Matura podstawowa matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Próbny • CKE • marzec 2022 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100} + 6^{100}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $6^{600}$

B. $6^{101}$

C. $36^{100}$

D. $36^{600}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\log_{7} 98 - \log_{7} 2$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $7$

B. $2$

C. $1$

D. $(-1)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra $2$, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $900$

B. $729$

C. $648$

D. $512$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wartość wyrażenia $(3+4a)^2 - (3-4a)^2$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $32a^2$

B. $0$

C. $48a$

D. $8a^2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Wybierz odpowiedź:

A. $(\alpha + \beta) + \beta = 90 \degree,\ \alpha + \beta = 2 \alpha - \beta$

B. $(\alpha + \beta) + \beta = 180 \degree,\ \alpha + \beta = 2 \alpha - \beta$

C. $(\alpha + \beta) + \beta = 180 \degree,\ \beta = 2 \alpha - \beta$

Wybierz odpowiedź:

D. $\alpha + \beta = 90 \degree,\ \beta = 2 \alpha - \beta$

E. $\alpha + \beta = 2 \alpha - \beta,\ 180 \degree - (2 \alpha - \beta) = \beta$

F. $3 \alpha + 2 \beta = 360 \degree,\ 2 \alpha - \beta = 2 \beta$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest wielomian

$W(x) = 3x^3 + kx^2 - 12x - 7k + 12$

gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba $(-2)$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2$

B. $4$

C. $6$

D. $8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

$\frac{(4x - 6)(x - 2)^2}{2x(x - 1,5)(x + 6)} = 0$

ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

A. dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$.

B. dokładnie dwa rozwiązania: $x = 1,5$, $x = 2$.

C. dokładnie trzy rozwiązania: $x = -6$, $x = 0$, $x = 2$.

D. dokładnie cztery rozwiązania: $x = -6$, $x = 0$, $x = 1,5$, $x = 2$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Spośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

$|x + 1| \leq 2$

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2 + 2023$ jest podzielna przez $8$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x - 2)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności:

$f(x) \leq 0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dana jest funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji $f$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku obok.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynniki $a$ i $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki

Wybierz odpowiedź:

A. $a > 0$ i $b > 0$.

B. $a > 0$ i $b < 0$.

C. $a < 0$ i $b > 0$.

D. $a < 0$ i $b < 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny $P$ swojego produktu na liczbę $Q$ kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o $1$ jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o $3$ jednostki. Ponadto przy cenie równej $5$ jednostek liczba kupujących jest równa $12$ jednostek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Wybierz odpowiedź:

A. $Q = -0,9P^2 + 6,9$

B. $Q = -3P + 27$

C. $P = -0,9Q^2 + 6,9$

D. $P = -3Q + 27$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Czas $T$ półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę - po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa $m$ leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$

gdzie:

$m_0$ - masa przyjętej dawki leku

$T$ - czas półtrwania leku

$t$ - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0 = 100$ mg leku $L$. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy $T = 4$ doby.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres zależności masy $M$ leku $L$ w organizmie tego pacjenta od czasu $t$, liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

$m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$

gdzie:

$m_0$ - masa przyjętej dawki leku

$T$ - czas półtrwania leku

$t$ - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

Pacjent otrzymuje co $4$ dni o tej samej godzinie dawkę $m_0 = 100$ mg leku $L$. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy $T = 4$ doby.

Oblicz masę leku $L$ w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do $0,1$ mg.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Klient wpłacił do banku $20 000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $3\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po $2$ latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $20000 \cdot (1,12)^2$

B. $20000 \cdot 2 \cdot 1,03$

C. $20000 \cdot 1,06$

D. $20000 \cdot (1,03)^2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = -3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Liczby $2$, $(-1)$, $(-4)$ są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu $(a_n)$.

Prawda

Fałsz

$(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej $5$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 6$, $|BC| = 5$, $|AC| = 10$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta $ABC$ jest równy $(-0,65)$.

Prawda

Fałsz

Trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dany jest okrąg o środku $S = (2, -5)$ i promieniu $r = 3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie tego okręgu ma postać

Wybierz odpowiedź:

A. $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$

B. $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 3$

C. $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 3$

D. $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO| = 5$, $|BO| = 3$, $|OC| = 10$, $|\angle OAB| = |\angle OCD|$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długość boku $OD$ trójkąta $ODC$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y = −3x + 1$.

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A-D.

Jedną z prostych równoległych do prostej $k$ jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

A. $y = 3x + 2$

B. $y = -3x + 2$

C. $y = \frac{1}{3}x + 1$

D. $y = -\frac{1}{3}x + 1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y = −3x + 1$.

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród E-H.

Jedną z prostych prostopadłych do prostej $k$ jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

E. $y = \frac{1}{3}x + 2$

F. $y = -\frac{1}{3}x + 2$

G. $y = 3x + 1$

H. $y = -3x + 1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$. Wierzchołki $A = (−2, 1)$ i $C = (4, 5)$ są końcami przekątnej tego kwadratu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $10$

B. $2\sqrt{13}$

C. $2\sqrt{10}$

D. $8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r = 8$ (zobacz rysunek). Cięciwa $AC$ ma długość $8\sqrt{3}$.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie.

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $BAC$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $30\degree$

B. $45\degree$

C. $15\degree$

D. $60\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $4 \tg \alpha = 3 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha$.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ i $KLM$ o polach równych - odpowiednio - $P$ oraz $2P$. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $x$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Obwód trójkąta $KLM$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\sqrt{2} \cdot x$

B. $2x$

ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy

Wybierz odpowiedź:

1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.

2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów.

3. stosunkowi pól tych trójkątów.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $O$. Proste $k$ i $l$ są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - $A$ i $B$. Te proste przecinają się w punkcie $S$ i tworzą kąt o mierze $76 \degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $OBA$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $52 \degree$

B. $26 \degree$

C. $14 \degree$

D. $38 \degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt $ABCD$, w którym bok $BC$ odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna $AC$ tego prostokąta ma długość $16$ i tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $30 \degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $8$

B. $8 \sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCS$ o podstawie $ABC$. Punkty $D$, $E$ i $F$ są środkami - odpowiednio - krawędzi bocznych $AS$, $BS$ i $CS$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości ostrosłupa $DEFS$ do objętości ostrosłupa $ABCS$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $3 : 4$

B. $1 : 4$

C. $1 : 8$

D. $3 : 8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ (zobacz rysunek obok).

Kliknij, aby powiększyć

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy ścianą boczną $ACFD$ i przekątną $AE$ ściany bocznej $ABED$ tego graniastosłupa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

A. $\alpha = \angle EAG$

Kliknij, aby powiększyć

B. $\alpha = \angle EAD$

Kliknij, aby powiększyć

C. $\alpha = \angle EAF$

Kliknij, aby powiększyć

D. $\alpha = \angle EAC$

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od $1000$ do $9999$. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej $3$, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30 \degree$.

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

W pewnej grupie $100$ uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażony w godzinach - dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa $2,25$ godziny.

Prawda

Fałsz

Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż $2,5$ godziny.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2,25$ godziny

B. $2,50$ godziny

C. $2,75$ godziny

D. $1,50$ godziny

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Egzamin maturalny, arkusz pokazowy. Przedmiot: Matematyka. Poziom: podstawowy. Formy arkusza: MMAP-P0-100, MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-660, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00. Data publikacji dokumentu: 4 marca 2022 r.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0-1): Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024, sprawność rachunkowa, działania na liczbach rzeczywistych, stosowanie praw działań matematycznych, odpowiedź B. Zadanie 2 (0-1): Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024, sprawność rachunkowa, stosowanie związków logarytmowania z potęgowaniem, brak odpowiedzi. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 3: Zadanie 2 (1 pkt): odpowiedź B. Zadanie 3 (1 pkt): odpowiedź C, wymaganie ogólne: wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, szczegółowe: liczenie obiektów z użyciem reguł mnożenia i dodawania. Zadanie 4 (1 pkt): odpowiedź C, wymaganie ogólne: stosowanie obiektów matematycznych, szczegółowe: stosowanie wzorów skróconego mnożenia. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 4: Zadanie 5 (0–2 pkt): wybór poprawnych odpowiedzi B i E, dotyczący rozwiązywania układów równań liniowych i interpretacji geometrycznej. Zadanie 6 (0–1 pkt): obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym, poprawna odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 5: Zadanie 7 (0-1 pkt): rozwiązanie równania wymiernego postaci V(x)/W(x)=0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej. Rozwiązanie: A. Zadanie 8 (0-1 pkt): posługiwanie się pojęciem przedziału liczbowego, zaznaczanie przedziałów na osi liczbowej, rozwiązywanie równań i nierówności typu: |x+4|=5, |x−2|<3, |x+3|≥4. Rozwiązanie: A.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 6: Zadanie 9 (0-2 pkt): dowód podzielności liczby n²+2023 przez 8. Rozwiązanie: n=2k+1, n²+2023=(2k+1)²+2023=4k²+4k+1+2023=4k(k+1)+2024. Dla parzystego k, 4k(k+1) podzielne przez 8. Dla nieparzystego k, 4k(k+1) podzielne przez 8. Liczba 2024 podzielna przez 8, bo 2024=8·253. Wniosek: 4k(k+1)+2024 podzielne przez 8. Dowód zakończony.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 7: Zadanie 10.1 (1 pkt): interpretacja wykresu funkcji, szkicowanie wykresów y=f(x-a), y=f(x)+b, rozwiązanie D. Zadanie 10.2 (1 pkt): odczytywanie z wykresu funkcji: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, rozwiązanie (-∞, -1] ∪ [3, +∞). Zasady oceniania: 1 pkt za poprawne rozwiązanie, 0 pkt za niepoprawne lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 8: Zadanie 10.3 (0-3 pkt): Wymagania dotyczące interpretacji współczynników funkcji kwadratowej. Przykładowe rozwiązanie: przekształcenie funkcji do postaci kanonicznej f(x) = a(x-p)²+q, odczytanie wierzchołka paraboli p=1, q=8, obliczenie a z miejsca zerowego x=-1, wynik a=-2. Ostateczny wzór funkcji: f(x)=-2(x-1)²+8. Zasady oceniania: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za częściowe, 1 pkt za odczytanie wierzchołka.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 9: Zadanie 11 (1 pkt): interpretacja współczynników we wzorze funkcji liniowej, odpowiedź B. Zadanie 12 (1 pkt): wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie wykresu, wykorzystanie własności funkcji do interpretacji zagadnień geometrycznych, odpowiedź B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 10: Zadanie 13.1 (0–1): Rozwiązanie A, interpretacja wartości funkcji z tabel i wykresów, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 13.2 (0–3): Obliczenie masy leku, poprawny wynik 99,9 mg, wzór na sumę ciągu geometrycznego, zapis sumy: $100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{10}}{1 - \frac{1}{2}}$, 3 pkt za poprawną metodę i wynik, 2 pkt za poprawne zastosowanie wzoru.$

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 11: Zadanie 1 (1 pkt): wyznaczenie masy leku w organizmie po przyjęciu jedenastej dawki. Rozwiązanie: obliczenia sumy szeregu geometrycznego dla dawek leku, 100·(1/2)¹⁰, 100·(1/2)⁹, ..., 100·(1/2)¹. Kluczowe kroki: suma szeregu geometrycznego, zastosowanie wzoru na sumę nieskończonego szeregu, wynik: 100(1-(1/2)¹⁰) ≈ 99,9 mg leku.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 12: Zadanie 14 (1 pkt): wymagania dotyczące sprawności rachunkowej, wykorzystanie potęgowania i pierwiastkowania w praktyce, rozwiązanie D. Zadanie 15 (1 pkt): rozumowanie i argumentacja, obliczanie wyrazów ciągu, sprawdzanie ciągu arytmetycznego lub geometrycznego, rozwiązanie PF. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub błędną.

$Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 13: Zadanie 16 (0-1 pkt): zastosowanie twierdzenia cosinusów i wzoru na pole trójkąta $ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma $. Rozwiązanie: PP. Zadanie 17 (0-1 pkt): wykorzystanie równania okręgu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Rozwiązanie: A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub błędną odpowiedź.$

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 14: Zadanie 18 (0–1 pkt): wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów. Rozwiązanie: trójkąty ABO i ODC są podobne na mocy cechy kkk. Obliczenia: |CO|/|AO| = |OD|/|OB|, 10/5 = |OD|/3, |OD| = 6. Długość boku OD trójkąta ODC wynosi 6.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 15: Zadanie 19 (0–2 pkt): wykorzystanie równań prostych na płaszczyźnie, poprawne dokończenie dwóch zdań, rozwiązanie: 1. B, 2. E. Zadanie 20 (0–1 pkt): obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych, odpowiedź: B. Zadanie 21 (0–1 pkt): obliczanie kątów trójkąta i długości boków, stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 16: Zadanie 22 (1 pkt): wykorzystanie wzorów trygonometrycznych, sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα, odpowiedź A. Zadanie 23 (1 pkt): rozumowanie i argumentacja, zależności między obwodami i polami figur podobnych, odpowiedź A2.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 17: Zadanie 24 (1 pkt): wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych, twierdzenie Talesa, odpowiedź D. Zadanie 25 (1 pkt): stosowanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości odcinków i obliczania pól figur, odpowiedź D.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 18: Zadanie 26 (1 pkt): wykorzystanie zależności między objętościami graniastosłupów i ostrosłupów podobnych, odpowiedź C. Zadanie 27 (1 pkt): posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną, rozpoznawanie kątów w graniastosłupach i ostrosłupach, obliczanie miar kątów, odpowiedź A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 19: Zadanie 28 (0-3 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, P(A)=|A|/|Ω|=1/900. Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych |Ω|=9000 oraz |A|=10. Wymienione zdarzenia sprzyjające: 1011, 1101, 1110, 1002, 1020, 1200, 2001, 2010, 2100, 3000. Przykładowe rozwiązanie: losy od 1000 do 9999, |Ω|=9000, A={1011, 1101, 1110, 1002, 1020, 1200, 2001, 2010, 2100, 3000}, P(A)=1/900.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 20: Zadanie 29 (0-4 pkt): zadanie optymalizacyjne dotyczące równoległoboku. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące rozumowania i argumentacji. Zasady oceniania: 4 pkt za poprawne obliczenie długości boków i pola przy a=50, b=50, P(50)=1250. Przykładowe rozwiązanie: równoległobok z kątem 30°, wzór na pole P=a·b·sin30°, funkcja P(a)=a·(100-a)·½, P(a)=-½a²+50a, dla a∈(0,100). Szkic równoległoboku z oznaczeniami.

Matematyka, matura podstawowa, marzec 2022, CKE - strona 21: Zadanie 30.1 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne: interpretowanie informacji w tekście, wykresach, diagramach, tabelach. Wymaganie szczegółowe: obliczanie średniej arytmetycznej i ważonej, znajdowanie mediany i dominanty. Rozwiązanie: PP. Zadanie 30.2 (0–1 pkt): Te same wymagania. Rozwiązanie: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub błędną.

Matura podstawowa matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie