Matura podstawowa matematyka maj 2025 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2025 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $16$

B. $18$

C. $30$

D. $34$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $30$

B. $31$

C. $5^{12}$

D. $5^{27}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_3 108 - 2\log_3 2$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $9$

C. $\log_3 104$

D. $2\log_3 54$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. $5x^2 - 5$

B. $5x^2 + 13$

C. $5x^2 + 24x - 5$

D. $5x^2 + 24x − 13$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dana jest nierówność

$3 - 2(1 - 2x) \ge 2x -17$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0$.

B. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2$.

C. trzy rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$ oraz $0$.

D. cztery rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$, $0$ oraz $5$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{x + 2}{4x + 4}$

B. $\frac{x + 1}{4x + 5}$

C. $\frac{x + 1}{x + 2}$

D. $\frac{2x}{x + 2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę $1\ 200\ 000$ złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie $146\ 700$ złotych – zespół A wykorzystał $13\%$ przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał $11\%$ przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż nierówność

$3(2x^2 + 1) < 11x$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \begin{cases} x+ 5 &\text{dla }\ x \in [-4, -2] \\ 3 &\text{dla }\ x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 &\text{dla }\ x \in (2, 4) \end{cases}$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$1$. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $........................$ . $2$. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $........................$ . $3$. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $........................$ . $4$. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $........................$ .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3)$.

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

A. $x = 3$

B. $x = -3$

C. $y = 6$

D. $y = -6$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) - 3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1 + x_2$ jest równa $............$ .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (3 - m)x - 4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego

Wybierz odpowiedź:

A. $(-3)$

B. $0$

C. $3$

D. $4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $4$

B. $5$

C. $7$

D. $11$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.

Prawda

Fałsz

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg

$(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m)$

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, w którym $a_1 = 27$ oraz $a_2 = 9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{3}$

B. $1$

C. $3$

D. $729$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3} \tg\alpha = 2\sin\alpha$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{4}{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\beta$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$

B. $\frac{3}{\sqrt{13}}$

C. $\frac{5}{2\sqrt{13}}$

D. $\frac{4}{5}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Miara kąta $BCA$ jest równa $50\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $20\degree$

B. $35\degree$

C. $40\degree$

D. $50\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. $2$

B. $2.25$

C. $2.5$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\measuredangle ABC| = 60\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Prawda

Fałsz

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A = (4, −1)$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (1, 3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. $5$

B. $7$

C. $10$

D. $14$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k: y = (m − 2)x + 5$ $l: y = -4x + (m + 3)$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-4)$

B. $(-2)$

C. $2$

D. $5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (2, 4)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\sqrt{5}$

B. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$

C. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 2\sqrt{5}$

D. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 20$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120\degree$.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Objętość sześcianu jest równa $729$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $9\sqrt{3}$

B. $9\sqrt{2}$

C. $3\sqrt{3}$

D. $3\sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $45$

B. $50$

C. $54$

D. $81$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa $11$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{36}$

B. $\frac{6}{36}$

C. $\frac{11}{36}$

D. $\frac{2}{36}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $1, 2, 3, 4, 5, x, y,$ jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $x + y$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4$

B. $5$

C. $6$

D. $7$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej $24$ uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$1$. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa $.........$ .

$2$. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa $.........$ .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym. Formy arkusza: MMAP-P0-100 (wersje A i B), MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00, MMAP-P0-K00, MMAU-P0-100. Termin egzaminu: 6 maja 2025 r. Data publikacji dokumentu: 27 czerwca 2025 r.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wymagania ogólne obejmują sprawność rachunkową i wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych. Wymagania szczegółowe dotyczą stosowania własności pierwiastków i związków pierwiastkowania z potęgowaniem. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - C.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0–1 pkt): sprawność rachunkowa, stosowanie praw działań na potęgach, odpowiedź: Wersja A - B, Wersja B - D. Zadanie 3 (0–1 pkt): wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, stosowanie logarytmów, odpowiedź: Wersja A - A, Wersja B - C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 4: Zadanie 4 (0-1): Wymagania dotyczące sprawności rachunkowej, stosowanie wzorów skróconego mnożenia i operacje na wielomianach. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - D. Zadanie 5 (0-2): Rozumowanie i argumentacja, dowody podzielności liczb. Rozwiązanie obejmuje przekształcenia wyrażeń 3n² + 2n + 7 do postaci podzielnych przez 4, z różnymi przypadkami dla n = 2l + 1 i n = 4l + 1.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 5: Zadanie 4 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci sumy algebraicznej podzielnej przez 4, np. $4(n^2 + n + 2) - (n + 1)^2$, uzasadnienie podzielności przez 4. Rozpatrzenie przypadków $n = 2l + 1$ oraz $n = 4l + 1$. Uwagi dotyczące punktacji: 0 pkt za niepoprawną metodę, 1 pkt za wykazanie podzielności przez 4.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 6: Zadanie 1: Rozwiązanie pokazuje dowód podzielności liczby $3n^2 + 2n + 7$ przez 4 trzema sposobami. Sposób I: Zapisanie liczby w postaci $n = 2l + 1$, obliczenia prowadzą do $4(3l^2 + 4l + 3)$. Sposób II: Algebraiczne przekształcenie do $4(n^2 + n + 2) - (n + 1)^2$. Sposób III: Analiza reszt z dzielenia przez 4, przypadki dla reszt 1 i 3, prowadzą do $4(12l^2 + 8l + 3)$ i $4(12l^2 + 20l + 10)$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 7: Zadanie 6 (0–1): Wymaganie ogólne: interpretowanie informacji matematycznych. Wymaganie szczegółowe: rozwiązywanie nierówności liniowych, zaznaczanie przedziałów liczbowych. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - D. Zadanie 7 (0–1): Wymaganie ogólne: stosowanie obiektów matematycznych. Wymaganie szczegółowe: rozwiązywanie równań wielomianowych. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 8: Zadanie 8 (0–1 pkt): Wersja A - odpowiedź C, Wersja B - odpowiedź B, mnożenie wyrażeń wymiernych. Zadanie 9 (0–2 pkt): zastosowanie układu równań do zadania tekstowego, poprawny wynik: 735 000 zł. Kluczowe etapy: zapisanie układu równań x+y=1 200 000 oraz 0,13x+0,11y=146 700, alternatywnie równania z jedną niewiadomą.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 9: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań x + y = 1 200 000 oraz 0,13x + 0,11y = 146 700. Wyznaczenie y = 1 200 000 - x, podstawienie do drugiego równania, obliczenia: 0,13x + 0,11(1 200 000 - x) = 146 700, uproszczenie do 0,02x = 14 700, wynik x = 735 000. Zespół A otrzymał 735 000 zł.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 10: Zadanie 10 (0–2 pkt): rozwiązanie nierówności kwadratowej 6x² - 11x + 3, pierwiastki x₁=1/3, x₂=3/2. Zbiór rozwiązań x ∈ (1/3, 3/2) przedstawiony graficznie jako odcinek na osi liczbowej z zaznaczonymi końcami przedziału. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę i zapis, 1 pkt za częściowe błędy, 0 pkt za błędną metodę. Uwagi dotyczące błędów w obliczeniach i interpretacji graficznej.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 11: Zadanie 4: rozwiązanie nierówności 6x² - 11x + 3 < 0 poprzez obliczenie miejsc zerowych funkcji y = 6x² - 11x + 3. Obliczono wyróżnik trójmianu Δ = 49. Miejsca zerowe: x₁ = 1/3, x₂ = 3/2. Szkic wykresu paraboli z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Zbiór rozwiązań nierówności: przedział (1/3, 3/2).

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 12: Zadanie 11 (0–4): Wymagania dotyczą interpretacji wykresu funkcji, odczytywania dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych, przedziałów monotoniczności. Rozwiązanie: 1. Dziedzina funkcji f to przedział ⟨−4, 4⟩. 2. Zbiór wartości funkcji f to przedział ⟨−3, 3⟩. 3. Zbiór argumentów dla wartości dodatnich to przedział ⟨−4, 3⟩. 4. Zbiór rozwiązań równania f(x) = 3 to przedział ⟨−2, 2⟩. Punktacja: 4 pkt za pełne uzupełnienie.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 13: Zadanie 12.1 (0-2 pkt): wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Rozwiązanie: $ f(x) = \frac{1}{3}(x-3)^2 + 6 $. Kluczowe kroki: zapisanie wzoru, obliczenie współczynnika $ a = -\frac{1}{3} $ z równania $ 3a - 1 = 3 $. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę, 1 pkt za częściowe rozwiązanie. Przykładowe rozwiązanie: użycie wzoru kanonicznego, obliczenia dla punktu (0, 3).$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 14: Zadanie 4: rozwiązanie funkcji kwadratowej f(x)=-1/3(x-3)²+6. Sposób II: użycie wzoru ogólnego f(x)=ax²+bx+c. Punkty (0,3), (3,6), (6,3) na wykresie. Równania: 9a+3b+3=6, 36a+6b+3=3. Rozwiązanie: a=-1/3, b=2, c=3. Wzór ogólny: f(x)=-1/3x²+2x+3. Przekształcenie do postaci kanonicznej: f(x)=-1/3(x-3)²+6.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 15: Zadanie 12.2 (0-1 pkt): interpretacja informacji w formie wykresów i diagramów, wykorzystanie funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - B. Zadanie 12.3 (0-1 pkt): szkicowanie wykresów funkcji, odczytywanie miejsc zerowych. Rozwiązanie: suma x₁ + x₂ jest równa 6.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 16: Zadanie 13 (0–1 pkt): interpretacja współczynników funkcji liniowej, wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie wykresu. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - B. Zadanie 14.1 (0–1 pkt): obliczanie początkowych wyrazów ciągów określonych rekurencyjnie. Rozwiązanie: Wersja A - D, Wersja B - A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 17: Zadanie 14.2 (0–1 pkt): sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, odpowiedź FF. Zadanie 15 (0–3 pkt): analiza ciągu arytmetycznego, obliczenie wartości m, dla których ciąg jest arytmetyczny, m=-2 lub m=5/2, oraz r=27/4 lub r=0. Rozwiązanie równań z jedną niewiadomą, analiza nierówności dla m.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 18: Zadanie dotyczące ciągu arytmetycznego. Obliczenie wartości r dla ciągu (2m + 11, m² + 3, 5 - m) jako arytmetycznego i malejącego: r = -27/4. Rozwiązanie równań z jedną niewiadomą m, np.: 2m + 11 + 5 - m = m² + 3. Rozwiązanie układu równań z dwiema niewiadomymi. Rozwiązanie nierówności dla m. Uwagi dotyczące błędów i punktacji: 0 pkt za błędne metody, 3 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 19: Zadanie 1: Rozwiązanie równania kwadratowego 2m² - m - 10 = 0 metodą delty, Δ=81, m₁=-2, m₂=5/2. Dla m=-2 ciąg (7, 7, 7) jest stały, dla m=5/2 ciąg (16, 37/4, 5/2) jest malejący. Zadanie 2: Analiza malejącego ciągu (2m+11, m²+3, 5-m) dla m∈(1,4). Obliczenia algebraiczne pokazujące warunki malejącego ciągu.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 20: Zadanie 1: rozwiązanie równania kwadratowego 2m² - m - 10 = 0, metoda delty, Δ=81, m₁=-2, m₂=5/2. Ciąg (2m+11, m²+3, 5-m) jest malejący, gdy m=5/2. Sposób III: wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, obliczenia prowadzą do równania 2m² - m - 10 = 0, Δ=81, m₁=-2, m₂=5/2. Ciąg malejący, gdy 2m+11 > 5-m, stąd m > -2.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 21: Zadanie 4: analiza ciągu arytmetycznego. Dla $ m = \frac{5}{2} $ ciąg $ \left( 16, \frac{37}{4}, \frac{5}{2} \right) $ jest malejący. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie $ r $ z równań: $ m^2 - 2m - r - 8 = 0 $ i $ 3m + 2r + 6 = 0 $. Obliczenia prowadzą do $ r = -\frac{27}{4} $ i $ m = \frac{5}{2} $. Wynik: ciąg $ (2m + 11, m^2 + 3, 5 - m) $ jest malejący.