Matura podstawowa matematyka maj 2023 - interaktywny arkusz + PDF

Liczba \(\log_9 27 + \log_9 3\) jest równa

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2}\) jest równa

Cenę aparatu fotograficznego obniżono o \(15\%\), a następnie - o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(\textrm{340 zł}\). Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a - 3)^2 - (2a + 3)^2\) jest równe

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań.

Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(-2(x + 3) \leq \frac{2 - x}{3}\)

jest przedział

Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3} (x^2 - 2)(x + 3) = 0\) jest liczba

Równanie \(\frac{(x + 1)(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)^2} = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x) = (2p - 1)x + p\) jest liczba \((-4)\). Wtedy

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax + b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) w układzie współrzędnych \((x, y)\).

Liczba \(a\) oraz liczba \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:

W układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór

W układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze

W układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -4, 1 \rangle\) jest równa

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 2^n \cdot (n + 1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Wyraz \(a_4\) jest równy

Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a - 1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O = (0, 0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P = (-3, 1)\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha\) jest równe

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę \(70 \degree\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

W rombie o boku długości \(6 \sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150 \degree\). Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Przez punkty \(A\) i \(B\), leżące na okręgu o środku \(O\), poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ACB\) jest równa

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|BC| = 6\). Miara kąta \(ACB\) jest równa \(150 \degree\) (zobacz rysunek).

Wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczona z wierzchołka \(B\) jest równa

Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = -\frac{1}{3} x + 2\).

Prosta o równaniu \(y = ax + b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P = (3, 5)\), gdy

Dane są punkty \(K = (-3, -7)\) oraz \(S = (5, 3)\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(KL\). Wtedy punkt \(L\) ma współrzędne

Dana jest prosta o równaniu \(y = 2x - 3\). Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\). Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

Średnia arytmetyczna liczb \(x\), \(y\), \(z\) jest równa \(4\).

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(1 + x\), \(2 + y\), \(3 + z\), \(14\), jest równa

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0\), \(5\), \(7\) (np. \(57\ 075\), \(55\ 555\)), jest

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K} = \frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

Rozwiąż nierówność

\(x(x - 2) > 2x^2 - 3\)

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(\textrm{8910 zł}\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(\textrm{30 zł}\).

Oblicz kwotę pierwszej raty.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\)

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości \(5\) i \(12\). Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\).

Oblicz pole trójkąta \(T_2\).

W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A = (-8, -2)\) oraz \(C = (0, 4)\) są końcami przekątnej.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\).

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), \(|AB| = 8\). Wysokość trójkąta \(ABC\), poprowadzona z wierzchołka \(C\), ma długość \(3\). Przekątna \(CE\) ściany bocznej tworzy z krawędzią \(CB\) podstawy \(ABC\) kąt \(60 \degree\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.