Matura podstawowa matematyka maj 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Dana jest nierówność

\(|x-1| \ge 3\)

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\big(\frac{1}{16}\big)^8 \cdot 8^{16}\) jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\) liczba \(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{\sqrt{3}}9\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a + b)^2 - (2a - b)^2\) jest równa wartości wyrażenia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(1 - \frac{3}{2}x < \frac{2}{3} - x\)

jest przedział

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{x+1}{(x+2)(x-3)} = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dany jest wielomian \(W(x) = 3x^3 + 6x^2 + 9x\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Rozwiąż równanie

\(x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0\)

Zapisz obliczenia.

W październiku \(2022\) roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzono. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiony dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów A-D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (-2k + 3)x + k - 1\), gdzie \(k \in \R\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału

Funkcje liniowe \(f\) oraz \(g\), określone wzorami \(f(x) = 3x + 6\) oraz \(g(x) = ax + 7\), mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(g\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x) \ge 0\) jest przedział .......................... .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji \(f\) prawdziwa jest równość

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcje kwadratowe \(g\) oraz \(h\) są określne za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x + 3)\), \(h(x) = f(-x)\). Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji \(g\) oraz fragment wykresu funkcji \(h\).

Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji \(g\) oraz \(h\) przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonymi literami A-F.

Fragment wykresu funkcji \(y = g(x)\) przedstawiono na rysunku

Fragment wykresu funkcji \(y = h(x)\) przedstawiono na rysunku

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = (-1)^n \cdot (n - 5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Trzywyrazowy ciąg \((12, 6, 2m - 1)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Ten ciąg jest

oraz

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\tg\alpha = -3\) oraz \(90\degree < \alpha < 180\degree\) (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz <u>dwie</u> właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ..... oraz ..... .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sin^320\degree + \cos^220\degree \cdot \sin20\degree\) jest równa

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM| = a\), \(|LM| = b\) oraz \(a \ne b\). Dwusieczna kąta \(KML\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) takim, że \(|KN| = c\), \(|NL| = d\) oraz \(|MN| = e\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie \(KLM\) prawdziwa jest nierówność

Dany jest równoległobok o bakach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120\degree\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie \(ABC\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(ACB\) ma miarę \(42\degree\)(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BAS\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k\): \(\ y = (m + 1)x + 7\) \(l\): \(\ y = -2x + 7\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A = (-2, 6)\) oraz \(B = (10, 2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P = (6, 7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole <u>jednej</u> ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Ostrosłup \(F_1\) jest podobny do ostrosłupa \(F_2\). Objętość ostrosłupa \(F_1\) jest równa \(64\). Objętość ostrosłupa \(F_2\) jest równa \(512\).

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_2\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_1\) jest równy ......... .

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1\), \(3\), \(6\), \(8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa \(9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a\), \(a\), \(b\), \(b\), \(c\), \(c\) jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy <u>ze zwracaniem</u> kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o <u>wspólnych</u> ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.