Matura podstawowa matematyka maj 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Na początku sezonu letniego cenę \(x\) pary sandałów podwyższono o \(20\%\). Po miesiącu nową cenę obniżono o \(10\%\). Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała \(81\)zł. Początku cena \(x\) pary sandałów była równa

Liczba \((\frac{1}{16})^8 \cdot 8^{16}\) jest równa

Liczba \(\log_{\sqrt{3}}9\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a + b)^2 - (2a - b)^2\) jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(1 - \frac{3}{2}x < \frac{2}{3} - x\)

jest przedział

Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania \(x(x + 2)(x^2 + 9) = 0\) jest

Równanie \(\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

W październiku \(2022\) roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzono. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa 9.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb \(a\), \(a\), \(b\), \(b\), \(c\), \(c\), jest równa

Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.

Układem równań, którego interpretacją geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości tej funkcji jest

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (-2k + 3)x + k - 1\), gdzie \(k \in \R\). Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału

Funkcje liniowe \(f\) oraz \(g\), określone wzorami \(f(x) = 3x + 6\) oraz \(g(x) = ax + 7\), mają to samo miejsce zerowe.

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(g\) jest równy

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dla funkcji \(f\) prawdziwa jest równość

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), dane są wyrazy \(a_4 = -2\) oraz \(a_6 = 16\).

Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 2^{n-1}\), dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Iloraz tego ciągu jest równy

Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n = (n + 2)(7 - n)\), dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba dodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

Liczba \(\sin^320\degree + \cos^220\degree \cdot \sin20\degree\) jest równa

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\). Wtedy

Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120\degree\).

Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie \(MKC\) bok \(MK\) ma długość \(24\). Prosta równoległa do boku \(MK\) przecina boki \(MC\) i \(KC\) - odpowiednio - w punktach \(A\) oraz \(B\) takich, że \(|AB| = 6\) i \(|AC| = 3\) (zobacz rysunek).

Długość odcinka \(MA\) jest równa

W trójkącie \(ABC\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(ACB\) ma miarę \(42\degree\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(BAS\) jest równa

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k\): \(y = (m + 1)x + 7\) \(l\): \(y = -2x + 7\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

Na prostej \(l\) o współczynniku kierunkowym \(\frac{1}{2}\) leżą punkty \(A = (2, -4)\) oraz \(B = (0, b)\). Wtedy liczba \(b\) jest równa

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Pole <u>jednej</u> ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(64\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa \(12\).

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1\), \(3\), \(6\), \(8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Rozwiąż nierówność

\(x^2 - 4 \le 3x\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x \ne y\), prawdziwa jest nierówność

\((3x + y)(x + 3y) > 16xy\)

Sprawdź z filmikiem, czy poprawnie wykonałaś/eś zadanie.

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 +bx +c\) jest prosta o równaniu \(x = -2\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Oblicz współczynniki \(b\) oraz \(c\).

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu.

Dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A = (-2, 6)\) oraz \(B = (10, 2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P = (6, 7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku.

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy <u>ze zwracaniem</u> kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \(108\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \(\frac{1}{4}\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.