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 22: Zadanie 16 (0–1 pkt): Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - A. Zadanie 17 (0–1 pkt): Zdający korzysta z wzorów trygonometrycznych: sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 23: Zadanie 18.1 (0–1 pkt): wykorzystanie definicji funkcji tangens dla kątów od 0° do 180°, wersja A: D, wersja B: C. Zadanie 18.2 (0–1 pkt): wykorzystanie definicji funkcji sinus dla kątów od 0° do 180°, wersja A: A, wersja B: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 24: Zadanie 19 (0–1): Rozumowanie i argumentacja, stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - B. Zadanie 20 (0–1): Rozumowanie i argumentacja, korzystanie z cech podobieństwa trójkątów. Rozwiązanie: Wersja A - B, Wersja B - C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 25: Zadanie 21 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne IV.3, stosowanie twierdzenia cosinusów i wzoru na pole trójkąta $ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma $. Rozwiązanie: Wersja A - FP, Wersja B - FP. Zadanie 22 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne IV.4, obliczanie odległości punktów w układzie współrzędnych. Rozwiązanie: Wersja A - C, Wersja B - B.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 26: Zadanie 23 (1 pkt): wykorzystanie równań prostych na płaszczyźnie, wersja A: B, wersja B: A. Zadanie 24 (1 pkt): posługiwanie się równaniem okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, wersja A: B, wersja B: C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 27: Zadanie 25 (0-3 pkt): obliczenie objętości stożka. Wymagania: rozpoznanie kątów w stożkach, obliczenie objętości z wykorzystaniem trygonometrii. 3 pkt: poprawna metoda i wynik V=64π. 2 pkt: zapisanie r=4√3 i H=4, wyznaczenie objętości. 1 pkt: zapisanie r=4√3, H=4, obliczenie r²=48, układ równań dla r i H.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 28: Przykładowe rozwiązanie zadania dotyczącego stożka. Sposób I: Przyjęcie oznaczeń dla przekroju osiowego stożka, gdzie S to wierzchołek, O to spodek wysokości, r to promień podstawy, H to wysokość. Zauważenie, że r>0 i H>0. Kąt ∠OSB=60°. W trójkącie prostokątnym OBS obliczenia bazują na kątach 60° i 120°. Rysunek przedstawia przekrój stożka z zaznaczonymi kątami i długościami.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 29: Zadanie z obliczaniem objętości stożka. Rozwiązanie obejmuje użycie funkcji trygonometrycznych: sin 60° i cos 60° do obliczenia promienia podstawy r=4√3 i wysokości H=4. Obliczono objętość V=64π. Wykorzystano twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABS i twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta OBS. Rysunek przedstawia przekrój osiowy stożka z oznaczeniami.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 30: Zadanie 7: obliczenie objętości stożka, H²=16, H=4, V=64π. Sposób III: rysunek przekroju osiowego stożka, oznaczenia: S, O, r, H. Pole trójkąta ABS=16√3, r·H=16√3. Twierdzenie cosinusów: (2r)²=128, r=4√3. Obliczenia: V=64π.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 31: Zadanie 26 (0–1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, obliczanie objętości graniastosłupów. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - D. Zadanie 27 (0–1 pkt): Tworzenie modeli matematycznych, zliczanie obiektów przy użyciu reguł mnożenia i dodawania. Rozwiązanie: Wersja A - A, Wersja B - D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 32: Zadanie 28 (0–1 pkt): obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym, odpowiedzi: Wersja A - D, Wersja B - B. Zadanie 29 (0–1 pkt): obliczanie średniej arytmetycznej, odpowiedzi: Wersja A - C, Wersja B - A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 33: Zadanie 30 (0–2 pkt): znajdowanie mediany i dominanty ocen, mediana = 4,5, dominanta = 6. Zadanie 31 (0–4 pkt): zadanie optymalizacyjne z funkcją kwadratową, P(x) = -2x² + 22x + 88, D = (0, 11), x = 11/2, wyznaczenie wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ABCDEFGH w zależności od x.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 34: Zadanie 1 (2 pkt): wyznaczenie wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ABCDEFGH w zależności od zmiennej x, P(x) = -2x² + 22x + 88, zapisanie zależności między długościami krawędzi BF i AB, x + 4 + |BF| = 15, x ∈ (0, 11). Zadanie 2 (1 pkt): zapisanie wzoru na pole powierzchni w zależności od długości krawędzi AB i BF, P = 2·(4x + x·|BF| + 4·|BF|), x ∈ (0, 11). Uwagi dotyczą punktacji i metod rozwiązań.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 35: Zadanie 7 (3 pkt): obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu ABCDEFGH. Szkic prostopadłościanu z oznaczeniami wierzchołków. Suma długości krawędzi wychodzących z wierzchołka B wynosi 15, równania: |AB|=x, |BC|=4, |BF|=11-x. Wzór funkcji P zmiennej x: P=2·(|AB|·|BC|+|AB|·|BF|+|BC|·|BF|).

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 36: Zadanie 10: obliczenie funkcji kwadratowej P(x)=2·[-x²+11x+44], uproszczenie do P(x)=-2x²+22x+88. Wyznaczenie dziedziny x∈(0,11). Wykres paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczenie wierzchołka paraboli p=11/2. Funkcja P przyjmuje wartość największą dla x=11/2. Największe pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu dla x=11/2.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 37: Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych, uwzględniające błędy wynikające z przestawienia cyfr, zapisu cyfr o podobnym wyglądzie, przestawienia przecinka, znaku liczby. Przyznawanie punktów za poprawną metodę rozwiązania, nawet przy nieprecyzyjnych zapisach. Szczegóły dotyczące zadań z pierwiastkami trójmianu kwadratowego, nierówności kwadratowej, własności funkcji kwadratowej.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 38: Zadanie 5 (1 pkt): zapisanie n=2l+1, przekształcenie 3n²+2n+7 do 3(2l+1)²+2(2l+1)+7. Zadanie 9 (1 pkt): zapisanie równania 13%·x+11%·y=146700. Zadanie 10 (1 pkt): poprawne obliczenie pierwiastków 6x²−11x+3, zastosowanie wzoru na pierwiastki, narysowanie paraboli przy błędzie, rozwiązanie nierówności 3(2x²+1)<0.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 39: Zadanie 11: Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 12.1 (1 pkt): zapisanie wzoru funkcji f w postaci $ f(x) = a(x-p)^2 + q $, gdzie $ p = 3 $, $ q = 6 $. Zadanie 12.3: Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 15: 2 pkt za równanie z niewiadomą $ m $, np. $ 2m + 11 + 5 - m = m^2 + 3 $, oraz zapisanie jednej z nierówności. 1 pkt za zapisanie nierówności lub równania z dwiema niewiadomymi $ m $ i $ r $.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2025, CKE - strona 40: Zadanie 25 (1 pkt): zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°, równanie z jedną niewiadomą, np. $ \frac{H}{8} = \cos 60° $, $ \frac{r}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Zadanie 30: ocena arkusza standardowego. Zadanie 31 (2 pkt): zależności między krawędziami prostokąta, równania $ x + 4 + |BF| = 15 $, wzór na pole powierzchni całkowitej $ P = 2 \cdot (4x + x \cdot |BF| + 4 \cdot |BF|) $.$

Matura podstawowa matematyka maj 2025 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie