Matura podstawowa matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100}\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\log_{7} 98 - \log_{7} 2\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra \(2\), jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wartość wyrażenia \((3+4a)^2 - (3-4a)^2\) jest równa

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Dany jest wielomian

\(W(x) = 3x^3 + kx^2 - 12x - 7k + 12\)

gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba \((-2)\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\(\frac{(4x - 6)(x - 2)^2}{2x(x - 1,5)(x + 6)} = 0\)

ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Spośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

\(|x + 1| \leq 2\)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2 + 2023\) jest podzielna przez \(8\).

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x - 2)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności:

\(f(x) \leq 0\)

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Dana jest funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = ax + b\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji \(f\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku obok.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynniki \(a\) i \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny \(P\) swojego produktu na liczbę \(Q\) kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Ponadto przy cenie równej \(5\) jednostek liczba kupujących jest równa \(12\) jednostek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę - po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

\(m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}\)

gdzie:

\(m_0\) - masa przyjętej dawki leku

\(T\) - czas półtrwania leku

\(t\) - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co \(4\) dni o tej samej godzinie dawkę \(m_0 = 100\) mg leku \(L\). Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy \(T = 4\) doby.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres zależności masy \(M\) leku \(L\) w organizmie tego pacjenta od czasu \(t\), liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku

Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę - po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

\(m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}\)

gdzie:

\(m_0\) - masa przyjętej dawki leku

\(T\) - czas półtrwania leku

\(t\) - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co \(4\) dni o tej samej godzinie dawkę \(m_0 = 100\) mg leku \(L\). Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy \(T = 4\) doby.

Oblicz masę leku \(L\) w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(0,1\) mg.

Zapisz obliczenia.

Klient wpłacił do banku \(20 000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(3\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po \(2\) latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = -3n + 5\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 6\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 10\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg o środku \(S = (2, -5)\) i promieniu \(r = 3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie tego okręgu ma postać

Odcinki \(AD\) i \(BC\) przecinają się w punkcie \(O\). W trójkątach \(ABO\) i \(ODC\) zachodzą związki: \(|AO| = 5\), \(|BO| = 3\), \(|OC| = 10\), \(|\angle OAB| = |\angle OCD|\) (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku \(OD\) trójkąta \(ODC\).

Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = −3x + 1\).

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A-D.

Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = −3x + 1\).

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród E-H.

Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\). Wierzchołki \(A = (−2, 1)\) i \(C = (4, 5)\) są końcami przekątnej tego kwadratu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej kwadratu \(ABCD\) jest równa

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r = 8\) (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(8\sqrt{3}\).

Dokończ zdanie.

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(BAC\) jest równa

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(4 \tg \alpha = 3 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha\).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Dane są dwa trójkąty podobne \(ABC\) i \(KLM\) o polach równych - odpowiednio - \(P\) oraz \(2P\). Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Obwód trójkąta \(KLM\) jest równy

ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\). Proste \(k\) i \(l\) są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(A\) i \(B\). Te proste przecinają się w punkcie \(S\) i tworzą kąt o mierze \(76 \degree\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(OBA\) jest równa

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt \(ABCD\), w którym bok \(BC\) odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna \(AC\) tego prostokąta ma długość \(16\) i tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(30 \degree\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCS\) o podstawie \(ABC\). Punkty \(D\), \(E\) i \(F\) są środkami - odpowiednio - krawędzi bocznych \(AS\), \(BS\) i \(CS\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości ostrosłupa \(DEFS\) do objętości ostrosłupa \(ABCS\) jest równy

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) (zobacz rysunek obok).

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy ścianą boczną \(ACFD\) i przekątną \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tego graniastosłupa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1000\) do \(9999\). Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej \(3\), jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30 \degree\).

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zapisz obliczenia.

W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażony w godzinach - dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażony w godzinach - dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa