Matura podstawowa matematyka maj 2025 - interaktywny arkusz + PDF

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((\sqrt{32} - \sqrt{2})^2\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_3 108 - 2\log_3 2\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x + 2)^2 - (2x - 3)^2\) jest równa wartości wyrażenia

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

Dana jest nierówność

\(3 - 2(1 - 2x) \ge 2x -17\)

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-2)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1\ 200\ 000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146\ 700\) złotych – zespół A wykorzystał \(13\%\) przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał \(11\%\) przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność

\(3(2x^2 + 1) < 11x\)

Zapisz obliczenia.

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x) = \begin{cases} x+ 5 &\text{dla }\ x \in [-4, -2] \\ 3 &\text{dla }\ x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 &\text{dla }\ x \in (2, 4) \end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(........................\) . \(2\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(........................\) . \(3\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \(........................\) . \(4\). Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x) = 3\) jest przedział \(........................\) .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3, 6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0, 3)\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3, 6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0, 3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3, 6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0, 3)\).

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x) = f(x) - 3\). Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma \(x_1 + x_2\) jest równa \(............\) .

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (3 - m)x - 4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) <u>nie ma</u> miejsca zerowego dla \(m\) równego

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg

\((2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m)\)

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), w którym \(a_1 = 27\) oraz \(a_2 = 9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3} \tg\alpha = 2\sin\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50\degree\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC| = |BC| = 4\) i \(|AB| = 3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(BD\) ma długość

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 11\), \(|BC| = 12\) oraz \(|\measuredangle ABC| = 60\degree\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A = (4, −1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S = (1, 3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k: y = (m − 2)x + 5\) \(l: y = -4x + (m + 3)\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P = (0, 0)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S = (2, 4)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120\degree\).

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Objętość sześcianu jest równa \(729\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa \(11\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, x, y,\) jest równa \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(x + y\) jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \(24\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.........\) .

\(2\). Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.........\) .

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.