Matura podstawowa z matematyki | Październik 2022

Zadanie 1

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez \(3\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczbę \(a = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2\) można zapisać w postaci \(a = x + y \sqrt{14}\), gdzie \(x \in Z\) oraz \(y \in Z\).

Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.

\(x = ...\)

Wpisz odpowiedź liczbową:

\(y = ...\)

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:

\(a \neq 0\) oraz \(b \neq 0\) oraz \(a \sqrt{2} + b \sqrt{3} = 0\)

Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dana jest liczba

\(a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}\)

Wykaż, że \(a\) jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Usuń niewymierności z mianowników.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Która z podanych równości (A-D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

A. \((\sqrt{7} + \sqrt{5})^3 = \sqrt{7^3} + \sqrt{5^3}\)

B. \(\sqrt{\sqrt{144} + \sqrt{16}} = 2^{\frac{4}{2}}\)

C. \((\sqrt{2 \frac{1}{4}})^3 = 2^{\frac{3}{2}} + (\frac{1}{2})^3\)

D. \((\sqrt[3]{64})^{\frac{1}{8}} = 8^3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Okres \(T\) drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:

\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

gdzie \(l\) oznacza długość wahadła, a \(g\) oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi \(g_Z = 9,81 \textrm{ m/s}^2\), a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi \(g_K = 1,62 \textrm{ m/s}^2\).

Oblicz \(\frac{T_K}{T_Z}\) - stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do \(0,01\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\log k + \log \frac{1}{100} k^2 - \log \frac{1}{10} k^3\), gdzie \(k > 0\), jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \((-1)\)

D. \(k\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Liczby rzeczywiste \(x\), \(y\), \(z\) spełniają następujące warunki:

\(x, y, z > 0\) oraz \(x, y, z \neq 1\) oraz \(y^z = x\)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie \(2x^2 - 1\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \((1 - x \sqrt{2})(x \sqrt{2} - 1)\).

Prawda

Fałsz

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((2 + x)^3 - x^2 (x + 6) - 12x\) jest równa \(8\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dany jest wielomian

\(W(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24\)

który ma trzy pierwiastki całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. \(13\)

B. \(12\)

C. \(7\)

D. \(2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dane jest wyrażenie

\((\frac{a}{a + b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2}) : (\frac{a - b}{a^2 - b^2})\)

gdzie \(a \in R, b \in R, a \neq b, a \neq -b\).

Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla \(a = \frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Wyrażenie wymierne \(\frac{2}{x - 3} + 5\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\frac{ax + b}{cx + d}\), gdzie \(a, b, c, d\) są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi.

Wyznacz wartości liczbowe współczynników \(a, b, c, d\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest wielomian

\(W(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\) gdzie \(x \in R\)

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Wskazówka: Skorzystaj z definicji podzielności wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x - a)\).

Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez

Wybierz odpowiedź:

A. dwumian \((x - 3)\),

B. dwumian \((x - 6)\),

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. liczba \(x = 3\) jest pierwiastkiem wielomianu.

2. wyraz wolny wielomianu jest równy \(6\).

3. liczba \(x = 6\) jest pierwiastkiem wielomianu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

\(2x \geq \sqrt{5} \cdot x + 3 \sqrt{5} - 6\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozwiąż równanie.

\(-2x^3 + x^2 + 18x - 9 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Rozwiąż równanie.

\(-x^3 + 13x - 12 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już \(97\) spośród \(3697\) zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał \(n\) zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o \(5\), czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o \(10\) dni.

Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\(\frac{(3x^2 - 6x)(x^2 - 9)}{(x - 2)(x - 3)^2} = 0\)

w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązań.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 0\).

C. ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x = 0, x = -3\).

D. ma dokładnie cztery rozwiązania: \(x = 0, x = 2, x = 3, x = -3\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Niech \(\frac{m}{n}\) będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy \(6\), a do mianownika dodamy \(15\), jego wartość nie zmieni się.

Oblicz liczby \(m\) i \(n\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Dana jest liczba dwucyfrowa \(a\), w której suma cyfr jest równa \(14\). Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o \(18\) mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr.

Oblicz liczbę \(a\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była \(30\) m. Długość każdego skoku psa jest równa \(2\) m, długość każdego skoku lisa jest równa \(1\) m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy.

Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Suma liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) równa jest \(527\). Wiemy, że \(8\%\) liczby \(a\) jest równe \(7,5\%\) liczby \(b\).

Oblicz liczby \(a\) i \(b\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Rozwiąż układ równań

\(x^2 + y^2 - 4x + 4y - 17 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem

\(y = f(x) = x^2 + 5x + 6\) gdzie \(x \in R\)

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

Postać kanoniczna funkcji \(f\) wyraża się wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(y = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}\)

B. \(y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}\)

C. \(y = (x - \frac{1}{4})^2 + \frac{5}{2}\)

D. \(y = (x + \frac{1}{4})^2 - \frac{5}{2}\)

Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem

Wybierz odpowiedź:

E. \(y = (x - 2)(x - 3)\)

F. \(y = (x - 2)(x + 3)\)

G. \(y = (x + 2)(x - 3)\)

H. \(y = (x + 2)(x + 3)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największą wartość dla argumentu \(x = 2\) przyjmuje funkcja

Wybierz odpowiedź:

A. \(f\)

B. \(g\)

C. \(h\)

D. \(s\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla argumentu \(x = 3\) tę samą wartość przyjmują funkcje

Wybierz odpowiedź:

A. \(f\) i \(s\)

B. \(s\) i \(h\)

C. \(f\) i \(g\)

D. \(g\) i \(s\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

Kliknij, aby powiększyć

Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność \(g(x) > h(x)\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o \(0,6 \degree \textrm{C}\), gdy wysokość wzrasta o \(100\) m, a gdy wysokość maleje o \(100\) m - temperatura rośnie o \(0,6 \degree \textrm{C}\).

W Zakopanem, które znajduje się na wysokości \(1000\) metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa \(13 \degree \textrm{C}\). W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Na Rysach, na wysokości \(2499\) metrów n.p.m., zmierzona temperatura powietrza nie przekraczała \(5 \degree \textrm{C}\).

Prawda

Fałsz

W Białce Tatrzańskiej (\(650\) metrów n.p.m.) zmierzona temperatura powietrza była równa \(16,5 \degree \textrm{C}\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o \(0,6 \degree \textrm{C}\), gdy wysokość wzrasta o \(100\) m, a gdy wysokość maleje o \(100\) m - temperatura rośnie o \(0,6 \degree \textrm{C}\).

W Zakopanem, które znajduje się na wysokości \(1000\) metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa \(13 \degree \textrm{C}\). W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Niech \(f(x) = ax + b\) będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości \(x\) n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem.

Oblicz wartość współczynnika \(a\) i wartość współczynnika \(b\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -2x^2 + bx + c\) i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla \(x \in (-4, 2)\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta \(x = 1\).

Prawda

Fałsz

Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem \(f(x) = -2(x + 4)(x - 2)\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\). Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych \((0, 8)\), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu \(x = 4\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x_1 = 2\).

Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y = f(x)\) w postaci iloczynowej.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Aby zaorać pole o powierzchni \(P\) w ciągu \(8\) godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Zaoranie pola o powierzchni \(P\) przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby \(12\) godzin.

Prawda

Fałsz

Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu \(4\) godzin.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Dane są liczby: \(a = 2 \sqrt{2}, b = 4, c = 4 \sqrt{2}\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą w podanej kolejności

Wybierz odpowiedź:

A. ciąg arytmetyczny,

B. ciąg geometryczny,

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. \(b = \frac{a + c}{2}\)

2. \(b = \frac{(c - a)^2}{2}\)

3. \(b^2 = a \cdot c\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Jego różnica jest równa \(4\), a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{3}\), trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(\frac{1}{9}\), a suma wszystkich wyrazów to \(\frac{364}{243}\).

Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 36

Liczby \(x, y, z\), których suma jest równa \(114\), tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\), gdzie \(n \geq 1\), w którym \(x = a_1\), \(y = a_4\) i \(z = a_25\).

Oblicz liczby \(x, y, z\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 37

Trzy liczby, których suma jest równa \(24\), tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o \(4\), \(10\) i \(40\) będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny.

Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 38

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca \(2020\) roku wpłaciła \(300\) złotych.

Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25\) zł więcej niż w miesiącu poprzednim.

Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca \(2022\) roku.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 39

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca \(2020\) roku wpłaciła \(300\) złotych.

Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25\) zł więcej niż w miesiącu poprzednim.

Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca \(2025\) roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76\ 860\) złotych.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 40

Z okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot \(S\) pod kątem \(38 \degree\) do poziomu. Kontroler \(K\) znajduje się na wysokości \(136\) m od płyty lotniska (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz odległość \(x\) samolotu \(S\) od podstawy \(W\) tej wieży.

Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych metrów. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 41

Dane są dwa trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku \(A\). Ponadto \(|AB| = 24\), \(|AC| = 10\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ADE\) jest dwukrotnie większe od pola trójkąta \(ABC\).

Kliknij, aby powiększyć

Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina odcinek \(DE\) w punkcie \(P\), takim że \(\frac{|DP|}{|PE|} = \frac{3}{4}\).

Oblicz długości boków \(AD\) i \(AE\) trójkąta \(ADE\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 42

Dane są dwa trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku \(A\). Ponadto \(|AB| = 24\), \(|AC| = 10\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ADE\) jest dwukrotnie większe od pola trójkąta \(ABC\).

Kliknij, aby powiększyć

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(72\).

Oblicz długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 43

Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt \(O\) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt \(H\) jest jego ortocentrum.

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. Punkt \(O\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

B. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

C. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

D. Punkt \(H\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

E. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

F. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 44

Dany jest ośmiokąt foremny wpisany w okrąg \(K\). Punkty \(A\) oraz \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami tego ośmiokąta oraz \(\alpha\) jest kątem między styczną do okręgu \(K\) w punkcie \(A\) i bokiem \(AB\) wielokąta (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\alpha\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(45 \degree\)

B. \(30 \degree\)

C. \(22,5 \degree\)

D. \(15 \degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 45

Dane są trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) i \(|\angle ACB| = 45 \degree\), oraz kwadrat \(DEFG\) o polu równym \(1\).

Wierzchołki \(E\) i \(F\) kwadratu leżą na ramieniu \(BC\) danego trójkąta, wierzchołek \(G\) leży na ramieniu \(AC\), a wierzchołek \(D\) leży na podstawie \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych relacji. Wybierz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F - jeśli jest fałszywa.

\(|\angle AGD| = 45 \degree\)

Prawda

Fałsz

\(|AG| - |BE| = 2 - \sqrt{2}\)

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 46

Dane są:

okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r = 1\)

prosta \(k\) przechodząca przez \(S\) i przecinająca okrąg w punktach \(P\) i \(Q\)

prosta \(l\) styczna do danego okręgu w punkcie \(T\).

Prosta \(k\) przecina prostą \(l\) w punkcie \(R\). Prosta przechodząca przez punkt \(Q\) i równoległa do odcinka \(ST\) przecina styczną \(l\) w punkcie \(U\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długość odcinka \(TU\) wiedząc, że spełniony jest warunek \(\frac{|PQ|}{|QR|} = \frac{2}{3}\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 47

W wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy \(KSL\) o mierze \(45 \degree\) wpisano kwadrat \(ABCD\) w taki sposób, że wierzchołki \(A\) oraz \(B\) leżą na promieniu \(SK\), wierzchołek \(D\) leży na promieniu \(SL\), a wierzchołek \(C\) leży na łuku \(KL\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz stosunek pola kwadratu \(ABCD\) do pola wycinka kołowego \(KSL\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 48

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), gdzie \(|AB| > |CD|\).

Kąt ostry tego trapezu ma miarę \(60 \degree\), a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa \(6\). Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez \(DCFG\) podobny do trapezu \(ABCD\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole trapezu \(DCFG\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 49

W trójkącie równobocznym o boku długości \(a\) poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe \(b\) i \(c\), przy czym \(c < b < a\) (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt.

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach \(b\) i \(c\) do pola trapezu o podstawach \(a\) i \(b\) jest równy \(\frac{b^2 - c^2}{a^2 - b^2}\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 50

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), rozważamy dwie proste o równaniach

\(y = a + b \cdot x\) oraz \(y = -\frac{1}{a} - \frac{2}{3} b^2 \cdot x\),

gdzie \(a \neq 0, b \neq 0\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Dla \(a = 2\) i \(b = -\frac{3}{2}\) rozważane proste są

Wybierz odpowiedź:

A. prostopadłe,

B. równoległe,

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. \(a \cdot (-\frac{1}{a}) = -1\)

2. \((a + b)(-\frac{1}{a} - \frac{2}{3} b^2) = -1\)

3. \(b = -\frac{2}{3} b^2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 51

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\).

Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A = (-15, -8), B = (-6, 4), C = (-19, -5)\).

Wykaż, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 52

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\).

Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A = (-15, -8), B = (-6, 4), C = (-19, -5)\).

Wierzchołki trójkąta \(ABC\) są trzema wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Odcinek \(AC\) jest przekątną tego równoległoboku.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(D\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 53

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\).

Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A = (-15, -8), B = (-6, 4), C = (-19, -5)\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczonych miejscach, aby zdanie było prawdziwe.

Punkt \(S\) przecięcia środkowych trójkąta \(ABC\) ma współrzędne: \(S = (..., ...)\)

Wpisz ułamek:

+

Wpisz ułamek:

+

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 54

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o równaniu \(x^2 + y^2 = 2\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y = m\), gdzie \(m \in R\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Okrąg \(O\) i prosta \(k\) mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy \(m \in ...\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 55

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y = -3x + 6\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą - odpowiednio - na osi \(Ox\) oraz \(Ox\). Wierzchołek \(C\) ma współrzędne \((3, 7)\).

Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 56

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-8, 12)\) i \(B = (-2, 4)\) są końcami cięciwy okręgu \(O\). Środek tego okręgu leży na prostej \(k\) o równaniu \(y = 4x + 2\).

Wyznacz współrzędne środka okręgu \(O\) i promień tego okręgu. Zapisz obliczenia

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 57

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\). Funkcja liniowa \(g\) określona jest wzorem \(g(x) = -x + 5\).

Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji \(y = f(x)\) oraz funkcji \(y = g(x)\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 58

Każda krawędź czworościanu \(ABCS\) ma długość \(a\). Punkty \(D\) i \(E\) są środkami boków - odpowiednio - \(AC\) oraz \(BC\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole trójkąta \(DES\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 59

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(A\), \(B\), \(D\) i \(E\) są wierzchołkami ostrosłupa (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa \(ABDE\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 60

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(2\) i wysokości \(8\). Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Krawędź sześcianu jest dłuższa niż \(1,5\).

Prawda

Fałsz

Ostrosłup jest czterokrotnie wyższy od sześcianu.

Prawda

Fałsz

Objętość sześcianu jest większa od \(4\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 61

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy \(a\) oraz wysokości \(h\). Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek).

Niech \(F\) będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{3} a^2 h\)

B. \(\frac{2}{3} a^2 h\)

C. \(\frac{1}{3} a h^2\)

D. \(\frac{2}{3} a h^2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 62

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) zaznaczono środki krawędzi \(AB\), \(AC\) i \(AS\) odpowiednio punktami \(D, E, F\) (zobacz rysunek)

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) jest dwukrotnie mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa \(ABCS\).

Prawda

Fałsz

Objętość ostrosłupa \(ADEF\) jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości ostrosłupa \(ABCS\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 63

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra \(5\) występuje dokładnie jeden raz, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(125\)

B. \(225\)

C. \(280\)

D. \(300\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 64

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(6\)

D. \(10\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 65

Na dwóch półkach ustawiano \(9\) książek: \(4\) biograficzne i \(5\) fantasy. Ustawiono je w taki sposób, aby na każdej półce znalazły się książki wyłącznie jednego rodzaju.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich sposobów ustawienia książek przy zadanym warunku jest:

Wybierz odpowiedź:

A. \(4! \cdot 5! \cdot 2\)

B. \(4! \cdot 5!\)

C. \(4 \cdot 5\)

D. \(4 \cdot 5 \cdot 2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 66

Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości (zobacz rysunek). Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze.

W firmowym magazynie materiały są dostępne w \(5\) kolorach, a lamówka - w \(3\) kolorach.

Obrusy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich różnych obrusów, które firma może produkować, jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(5 \cdot 4 \cdot 3\)

B. \(5 \cdot 5 \cdot 3\)

C. \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3\)

D. \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 67

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 68

Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa \(24\) lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\) lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(25\)

B. \(25,2\)

C. \(24,9\)

D. \(25,5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 69

Mediana zestawu sześciu liczb \(1, 2, 3, 4, 5, 2x\) jest równa \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(x\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(1,5\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 70

Marek ma \(3\) koszulki w kolorach czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma \(5\) koszulek w kolorach czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Chłopcy umówili się, że następnego dnia każdy z nich założy wybraną w sposób losowy jedną ze swoich koszulek.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że następnego dnia chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{2}{15}\)

B. \(\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{2}{5}\)

D. \(\frac{4}{15}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 71

Dany jest pięciokąt foremny \(ABCDE\). Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki tego pięciokąta.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta \(ABCDE\), jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{3}{10}\)

B. \(\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{2}{5}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 72

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta, jest równe \(\frac{8}{25}\).

Prawda

Fałsz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie liczby będą parzyste, jest równe \(\frac{2}{25}\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 73

Firma handlowa ustaliła, że liczba sprzedanych przez nią egzemplarzy gry komputerowej w ciągu każdego tygodnia zależy od jej ceny. Liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja \(f(x) = 2400 - 15x\), gdzie \(x\) oznacza cenę jednostkową gry.

Jaka powinna być cena jednostkowa, aby tygodniowy przychód \(P\) ze sprzedaży gry był największy? Oblicz ten największy przychód.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że przychód jest iloczynem liczby sprzedanych gier oraz ceny jednostkowej tej gry.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 74

Dany jest prostokąt \(PQRS\) o bokach długości \(|PQ| = |SR| = 10\) oraz \(|PS| = |QR| = 6\). Na bokach \(PQ, QR, RS, SP\) obrano odpowiednio punkty \(A, B, C, D\) takie, że \(|AQ| = |BR| = |CS| = |DP| = x\) oraz \(x \geq 3\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz długość odcinka \(x\), dla którego pole czworokąta \(ABCD\) jest najmniejsze. Wyznacz to pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 75

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(4\). Wpisano w niego prostokąt w taki sposób, że dwa z jego boków zawierają się w przyprostokątnych trójkąta, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zbiór zadań

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie