Matura podstawowa matematyka maj 2023 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2023 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Wybierz odpowiedź:

A. $|x - 3.5| \ge 1.5$

B. $|x - 1.5| \ge 3.5$

C. $|x - 3.5| \le 1.5$

D. $|x - 1.5| \le 3.5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\big(-\frac{3}{2}\big)$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\big(-\frac{2}{3}\big)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $(2n + 1)^2 - 1$ jest podzielna przez $8$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_9 27 + \log_9 3$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $81$

B. $9$

C. $4$

D. $2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $(2a - 3)^2 - (2a + 3)^2$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $-24a$

B. $0$

C. $18$

D. $16a^2 - 24a$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$-2(x + 3) \le \frac{2 - x}{3}$

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\infty, -4]$

B. $(-\infty, 4]$

C. $[-4, \infty)$

D. $[4, \infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jednym z rozwiązań równania $\sqrt{3} (x^2 - 2)(x + 3) = 0$ jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $2$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{(x + 1)(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)^2} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$.

C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $1$.

D. ma dokładnie dwa rozwiązania: $-1$ oraz $1$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie

$3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = -2x + 1 \end{cases}$

B. $\begin{cases} y = x - 2 \\ y = -2x - 1 \end{cases}$

C. $\begin{cases} y = x - 2 \\ y = 2x + 1 \end{cases}$

D. $\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest prostokąt o bokach długości $a$ i $b$, gdzie $a > b$. Obwód tego prostokąta jest równy $30$. Jeden z boków prostokąta jest o $5$ krótszy od drugiego.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. $\begin{cases} 2ab = 30 \\ a - b = 5 \end{cases}$

B. $\begin{cases} 2a + b = 30 \\ a = 5b \end{cases}$

C. $\begin{cases} 2(a + b) = 30 \\ b = a - 5 \end{cases}$

D. $\begin{cases} 2a + 2b = 30 \\ b = 5a \end{cases}$

E. $\begin{cases} 2a + 2b = 30 \\ a - b = 5 \end{cases}$

F. $\begin{cases} a + b = 30 \\ a = b + 5 \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $y = f(x)$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Wybierz odpowiedź:

A. $[-6, 5]$

B. $(-6, 5)$

C. $(-3, 5]$

D. $[-3, 5]$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $y = f(x)$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4, 1]$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ narysowano wykres funkcji $y = f(x)$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze

Wybierz odpowiedź:

A. $[-6, -3)$

B. $[-3, 1]$

C. $(1, 2]$

D. $[2, 5]$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

Wybierz odpowiedź:

A. $a > 0$ i $b > 0$.

B. $a > 0$ i $b < 0$.

C. $a < 0$ i $b > 0$.

D. $a < 0$ i $b < 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. $11$

B. $1$

C. $(-1)$

D. $(-13)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2^n \cdot (n + 1)$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz $a_4$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $64$

B. $40$

C. $48$

D. $80$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Trzywyrazowy ciąg $(27, 9, a - 1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $0$

C. $4$

D. $2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910$ zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $30$ zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O = (0, 0)$. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P = (-3, 1)$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{\sqrt{10}}$

B. $\big(-\frac{3}{\sqrt{10}}\big)$

C. $\big(-\frac{3}{1}\big)$

D. $\big(-\frac{1}{3}\big)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\sin^2\alpha$

B. $\sin^6\alpha \cdot \cos^2\alpha$

C. $\sin^4\alpha + 1$

D. $\sin^2\alpha \cdot (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot (\sin\alpha - \cos\alpha)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150\degree$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $24$

B. $72$

C. $36$

D. $36 \sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $10\degree$

B. $20\degree$

C. $35\degree$

D. $40\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $26$.

Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$k:\ \ y = \frac{2}{3} x$ $l:\ \ y = -\frac{3}{2} x + 13$

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź $1$., $2$. albo $3$.

Proste $k$ oraz $l$

Wybierz odpowiedź:

A. są prostopadłe

B. nie są prostopadłe

i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych

Wybierz odpowiedź:

1. $(-6, -4)$

2. $(6, 4)$

3. $(-6, 4)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu

$y = -\frac{1}{3} x + 2$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta o równaniu $y = ax + b$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $P = (3, 5)$, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. $a = 3$ i $b = 4$.

B. $a = -\frac{1}{3}$ i $b = 4$.

C. $a = 3$ i $b = -4$.

D. $a = -\frac{1}{3}$ i $b = 6$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $15\sqrt{2}$

B. $45$

C. $5\sqrt{2}$

D. $10$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30\degree$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K} = \frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

Wybierz odpowiedź:

A. kwadrat.

B. pięciokąt foremny.

C. sześciokąt foremny.

D. siedmiokąt foremny.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0$, $5$, $7$ (np. $57\ 075$, $55\ 555$), jest

Wybierz odpowiedź:

A. $5^3$

B. $2 \cdot 4^3$

C. $2 \cdot 3^4$

D. $3^5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Ze zbioru ośmiu liczb $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $15$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$-tego dnia opisuje funkcja

$L(n) = -n^2 + 22n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \ge 1$ i $n \le 30$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa $L(30)$.

Prawda

Fałsz

W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono $336$ klientów.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

$L(n) = -n^2 + 22n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \ge 1$ i $n \le 30$.

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 1: Dokument zawiera zasady oceniania rozwiązań zadań egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym. Wymienione są formy arkusza: MMAP-P0-100 (wersje A i B), MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-600, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00, MMAP-P0-Z00, MMAU-P0-100. Termin egzaminu: 8 maja 2023 r., data publikacji dokumentu: 28 czerwca 2023 r. Brak szczegółowych rozwiązań zadań.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024, interpretacja wartości bezwzględnej w równaniach i nierównościach. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - D.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0–1): Wymagania dotyczące sprawności rachunkowej, stosowanie związków pierwiastkowania i działań na potęgach. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - B. Zadanie 3 (0–2): Rozumowanie i argumentacja, przekształcenie wyrażenia (2n+1)²-1 do postaci iloczynu 4n(n+1) lub 4(n²+n) z uzasadnieniem parzystości. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne przekształcenie i uzasadnienie.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 4: Zadanie dotyczące przekształcenia wyrażenia $(2n+1)^2-1$ do postaci $4n(n+1)$ i $8(2l^2+3l+1)$. Omówienie przypadków dla $n=2l$ i $n=2l+1$, z uwzględnieniem liczby naturalnej/całkowitej. Przykładowe pełne rozwiązania: Sposób I - wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia, uzasadnienie podzielności przez 8; Sposób II - podobne przekształcenie. Uwagi dotyczące punktacji za poprawność rozumowania.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 5: Zadanie 4: wykaż, że liczba $ (2n+1)^2-1 $ jest podzielna przez 8. Sposób I: analiza parzystości i nieparzystości $ n^2+n $. Sposób III: zastosowanie wzoru skróconego mnożenia, przekształcenie do postaci $ 2n(2n+2) $. Sposób IV: rozważenie dwóch przypadków dla parzystości $ n $, przekształcenie do postaci $ 8(2l^2+3l+1) $. Brak elementów graficznych.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 6: Zadanie 4 (0–1): Wymagania dotyczące wykonywania działań w zbiorze liczb rzeczywistych, odpowiedź: Wersja A - D, Wersja B - C. Zadanie 5 (0–1): Stosowanie wzorów skróconego mnożenia, odpowiedź: Wersja A - A, Wersja B - B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 7: Zadanie 6 (0–1): Rozwiązanie nierówności liniowej z jedną niewiadomą, wersja A: C, wersja B: A. Zadanie 7 (0–1): Rozwiązanie równania wielomianowego postaci W(x)=0 dla wielomianów w postaci iloczynowej, wersja A: D, wersja B: D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 8: Zadanie 8 (0–1): rozwiązanie równań wymiernych postaci V(x)/W(x)=0, gdzie wielomiany są w postaci iloczynowej. Wersja A i B: odpowiedź A. Zadanie 9 (0–3): rozwiązanie równań wielomianowych metodą grupowania, wyniki: -2, 2/3, 2. Przekształcenie równania do postaci iloczynowej, przykłady: (3x-2)(x²-4)=0, x=2/3, x=-2, x=2. Obliczenie pierwiastków wielomianu W, podział wielomianu przez dwumian.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 9: Zadanie 4 (3 pkt): rozkład wielomianu $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$ na czynniki liniowe metodą grupowania. Kluczowe kroki: $x^2(3x-2) - 4(3x-2) = 0$, $(3x-2)(x^2-4) = 0$, $(3x-2)(x-2)(x+2) = 0$. Rozwiązania: $x = \frac{2}{3}, x = 2, x = -2$. Elementy wizualne: brak. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 10: Zadanie 4: rozwiązanie równania 3x(x²-4)-2(x²-4)=0, przekształcenie do (3x-2)(x-2)(x+2)=0, wyniki: x=-2, x=2/3, x=2. Sposób III: obliczenie pierwiastków trójmianu 3x²+4x-4 metodą delty, Δ=64, x=-2, x=2/3. Sposób IV: sprawdzenie pierwiastków wielomianu W(x)=3x³-2x²-12x+8 dla x=2, x=-2, x=2/3, potwierdzenie rozwiązań: (-2), 2/3, 2.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 11: Zadanie 10 (1 pkt): rozwiązanie układu równań liniowych, interpretacja geometryczna, wersja A: D, wersja B: C. Zadanie 11 (2 pkt): stosowanie układów równań do zadań tekstowych, wersja A: CE, wersja B: AD. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź w zadaniu 10, 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi w zadaniu 11, 1 pkt za jedną poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 12: Zadanie 12.1 (0–1): Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024, interpretowanie informacji z wykresów. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - C. Zadanie 12.2 (0–1): Odczytywanie największych wartości funkcji z wykresu. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 13: Zadanie 12.3 (0–1): Wymagania dotyczą interpretacji informacji z wykresów, odczytywanie przedziałów monotoniczności. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - B. Zadanie 13 (0–1): Interpretacja współczynników we wzorze funkcji liniowej. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 14: Zadanie 14 (1 pkt): interpretacja informacji matematycznych w tekście i wykresach, wykorzystanie funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - C. Zadanie 15 (1 pkt): obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, interpretacja pojęć matematycznych, rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - C.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 15: Zadanie 16 (0–1): Wymagania dotyczące wykorzystania własności ciągów geometrycznych. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - B. Zadanie 17 (0–2): Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Obliczenie pierwszej raty: 750 zł. Równanie: $2a_1 + 17 \cdot \left(-\frac{30}{2}\right) \cdot 18 = 8910$. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne obliczenia, 1 pkt za zastosowanie wzoru.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 16: Zadanie dotyczące ciągu arytmetycznego. Rozwiązanie pokazuje dwa sposoby obliczeń. Sposób I: wykorzystanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, równanie 9(2a₁ - 510) = 8910, a₁ = 750. Sposób II: podobne podejście z różnicą r = 30. Oba sposoby prowadzą do wyniku, że pierwsza rata wynosi 750 zł. Uwagi dotyczące błędów w rozumowaniu i punktacji.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 17: Zadanie dotyczące ciągu arytmetycznego. Rozwiązanie obejmuje przekształcenie równania sumy ciągu, obliczenia dla pierwszej i ostatniej raty. Sposób III: analiza różnicy między ratami, obliczenie sumy siedemnastu liczb, wynik pierwszej raty 750 zł. Sposób IV: wykorzystanie wzoru na n-ty wyraz ciągu, obliczenie wartości pojedynczej sumy, wynik pierwszej raty 750 zł. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 18: Zadanie (brak numeru): Sposób V: przyjęcie pierwszej raty jako 1000 zł, kolejne raty maleją o 30 zł, suma rat 13 410 zł, korekta o 4500 zł, pierwsza rata 750 zł. Sposób VI: ciąg arytmetyczny o różnicy -30, obliczenia dla a₁=750 zł, a₁=a₉-8(-30)=510+240=750, pierwsza rata 750 zł.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 19: Zadanie 18 (0–1): Wymagania ogólne dotyczą wykorzystania i interpretowania reprezentacji matematycznych, z naciskiem na funkcję tangens dla kątów od 0° do 180°. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - C. Zadanie 19 (0–1): Rozumowanie i argumentacja, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznej sin²α + cos²α = 1. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - B. Punktacja: 1 pkt za odpowiedź poprawną.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 20: Zadanie 20 (1 pkt): interpretacja informacji w formie wykresów i tabel, zdający korzysta z własności kątów i przekątnych w rombach, wersja A: B, wersja B: D. Zadanie 21 (1 pkt): rozumowanie i argumentacja, stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych, wersja A: B, wersja B: C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 21: Zadanie 22 (0–2 pkt): ocena poprawności metody i obliczenia pola trójkąta T₂, P₂=120. Wykorzystanie podobieństwa trójkątów, zapisanie układu równań do obliczenia długości boków trójkąta T₂. Kluczowe kroki: a₂/b₂=12/5, a₂²+b₂²=26², (12x)²+(5x)²=26². Obliczenie długości odcinka BC: |BC|=13. Skala podobieństwa k=|EF|/|BC|=2. Przykładowe rozwiązanie: a₂/b₂=12/5, b₂=5/12a₂.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 22: Zadanie 4: Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta T₂: a₂² + b₂² = 26², a₂ = 24, b₂ = 10. Obliczono pole trójkąta T₂: P₂ = 120. Sposób II: Wierzchołki trójkąta T₁: A, B, C, BC=13. Skala podobieństwa trójkąta T₂ do T₁: k=2. Długości przyprostokątnych trójkąta T₂: |DE|=24, |DF|=10. Pole trójkąta T₂: P₂=120. Rysunki: dwa trójkąty prostokątne z zaznaczonymi bokami.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 23: Zadanie 7: rozwiązanie dotyczące podobieństwa trójkątów. Obliczenia z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $T_1$, $|BC|=13$. Obliczenie skali podobieństwa trójkąta $T_2$ do $T_1$, $k=2$. Pole trójkąta $T_1$, $P_1=30$. Obliczenie pola trójkąta $T_2$ z wykorzystaniem skali podobieństwa, $P_2=120$. Elementy wizualne: dwa trójkąty prostokątne z zaznaczonymi bokami.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 24: Zadanie 23 (0–1 pkt): wymagania dotyczące rozumowania i argumentacji, rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych na płaszczyźnie. Rozwiązanie: Wersja A - A2, Wersja B - A3. Zadanie 24 (0–1 pkt): wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji matematycznych, posługiwanie się równaniem prostej. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - B.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 25: Zadanie 25 (1 pkt): wykorzystanie pojęcia kąta między prostą a płaszczyzną, rozpoznawanie kątów w graniastosłupach, obliczanie kątów trójkąta. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - D. Zadanie 26 (4 pkt): obliczanie objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa, V=108, Pc=108+72√3, H=3, a=6√3. Zasady oceniania: szczegółowe wymagania i punktacja za poprawne metody i wyniki.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 26: Zadanie (1 pkt): obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa, $ a = 6\sqrt{3} $, lub wysokości $ H = 3 $. Przykładowe rozwiązanie: użycie trójkąta prostokątnego $ SOE $, $ \sin 30^\circ = \frac{H}{6} $, $ H = 3 $. Obliczenie $ \cos 30^\circ = \frac{a}{12} $, $ a = 6\sqrt{3} $. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami krawędzi i kątów.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 27: Zadanie 27 (0–1 pkt): Obliczanie objętości ostrosłupa, V = 1/3 * (6√3)² * 3 = 108. Obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa, Pc = (6√3)² + 4 * 1/2 * 6√3 * 6 = 108 + 72√3. Tabela wymagań egzaminacyjnych 2023 i 2024, wymagania ogólne i szczegółowe. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak. Rozwiązanie: Wersja A i B - odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 28: Zadanie 28 (0–1): Wymagania dotyczące liczenia obiektów w sytuacjach kombinatorycznych, wersja A: C, wersja B: A. Zadanie 29 (0–2): Obliczanie średniej arytmetycznej i mediany, wersja A: 29.1 C, 29.2 A, wersja B: 29.1 B, 29.2 E. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź w zadaniu 28, 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi w zadaniu 29.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 29: Zadanie 30 (0–2 pkt): obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A w modelu klasycznym. Poprawna metoda i wynik: P(A) = 6/64. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za wypisanie zdarzeń elementarnych lub fragment drzewa stochastycznego, 0 pkt za błędną metodę. Przykładowe rozwiązanie: tabela 8x8, moc zbioru Ω = 64.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 30: Zadanie 15: tabela z iloczynami liczb podzielnych przez 15, zaznaczone iloczyny 3x5, 5x3, 5x6, 6x5, 9x5. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A jako 6/64. Sposób II: drzewo stochastyczne dla zdarzenia A, iloczyn podzielny przez 15, gałęzie z liczbami 3, 5, 6, 9, prawdopodobieństwo P(A)=6/64.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 31: Sposób III: obliczenia dotyczące zdarzeń elementarnych i iloczynów liczb podzielnych przez 15, z wyliczeniem iloczynów (15, 30, 45) oraz odpowiadających im zdarzeń elementarnych. Zadanie 31.1 (0–1): Wymagania egzaminacyjne dotyczące sprawności rachunkowej i interpretacji wartości funkcji. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: Wersja A i B - FP.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 32: Zadanie 31.2 (0–2 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące wykorzystania i interpretowania reprezentacji oraz tworzenia modeli matematycznych. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wyniki 11 i 400. 1 pkt za wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji L(n) = -(n-11)² + 400 lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400. Uwagi dotyczące błędów i punktacji. Przykładowe rozwiązania: przekształcenie funkcji L do postaci kanonicznej.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 33: Zadanie dotyczące funkcji kwadratowej L(n)=-n²+22n+279. Sposób I: przekształcenie do postaci kanonicznej, wierzchołek W=(11,400). Sposób II: obliczenia z wzoru wierzchołka paraboli, p=11, q=400. Sposób III: wykorzystanie własności funkcji kwadratowej, obliczenia L(9)=396, L(10)=399, L(11)=400, L(12)=399. Największa liczba klientów obsłużona jedenastego dnia: 400 osób.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 34: Zadanie 11: analiza funkcji L, która przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. Interpretacja: największa liczba klientów obsłużona jedenastego dnia badanego okresu wynosiła 400 osób. Brak elementów wizualnych i punktacji.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 35: Zasady oceniania prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych uwzględniające błędy merytoryczne, takie jak błędne przepisanie czy przestawienia cyfr. Szczegółowe zasady dotyczące przyznawania punktów za poprawne metody rozwiązania, nawet przy nieprecyzyjnych zapisach. Zasady dotyczące zadań wymagających wyznaczania pierwiastków, rozwiązywania nierówności kwadratowych oraz stosowania własności funkcji i ciągów.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 36: Zadanie 3 (1 pkt): zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy wyrażenia (2n+1)². Zadanie 9 (3 pkt): zapisanie pierwiastków wielomianu 3x³-2x²-12x+8, przekształcenie do postaci 3(x²-4)-2(x²-4) lub x²(3x-2)-4(3x-2). Zadanie 17: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 22 (1 pkt): obliczenie długości c₁ trójkąta T₁, wykorzystanie podobieństwa trójkątów, c₁=13, c₁=13/5=26/b₂.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2023, CKE - strona 37: Zadanie 26 (1 pkt): zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°, zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. $\frac{|OE|}{6} = \cos 30^\circ$, $\frac{H}{6} = \frac{1}{2}$. Zadanie 30 (1 pkt): zapisanie liczby 64 jako liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Zadanie 31.2: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Uwagi dotyczące oceny dla zdających z dyskalkulią.$

Matura podstawowa matematyka maj 2023 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie