 pkt): Wymaganie ogólne IV, użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: stereometria i trygonometria. Rozwiązanie: zaznaczenie kąta α nachylenia, równanie z definicji tangensa α: $ \frac{h}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{7} $, twierdzenie Pitagorasa w trójkątach SOE, SEC, SOC. Równania: $ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h_b^2 $, $ h_b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 6^2 $, $ h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 6^2 $.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 34: Zadanie 1 (2 pkt): zapisanie równania z definicji sinusa i cosinusa kąta α, błędne zakończenie. Zadanie 2 (3 pkt): układ równań z jedną niewiadomą, błędne zakończenie. Zadanie 3 (4 pkt): obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa lub wysokości, błędne zakończenie. Zadanie 4 (5 pkt): obliczenie objętości ostrosłupa V=32√7/3. Uwagi dotyczące błędów rachunkowych i punktacji.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 35: Przykładowe rozwiązanie I sposób: Zaznaczono kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Oznaczenia: a - krawędź podstawy, h - wysokość ostrosłupa. Wykorzystano definicję tangensa i twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE, uzyskano równanie $h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 6^2$. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami kątów i boków.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 36: Zadanie 7: Obliczenie objętości ostrosłupa. Rozwiązanie zaczyna się od równania $ \frac{7}{4}a^2 + \frac{2}{4}a^2 = 36 $, prowadzącego do $ a = 4 $. Następnie obliczono $ h = 4 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} $. Objętość ostrosłupa: $ V = \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{32\sqrt{7}}{3} $. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami krawędzi i wysokości.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 37: Uwaga dotycząca zależności między wielkościami $ h $, $ a $, $ h_b $ z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. Podano, że jeśli $ \tan \alpha = \sqrt{7} $, to $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{14}}{4} $ i $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} $. Wynika stąd, że $ \frac{h}{h_b} = \frac{\sqrt{14}}{4} $ oraz $ \frac{1}{h_b} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 38: Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych, uwzględniające błędy merytoryczne, zmiany znaków liczby, nieprecyzyjne zapisy, wyznaczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego, rozwiązanie nierówności kwadratowej, zastosowanie własności funkcji kwadratowej, ciągów arytmetycznych i geometrycznych, analiza figur geometrycznych, rachunek prawdopodobieństwa, geometria i algebra.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 39: Zadanie 26 (0–2): rozwiązanie nierówności kwadratowej, przekształcenie do postaci $ ax^2 + bx + c > 0 $, Δ > 0, rozkład na czynniki liniowe, zapis zbioru rozwiązań na osi liczbowej. Zadanie 27 (0–2): wyznaczenie pierwiastków równania, $ x = 1, x = 0, x = 2 $. Zadanie 28 (0–2): obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego, zapis nierówności $(a-b)^2 + b^2 > 0$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 40: Zadanie 29 (0–2 pkt): proporcje między bokami trójkątów CBD i CEF, np. |CF|/|CE| = |CD|/|CB|. Zadanie 30 (0–2 pkt): liczba zdarzeń elementarnych 36 lub 11, poprawne wypisanie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A. Zadanie 31 (0–2 pkt): równanie 2sinα + 3cosα/cosα = 4, przekształcenie do 2tgα = 1, zastosowanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2020, CKE - strona 41: Zadanie 32 (0–4): wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AC, zastosowanie wzoru na odległość punktu A od prostej BD, obliczenie równania prostej AC, układ równań dla współrzędnych punktu O, obliczenie odległości i pola kwadratu. Zadanie 33 (0–4): zasady oceniania standardowego. Zadanie 34 (0–5): twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów SOE, SEC, SOC, definicja tangensa w trójkącie SOE, tgα=|OS|/|OE|.

Matura podstawowa matematyka maj 2020 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie