Matura podstawowa z matematyki | Maj 2025 | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((\sqrt{32} - \sqrt{2})^2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(16\)

B. \(18\)

C. \(30\)

D. \(34\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(30\)

B. \(31\)

C. \(5^{12}\)

D. \(5^{27}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_3 108 - 2\log_3 2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(9\)

C. \(\log_3 104\)

D. \(2\log_3 54\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x + 2)^2 - (2x - 3)^2\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(5x^2 - 5\)

B. \(5x^2 + 13\)

C. \(5x^2 + 24x - 5\)

D. \(5x^2 + 24x − 13\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dana jest nierówność

\(3 - 2(1 - 2x) \ge 2x -17\)

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

A.

Kliknij, aby powiększyć

B.

Kliknij, aby powiększyć

C.

Kliknij, aby powiększyć

D.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(0\).

B. dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\).

C. trzy rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\) oraz \(0\).

D. cztery rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\), \(0\) oraz \(5\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-2)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{x + 2}{4x + 4}\)

B. \(\frac{x + 1}{4x + 5}\)

C. \(\frac{x + 1}{x + 2}\)

D. \(\frac{2x}{x + 2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1\ 200\ 000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146\ 700\) złotych – zespół A wykorzystał \(13\%\) przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał \(11\%\) przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż nierówność

\(3(2x^2 + 1) < 11x\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x) = \begin{cases} x+ 5 &\text{dla }\ x \in [-4, -2] \\ 3 &\text{dla }\ x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 &\text{dla }\ x \in (2, 4) \end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(........................\) . \(2\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(........................\) . \(3\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \(........................\) . \(4\). Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x) = 3\) jest przedział \(........................\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.1

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3, 6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0, 3)\).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3, 6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0, 3)\).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

A. \(x = 3\)

B. \(x = -3\)

C. \(y = 6\)

D. \(y = -6\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3, 6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0, 3)\).

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x) = f(x) - 3\). Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma \(x_1 + x_2\) jest równa \(............\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (3 - m)x - 4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego

Wybierz odpowiedź:

A. \((-3)\)

B. \(0\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.1

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(5\)

C. \(7\)

D. \(11\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.2

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

Prawda

Fałsz

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg

\((2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m)\)

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), w którym \(a_1 = 27\) oraz \(a_2 = 9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(729\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3} \tg\alpha = 2\sin\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18.1

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{3}{4}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(\frac{4}{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18.2

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)

B. \(\frac{3}{\sqrt{13}}\)

C. \(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)

D. \(\frac{4}{5}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(20\degree\)

B. \(35\degree\)

C. \(40\degree\)

D. \(50\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC| = |BC| = 4\) i \(|AB| = 3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(BD\) ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(2.25\)

C. \(2.5\)

D. \(3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 11\), \(|BC| = 12\) oraz \(|\measuredangle ABC| = 60\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.

Prawda

Fałsz

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A = (4, −1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S = (1, 3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(5\)

B. \(7\)

C. \(10\)

D. \(14\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k: y = (m − 2)x + 5\) \(l: y = -4x + (m + 3)\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-4)\)

B. \((-2)\)

C. \(2\)

D. \(5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P = (0, 0)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S = (2, 4)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. \((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\sqrt{5}\)

B. \((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20\)

C. \((x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 2\sqrt{5}\)

D. \((x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 20\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120\degree\).

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Objętość sześcianu jest równa \(729\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9\sqrt{3}\)

B. \(9\sqrt{2}\)

C. \(3\sqrt{3}\)

D. \(3\sqrt{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(45\)

B. \(50\)

C. \(54\)

D. \(81\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa \(11\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{36}\)

B. \(\frac{6}{36}\)

C. \(\frac{11}{36}\)

D. \(\frac{2}{36}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, x, y,\) jest równa \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(x + y\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(5\)

C. \(6\)

D. \(7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \(24\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(1\). Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.........\) .

\(2\). Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.........\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.