Matura podstawowa matematyka maj 2024 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2024 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dana jest nierówność

$|x-1| \ge 3$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\big(\frac{1}{16}\big)^8 \cdot 8^{16}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2^{24}$

B. $2^{16}$

C. $2^{12}$

D. $2^8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{\sqrt{3}}9$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2$

B. $3$

C. $4$

D. $9$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a + b)^2 - (2a - b)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. $8a^2$

B. $8ab$

C. $-8ab$

D. $2b^2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$1 - \frac{3}{2}x < \frac{2}{3} - x$

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $\big(-\infty, -\frac{2}{3}\big)$

B. $\big(-\infty, \frac{2}{3}\big)$

C. $\big(-\frac{2}{3}, +\infty\big)$

D. $\big(\frac{2}{3}, +\infty\big)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{x+1}{(x+2)(x-3)} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania: $(-2)$ oraz $3$.

D. ma dokładnie trzy rozwiązania: $(-1)$, $(-2)$ oraz $3$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dany jest wielomian $W(x) = 3x^3 + 6x^2 + 9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x) = 3x\ $ i $\ G(x) = x^2 + 2x + 3$.

Prawda

Fałsz

Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x) = 0$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie

$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

W październiku $2022$ roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie $1960$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $5\%$ drzew w pierwszym sadzie i $10\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzono. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $60\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.6 \cdot 0.95x = 0.9y \end{cases}$

B. $\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.95x = 0.6 \cdot 0.9y \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.05x = 0.6 \cdot 0.1y \end{cases}$

D. $\begin{cases} x + y = 1960 \\ 0.4 \cdot 0.95x = 0.9y \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiony dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów A-D.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x + 3 \\ y = -\frac{3}{2}x - 1 \end{cases}$

B. $\begin{cases} y = \frac{3}{2}x + 3 \\ y = -\frac{2}{3}x - 1 \end{cases}$

C. $\begin{cases} y = \frac{3}{2}x + 3 \\ y = \frac{3}{2}x - 1 \end{cases}$

D. $\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x - 3 \\ y = \frac{3}{2}x + 1 \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (-2k + 3)x + k - 1$, gdzie $k \in \R$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\infty, 1)$

B. $\big(-\infty, -\frac{3}{2}\big)$

C. $(1, +\infty)$

D. $\big(\frac{3}{2}, +\infty\big)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x) = 3x + 6$ oraz $g(x) = ax + 7$, mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\frac{7}{2})$

B. $(-\frac{2}{7})$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{7}{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) \ge 0$ jest przedział .......................... .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = -(x + 1)^2 - 9$

B. $f(x) = -(x - 1)^2 + 9$

C. $f(x) = -(x - 1)^2 - 9$

D. $f(x) = -(x+1)^2 + 9$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

Wybierz odpowiedź:

A. $f(-4) = f(6)$

B. $f(-4) = f(5)$

C. $f(-4) = f(4)$

D. $f(-4) = f(7)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (-1)^n \cdot (n - 5)$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.

Prawda

Fałsz

Wszystkie wyrazu ciągu $(a_n)$ są dodatnie.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Trzywyrazowy ciąg $(12, 6, 2m - 1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź $1$., $2$. albo $3$.

Ten ciąg jest

Wybierz odpowiedź:

A. rosnący

B. malejący

oraz

Wybierz odpowiedź:

1. $m = \frac{1}{2}$

2. $m = 2$

3. $m = 3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\tg\alpha = -3$ oraz $90\degree < \alpha < 180\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ..... oraz ..... .

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. $\sin\alpha < 0$

B. $\sin\alpha \cdot \cos\alpha < 0$

C. $\sin\alpha \cdot \cos\alpha > 0$

D. $\cos\alpha > 0$

E. $\sin\alpha = -\frac{1}{3}\cos\alpha$

F. $\sin\alpha = -3\cos\alpha$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sin^320\degree + \cos^220\degree \cdot \sin20\degree$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\cos20\degree$

B. $\sin20\degree$

C. $\tg20\degree$

D. $\sin20\degree \cdot \cos20\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$, $|LM| = b$ oraz $a \ne b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN| = c$, $|NL| = d$ oraz $|MN| = e$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest nierówność

Wybierz odpowiedź:

A. $a \cdot b = c \cdot d$

B. $a \cdot d = b \cdot c$

C. $a \cdot c = b \cdot d$

D. $a \cdot b = e \cdot e$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Dany jest równoległobok o bakach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120\degree$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $12$

B. $12\sqrt{3}$

C. $6$

D. $6\sqrt{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42\degree$(zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $42\degree$

B. $45\degree$

C. $48\degree$

D. $69\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k$: $\ y = (m + 1)x + 7$ $l$: $\ y = -2x + 7$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\big(-\frac{1}{2}\big)$

B. $\frac{1}{2}$

C. $(-3)$

D. $1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A = (-2, 6)$ oraz $B = (10, 2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P = (6, 7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $36\sqrt{10}$

B. $60$

C. $6\sqrt{10}$

D. $360$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Ostrosłup $F_1$ jest podobny do ostrosłupa $F_2$. Objętość ostrosłupa $F_1$ jest równa $64$. Objętość ostrosłupa $F_2$ jest równa $512$.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_2$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_1$ jest równy ......... .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4$

B. $10$

C. $24$

D. $16$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$, $c$, jest równa $9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $a$, $a$, $b$, $b$, $c$, $c$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $9$

B. $6$

C. $4.5$

D. $18$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4.5$

B. $4$

C. $3.5$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K = \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań, egzamin maturalny, matematyka, poziom podstawowy. Formy arkusza: MMAP-P0-100 (wersje A i B), MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-600, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00, MMAP-P0-K00, MMAU-P0-100. Termin egzaminu: 8 maja 2024 r. Data publikacji dokumentu: 28 czerwca 2024 r.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1): Wymagania egzaminacyjne 2024, interpretowanie i operowanie informacjami, rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0–1 pkt): wymagania dotyczące sprawności rachunkowej, poprawna odpowiedź: Wersja A - B, Wersja B - C. Zadanie 3 (0–2 pkt): przekształcenie wyrażenia $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ do postaci $3(n^2 + 2n + 1) + 2$, dowód podzielności przez 3, wyjaśnienie reszt z dzielenia, punktacja za poprawne przekształcenie i dowód.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 4: Zadanie 1 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ do postaci $3n^2 + 6n + 5 = 3 \cdot (n^2 + 2n + 1) + 2$, wykazanie, że $3 \cdot (n^2 + 2n + 1)$ jest wielokrotnością 3, reszta 2. Sposób II: liczby $n, n+1, n+2$ jako trzy kolejne liczby naturalne, jedna podzielna przez 3, kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje resztę 1.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 5: Zadanie 4 (0-1): suma reszt z dzielenia przez 3 liczb n² + (n + 1)² + (n + 2)² równa 0 + 1 + 1 = 2, co należało wykazać. Wymagania egzaminacyjne 2024: sprawność rachunkowa, wykonywanie działań na liczbach rzeczywistych. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - B.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 6: Zadanie 5 (0–1 pkt): Wymagania dotyczące sprawności rachunkowej i stosowania wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - D. Zadanie 6 (0–1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 7: Zadanie 7 (0–1 pkt): rozwiązanie równania wymiernego V(x)/W(x)=0, gdzie V(x) i W(x) są wielomianami w postaci iloczynowej. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - B. Zadanie 8 (0–1 pkt): mnożenie wielomianów, rozwiązanie równania wielomianowego W(x)=0 metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. Rozwiązanie: Wersja A - PF, Wersja B - FP. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub błędną.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 8: Zadanie 9 (0-3 pkt): rozwiązanie równania wielomianowego $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ metodą grupowania. 3 pkt: pełne rozwiązanie z pierwiastkami $-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2$. 2 pkt: przekształcenie do postaci iloczynowej i rozwiązanie jednego równania. 1 pkt: zapisanie w postaci iloczynu wielomianów. Elementy wizualne: brak.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 9: Zadanie 5: przekształcenie równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ do postaci iloczynowej, zapisanie rozwiązań $x = 2$. Uwagi dotyczące punktacji: 1 punkt za poprawne rozwiązanie, 2 punkty za pełne rozwiązanie z poprawnym przekształceniem. Wskazówki dla błędnych przekształceń i alternatywne metody rozwiązania.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 10: Zadanie 6: przekształcanie równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ metodą grupowania. Sposób I: równanie przekształcone do $(x-2)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$, rozwiązania: $x=2$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$. Sposób II: równanie przekształcone do $(x-2)(x^2-3)=0$, rozwiązania: $x=2$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 11: Zadanie 10 (0–1 pkt): rozwiązanie równania (x-2)(x-√3)(x+√3)=0, x=2, x=√3, x=-√3. Sposób III: obliczanie pierwiastków wielomianu W(x)=x³-2x²-3x+6, dzielenie przez dwumian (x-2), wynik W(x)=(x-2)(x²-3)=(x-2)(x-√3)(x+√3). Rozwiązania: -√3, √3, 2. Wymagania egzaminacyjne: interpretowanie reprezentacji, stosowanie układów równań. Punktacja: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną. Rozwiązanie: Wersja A: A, Wersja B: D.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 12: Zadanie 11 (0–1 pkt): interpretowanie informacji z układów równań liniowych, odpowiedź wersja A: A, wersja B: C. Zadanie 12 (0–1 pkt): interpretacja współczynników we wzorze funkcji liniowej, odpowiedź wersja A: D, wersja B: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 13: Zadanie 13 (0–1): Wymagania dotyczące wyznaczania wzoru funkcji liniowej z wykresu, wersja A: D, wersja B: A. Zadanie 14.1 (0–1): Odczytywanie przedziałów z wykresu funkcji, rozwiązanie: [−2, 4]. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną. Uwzględniono specyficzne trudności w uczeniu się matematyki.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 14: Zadanie 14.2 (1 pkt): wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie, odpowiedź: Wersja A - B, Wersja B - A. Zadanie 14.3 (1 pkt): odczytywanie i interpretacja wartości funkcji z wykresów, odpowiedź: Wersja A - A, Wersja B - C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 15: Zadanie 14.4 (0–2 pkt): interpretacja wykresów funkcji, szkicowanie wykresów y=f(x-a) oraz y=f(-x), wersja A: odpowiedzi A, E; wersja B: odpowiedzi A, E. Zadanie 15 (0–1 pkt): obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, wersja A: odpowiedź PF; wersja B: odpowiedź PF.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 16: Zadanie 16 (0–1): Wymagania egzaminacyjne, interpretacja reprezentacji i modeli matematycznych. Rozwiązanie: Wersja A - B2, Wersja B - A2. Zadanie 17 (0–2): Rozumowanie i argumentacja, strategia w zadaniach nietypowych. Rozwiązanie: obliczenie różnicy ciągu r=-2, układ równań dla r, końcowy wynik r=-2. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę, 1 pkt za zapisanie układu równań.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 17: Zadanie dotyczące ciągu arytmetycznego. Sposób I: wykorzystanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n wyrazów, układ równań przekształcony do r=-2, różnica ciągu -2. Sposób II: suma piętnastu wyrazów równa -165, rozpisanie sumy z różnicą r=-2. Uwagi o punktacji: 0 pkt za błędną metodę, 1 pkt za poprawne r. Elementy wizualne: brak.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 18: Zadanie 1: Rozwiązanie dotyczące sumy piętnastu wyrazów ciągu arytmetycznego. Sposób II: Obliczenia z wykorzystaniem wzoru na sumę ciągu, wynik r = -2, różnica ciągu -2. Sposób III: Obliczenia z wykorzystaniem wzoru na sumę, wynik r = -2, różnica ciągu -2. Sposób IV: Obliczenia z wykorzystaniem wzoru na sumę, wynik a₈ = -11.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 19: Zadanie 7: Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego. Rozwiązanie: $a_8 = a_3 + 5r$, $-11 = -1 + 5r$, $r = -2$. Różnica ciągu: $-2$. Sposób V: Równania dla $a_8$ z różnych par wyrazów, suma: $15a_8 = -165$, $a_8 = -11$. Obliczenia potwierdzają różnicę ciągu $-2$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 20: Zadanie 18 (0–2 pkt): wybór poprawnych odpowiedzi z podanych opcji, wersja A: BF, wersja B: CF. Zadanie 19 (0–1 pkt): wybór poprawnej odpowiedzi, wersja A: B, wersja B: A. Wymagania dotyczą interpretacji informacji matematycznych i stosowania strategii w zadaniach nietypowych. Zasady oceniania: 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi, 1 pkt za jedną poprawną, 0 pkt za brak poprawnych odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 21: Zadanie 20 (0–1): Wymagania ogólne dotyczą wykorzystania i interpretowania reprezentacji matematycznych. Wymaganie szczegółowe: stosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - B. Zadanie 21 (0–1): Interpretowanie i operowanie informacjami w różnych formach. Wymaganie szczegółowe: stosowanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości odcinków. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - B.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 22: Zadanie 22 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczą rozumowania i argumentacji, stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - D. Zadanie 23 (0–1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 23: Zadanie 24 (0–2 pkt): obliczenie długości boku BC, |BC|=√52. 2 pkt za poprawną metodę. 1 pkt za zapisanie współrzędnych punktu C: (14,8) lub D: (2,12), lub środka S: (4,4) oraz równości |BC|=2|PS|. Obliczenie wektorów PA i AB, długości odcinków AB, AP, BP i cosinusów kątów. Uwagi dotyczące błędów w zaznaczaniu współrzędnych i użyciu przybliżonych wartości trygonometrycznych.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 24: Przykładowe pełne rozwiązania. Sposób I: Punkt P jest środkiem przekątnej AC, obliczenia współrzędnych C=(14,8), długość odcinka BC=2√13. Sposób II: Punkt P jest środkiem przekątnej BD, obliczenia współrzędnych D=(2,12), długość odcinka BC=2√13. Sposób III: Obliczanie współrzędnych punktu S środka odcinka AB, S=(4,4), długość odcinka BC=2√13.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 25: Zadanie 25.1 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne II.1, obliczanie pola powierzchni graniastosłupów, Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - A. Zadanie 25.2 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne II.1, posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną, Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 26: Zadanie 26 (1 pkt): wykorzystanie zależności między objętościami graniastosłupów i ostrosłupów podobnych, rozwiązanie: 4. Zadanie 27 (1 pkt): zliczanie obiektów przy użyciu reguły mnożenia, rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 27: Zadanie 28 (0–1): Wymagania dotyczące rozumowania i argumentacji, obliczanie średniej arytmetycznej, wersja A: A, wersja B: C. Zadanie 29 (0–1): Sprawność rachunkowa, znajdowanie mediany, wersja A: C, wersja B: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 28: Zadanie 30 (0–2 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A w modelu klasycznym. Prawidłowy wynik: P(A) = 13/25. Wymagania: wypisanie zdarzeń elementarnych, tabela 5x5, drzewo stochastyczne. 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za częściowe rozwiązanie. Uwagi: błędne metody lub brak rozwiązania skutkują 0 pkt.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 29: Zadanie 1: Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A. Sposób I: Liczba zdarzeń elementarnych to 25, zdarzenia sprzyjające to 13, prawdopodobieństwo A wynosi 13/25. Sposób II: Tabela z parami liczb, suma parzysta oznaczona literą A, moc zbioru Ω to 25, zdarzenia sprzyjające to 13, prawdopodobieństwo A wynosi 13/25.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 30: Zadanie 31 (0-4 pkt): Rysunek drzewa stochastycznego z prawdopodobieństwami liczby parzystej i nieparzystej. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = 13/25. Wymagania egzaminacyjne: interpretacja reprezentacji, modele matematyczne. Zasady oceniania dla sposobów I-V: 4 pkt za poprawne obliczenia wymiarów prostokąta x=4,5 m, y=3 m; 3 pkt za wzór i obliczenie argumentu x=4,5 m.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 31: Zasady oceniania rozwiązań zadań dotyczące zapisywania wzorów na sumę pól prostokątów jako funkcji zmiennej oraz obliczania argumentów dla wartości maksymalnych. Zawiera przykłady wzorów P(x) i P(y) oraz uwagi dotyczące błędów w zapisie zależności między wymiarami. Punktacja: 2 pkt za poprawny wzór, 1 pkt za poprawny związek między wymiarami, 0 pkt za niepoprawną metodę.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 32: Zadanie 4: analiza funkcji P, obliczanie wartości maksymalnej funkcji przy użyciu rachunku różniczkowego, szkic wykresu funkcji, zaznaczenie miejsc zerowych pochodnej, monotoniczność funkcji. Zasady oceniania: 4 pkt za poprawne obliczenie wymiarów prostokąta x=4,5 m, y=3 m, 3 pkt za zapisanie układu równań i obliczenie x=4,5 m, 2 pkt za zapisanie układu równań, 1 pkt za zapisanie związku między wymiarami prostokąta.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 33: Zadanie 4: rozwiązanie zadania optymalizacyjnego. Przyjęto oznaczenia i zapisano równanie 4x + 6y = 36. Wyznaczono y = 6 - (2/3)x. Obliczono funkcję P(x) = -2x² + 18x, określono dziedzinę x ∈ (0, 9). Obliczono wierzchołek paraboli p = 4,5. Suma pół podstaw trzech wybiegów największa dla x = 4,5 m, y = 3 m. Szkic paraboli z zaznaczoną wartością maksymalną.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 34: Zadanie (brak numeru): rozwiązanie optymalizacyjne, równanie 4x + 6y = 36, wyznaczenie x: x = 9 - 3/2y, warunki x > 0, y > 0. Funkcja P(y) = -9/2y(y - 6), wykres paraboli skierowanej ramionami do dołu, wierzchołek (3, 0), maksymalna wartość P dla y = 3, obliczenia x = 4,5 m, y = 3 m. Szkic paraboli z zaznaczonym wierzchołkiem.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 35: Zadanie (brak numeru): rozwiązanie optymalizacyjne z funkcją kwadratową. Przyjęto oznaczenia z=3y, równanie 4x+2z=36, wyznaczono z=18-2x. Funkcja P(x)=-2x²+18x, dziedzina x∈(0,9). Wierzchołek paraboli p=4,5. Maksimum P dla x=4,5, z=9, y=3. Suma pół podstaw największa dla x=4,5 m i y=3 m.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 36: Zadanie: rozwiązanie równania liniowego 4x + 6y = 36, wyznaczenie y = 6 - (2/3)x. Warunki: x > 0, y > 0. Obliczenia dla sumy pól podstaw trzech wybiegów P = 3xy, przekształcone do P(x) = 2x(9 - x). Wyznaczenie dziedziny: x < 9, x > 0. Zastosowanie nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną, wynik: x(9 - x) ≤ 20,25, maksymalna wartość dla x = 4,5, y = 3. Szkiców brak.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 37: Zadanie 5: rozwiązanie równania 4x + 6y = 36, wyznaczenie y = 6 - (2/3)x. Obliczenie funkcji P(x) = -2x² + 18x. Dziedzina x ∈ (0, 9). Pochodna P'(x) = -4x + 18, miejsce zerowe x = 4,5. Badanie znaku pochodnej, funkcja rosnąca na (0, 4,5) i malejąca na (4,5, 9). Maksimum dla x = 4,5. Obliczenie drugiego wymiaru dla maksymalnej sumy pól podstaw.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 38: Zadanie 6: Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego dotyczącego prostokąta. Rozważany prostokąt o bokach długości $2x$ i $3y$ (rysunek z siatką). Obwód równy $4x + 6y = 36$. Rozwiązanie układu równań: $2x = 3y$, $x = 4,5$, $y = 3$. Pole prostokąta największe przy tych wartościach. Suma pól podstaw trzech wybiegów największa dla $x = 4,5$ m i $y = 3$ m.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 39: Zasady oceniania rozwiązań zadań dla osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Opis ogólnych zasad oceniania zadań otwartych, w tym błędów merytorycznych, przestawienia cyfr, znaków i przecinków. Wskazówki dotyczące przyznawania punktów za poprawne metody rozwiązań, nawet przy nieprecyzyjnych zapisach. Omówienie kryteriów dla zadań wymagających wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego i rozwiązywania nierówności kwadratowych.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 40: Zadanie 3 (1 pkt): zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (n+1)² lub (n+2)², przekształcenie do postaci n²+n+n+1 lub n²+2n+2n+4. Zadanie 9 (1 pkt): przekształcenie wielomianu x³-2x²-3x+6 do postaci x²(x-2)-3(x-2) lub x(x²-3)-2(x²-3), zapisanie jednego z rozwiązań równania x³-2x²-3x+6=0.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2024, CKE - strona 41: Zadanie 14.1: Zasady oceniania standardowego. Zadanie 17 (1 pkt): zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, różnica ciągu arytmetycznego. Zadanie 24 (1 pkt): zaznaczenie współrzędnych punktów C, D lub środka S odcinka AB: S=(4,4). Zadanie 26: Zasady oceniania standardowego. Zadanie 30 (1 pkt): zapisanie liczby 25 jako liczby zdarzeń elementarnych. Zadanie 31 (1 pkt): zapisanie x=4,5 oraz y=3.

Matura podstawowa matematyka maj 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie