Matura podstawowa z matematyki | Maj 2024 (formuła 2015) | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Na początku sezonu letniego cenę \(x\) pary sandałów podwyższono o \(20\%\). Po miesiącu nową cenę obniżono o \(10\%\). Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała \(81\) zł. Początku cena \(x\) pary sandałów była równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(45\) zł

B. \(73.63\) zł

C. \(75\) zł

D. \(87.48\) zł

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba \(\big(\frac{1}{16}\big)^8 \cdot 8^{16}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2^{24}\)

B. \(2^{16}\)

C. \(2^{12}\)

D. \(2^8\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Liczba \(\log_{\sqrt{3}}9\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(9\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a + b)^2 - (2a - b)^2\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(8a^2\)

B. \(8ab\)

C. \(-8ab\)

D. \(2b^2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(1 - \frac{3}{2}x < \frac{2}{3} - x\)

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. \(\big(-\infty, -\frac{2}{3}\big)\)

B. \(\big(-\infty, \frac{2}{3}\big)\)

C. \(\big(-\frac{2}{3}, +\infty\big)\)

D. \(\big(\frac{2}{3}, +\infty\big)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania \(x(x + 2)(x^2 + 9) = 0\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \((-2)\)

B. \(0\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Równanie \(\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \((-1)\).

C. ma dokładnie dwa rozwiązania: \((-2)\) oraz \(3\).

D. ma dokładnie trzy rozwiązania: \((-1)\), \((-2)\) oraz \(3\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

W październiku \(2022\) roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzono. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.6 \cdot 0.95x = 0.9y \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.95x = 0.6 \cdot 0.9y \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.05x = 0.6 \cdot 0.1y \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.4 \cdot 0.95x = 0.9y \end{cases}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa 9.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb \(a\), \(a\), \(b\), \(b\), \(c\), \(c\), jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9\)

B. \(6\)

C. \(4.5\)

D. \(18\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.

Kliknij, aby powiększyć

Układem równań, którego interpretacją geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x + 3 \\ y = -\frac{3}{2}x - 1 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} y = \frac{3}{2}x + 3 \\ y = -\frac{2}{3}x - 1 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} y = \frac{3}{2}x + 3 \\ y = \frac{3}{2}x - 1 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x - 3 \\ y = \frac{3}{2}x + 1 \end{cases}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Kliknij, aby powiększyć

Zbiorem wartości tej funkcji jest

Wybierz odpowiedź:

A. \((-6, 6]\)

B. \([1, 4)\)

C. \([1, 4]\)

D. \([-6, 6]\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (-2k + 3)x + k - 1\), gdzie \(k \in \R\). Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału

Wybierz odpowiedź:

A. \((-\infty, 1)\)

B. \(\big(-\infty, -\frac{3}{2}\big)\)

C. \((1, +\infty)\)

D. \(\big(\frac{3}{2}, +\infty\big)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcje liniowe \(f\) oraz \(g\), określone wzorami \(f(x) = 3x + 6\) oraz \(g(x) = ax + 7\), mają to samo miejsce zerowe.

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(g\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\big(-\frac{7}{2}\big)\)

B. \(\big(-\frac{2}{7}\big)\)

C. \(\frac{2}{7}\)

D. \(\frac{7}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(f(x) = -(x + 1)^2 - 9\)

B. \(f(x) = -(x - 1)^2 + 9\)

C. \(f(x) = -(x - 1)^2 - 9\)

D. \(f(x) = -(x + 1)^2 + 9\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Dla funkcji \(f\) prawdziwa jest równość

Wybierz odpowiedź:

A. \(f(-4) = f(6)\)

B. \(f(-4) = f(4)\)

C. \(f(-4) = f(5)\)

D. \(f(-4) = f(7)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), dane są wyrazy \(a_4 = -2\) oraz \(a_6 = 16\).

Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{7}{2}\)

B. \(\frac{9}{2}\)

C. \(7\)

D. \(9\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 2^{n-1}\), dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Iloraz tego ciągu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \((-2)\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n = (n + 2)(7 - n)\), dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba dodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(6\)

B. \(7\)

C. \(8\)

D. \(9\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Liczba \(\sin^320\degree + \cos^220\degree \cdot \sin20\degree\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\cos20\degree\)

B. \(\sin20\degree\)

C. \(\tg20\degree\)

D. \(\sin20\degree \cdot \cos20\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\). Wtedy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\tg\alpha = \frac{12}{13}\)

B. \(\tg\alpha = \frac{12}{5}\)

C. \(\tg\alpha = \frac{5}{12}\)

D. \(\tg\alpha = \frac{13}{12}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120\degree\).

Pole tego równoległoboku jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(6\)

B. \(6\sqrt{3}\)

C. \(12\)

D. \(12\sqrt{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W trójkącie \(MKC\) bok \(MK\) ma długość \(24\). Prosta równoległa do boku \(MK\) przecina boki \(MC\) i \(KC\) - odpowiednio - w punktach \(A\) oraz \(B\) takich, że \(|AB| = 6\ \) i \(\ |AC| = 3\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Długość odcinka \(MA\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(18\)

B. \(15\)

C. \(9\)

D. \(12\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W trójkącie \(ABC\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(ACB\) ma miarę \(42\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Miara kąta ostrego \(BAS\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(42\degree\)

B. \(45\degree\)

C. \(48\degree\)

D. \(69\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k\): \(\ y = (m + 1)x + 7\) \(l\): \(\ y = -2x + 7\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\big(-\frac{1}{2}\big)\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \((-3)\)

D. \(1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Na prostej \(l\) o współczynniku kierunkowym \(\frac{1}{2}\) leżą punkty \(A = (2, -4)\) oraz \(B = (0, b)\). Wtedy liczba \(b\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-5)\)

B. \(10\)

C. \((-2)\)

D. \(0\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Kliknij, aby powiększyć

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(36\sqrt{10}\)

B. \(60\)

C. \(6\sqrt{10}\)

D. \(360\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Wybierz odpowiedź:

A.

Kliknij, aby powiększyć

B.

Kliknij, aby powiększyć

C.

Kliknij, aby powiększyć

D.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(64\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa \(12\).

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(8\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1\), \(3\), \(6\), \(8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(10\)

C. \(24\)

D. \(16\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Rozwiąż nierówność

\(x^2 - 4 \le 3x\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x \ne y\), prawdziwa jest nierówność

\((3x + y)(x + 3y) > 16xy\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 +bx +c\) jest prosta o równaniu \(x = -2\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Oblicz współczynniki \(b\) oraz \(c\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A = (-2, 6)\) oraz \(B = (10, 2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P = (6, 7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 36

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \(108\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \(\frac{1}{4}\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.