Zbiór zadań

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez \(3\).

Liczbę \(a = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2\) można zapisać w postaci \(a = x + y \sqrt{14}\), gdzie \(x \in \Z\) oraz \(y \in \Z\).

Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.

\(x = ..................\)

\(y = ..................\)

Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:

\(a \ne 0\) oraz \(b \ne 0\) oraz \(a \sqrt{2} + b \sqrt{3} = 0\)

Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Zapisz obliczenia.

Dana jest liczba

\(a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}\)

Wykaż, że \(a\) jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.

<i>Wskazówka: Usuń niewymierności z mianowników.</i>

Która z podanych równości (A-D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okres \(T\) drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:

\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

gdzie \(l\) oznacza długość wahadła, a \(g\) oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi \(g_Z = 9.81 \textrm{ m/s}^2\), a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi \(g_K = 1.62 \textrm{ m/s}^2\).

Oblicz \(\frac{T_K}{T_Z}\) - stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do \(0.01\).

Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\log k + \log \frac{1}{100} k^2 - \log \frac{1}{10} k^3\), gdzie \(k > 0\), jest równa

Liczby rzeczywiste \(x\), \(y\), \(z\) spełniają następujące warunki:

\(x, y, z > 0\) oraz \(x, y, z \ne 1\) oraz \(y^z = x\)

Dokończ zdanie. Wybierz <u>dwie</u> właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dany jest wielomian

\(W(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24\)

który ma trzy pierwiastki całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba

Dane jest wyrażenie

\(\Big(\frac{a}{a + b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2}\Big) : \Big(\frac{a - b}{a^2 - b^2}\Big)\)

gdzie \(a \in \R, b \in \R, a \ne b, a \ne -b\).

Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla \(a = \frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Zapisz obliczenia.

Wyrażenie wymierne \(\frac{2}{x - 3} + 5\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\frac{ax + b}{cx + d}\), gdzie \(a, b, c, d\) są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi.

Wyznacz wartości liczbowe współczynników \(a, b, c, d\). Zapisz obliczenia.

Dany jest wielomian

\(W(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\) gdzie \(x \in \R\)

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród \(1\)., \(2\). albo \(3\).

<i>Wskazówka: Skorzystaj z definicji podzielności wielomianu </i> \(W(x)\) <i>przez dwumian</i> \((x - a)\).

Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez

ponieważ

Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

\(2x \ge \sqrt{5} \cdot x + 3 \sqrt{5} - 6\)

Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie

\(-2x^3 + x^2 + 18x - 9 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie

\(-x^3 + 13x - 12 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już \(97\) spośród \(3697\) zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał \(n\) zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o \(5\), czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o \(10\) dni.

Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.

Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\(\frac{(3x^2 - 6x)(x^2 - 9)}{(x - 2)(x - 3)^2} = 0\)

w zbiorze liczb rzeczywistych

Niech \(\frac{m}{n}\) będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy \(6\), a do mianownika dodamy \(15\), jego wartość nie zmieni się.

Oblicz liczby \(m\) i \(n\). Zapisz obliczenia.

Dana jest liczba dwucyfrowa \(a\), w której suma cyfr jest równa \(14\). Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o \(18\) mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr.

Oblicz liczbę \(a\). Zapisz obliczenia.

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była \(30\) m. Długość każdego skoku psa jest równa \(2\) m, długość każdego skoku lisa jest równa \(1\) m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy.

Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa. Zapisz obliczenia.

Suma liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) równa jest \(527\). Wiemy, że \(8\%\) liczby \(a\) jest równe \(7.5\%\) liczby \(b\).

Oblicz liczby \(a\) i \(b\). Zapisz obliczenia.

Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 4y - 17 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}\)

Zapisz obliczenia.

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem

\(y = f(x) = x^2 + 5x + 6\) gdzie \(x \in R\)

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

\(1\). Postać kanoniczna funkcji \(f\) wyraża się wzorem

\(2\). Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem

W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największą wartość dla argumentu \(x = 2\) przyjmuje funkcja

W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla argumentu \(x = 3\) tę samą wartość przyjmują funkcje

W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność \(g(x) > h(x)\).

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o \(0.6\degree\textrm{C}\), gdy wysokość wzrasta o \(100\) m, a gdy wysokość maleje o \(100\) m - temperatura rośnie o \(0.6\degree\textrm{C}\).

W Zakopanem, które znajduje się na wysokości \(1000\) metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa \(13\degree\textrm{C}\). W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o \(0.6\degree\textrm{C}\), gdy wysokość wzrasta o \(100\) m, a gdy wysokość maleje o \(100\) m - temperatura rośnie o \(0.6\degree\textrm{C}\).

W Zakopanem, które znajduje się na wysokości \(1000\) metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa \(13\degree\textrm{C}\). W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Niech \(f(x) = ax + b\) będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości \(x\) n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem.

Oblicz wartość współczynnika \(a\) i wartość współczynnika \(b\). Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -2x^2 + bx + c\) i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla \(x \in (-4, 2)\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\). Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych \((0, 8)\), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu \(x = 4\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x_1 = 2\).

Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y = f(x)\) w postaci iloczynowej.

Aby zaorać pole o powierzchni \(P\) w ciągu \(8\) godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dane są liczby: \(a = 2 \sqrt{2}, b = 4, c = 4 \sqrt{2}\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą w podanej kolejności

ponieważ

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Jego różnica jest równa \(4\), a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{3}\), trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(\frac{1}{9}\), a suma wszystkich wyrazów to \(\frac{364}{243}\).

Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. Zapisz obliczenia.

Liczby \(x, y, z\), których suma jest równa \(114\), tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\), gdzie \(n \ge 1\), w którym \(x = a_1\), \(y = a_4\) i \(z = a_{25}\).

Oblicz liczby \(x, y, z\). Zapisz obliczenia.

Trzy liczby, których suma jest równa \(24\), tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o \(4\), \(10\) i \(40\) będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny.

Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca \(2020\) roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25\) zł więcej niż w miesiącu poprzednim.

Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca \(2022\) roku.

Zapisz obliczenia.

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca \(2020\) roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25\) zł więcej niż w miesiącu poprzednim.

Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca \(2025\) roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76\ 860\) złotych.

Zapisz obliczenia.

Z okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot \(S\) pod kątem \(38 \degree\) do poziomu. Kontroler \(K\) znajduje się na wysokości \(136\) m od płyty lotniska (zobacz rysunek).

Oblicz odległość \(x\) samolotu \(S\) od podstawy \(W\) tej wieży.

Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych metrów. Zapisz obliczenia.

Dane są dwa trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku \(A\). Ponadto \(|AB| = 24\), \(|AC| = 10\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ADE\) jest dwukrotnie większe od pola trójkąta \(ABC\).

Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina odcinek \(DE\) w punkcie \(P\), takim że \(\frac{|DP|}{|PE|} = \frac{3}{4}\).

Oblicz długości boków \(AD\) i \(AE\) trójkąta \(ADE\). Zapisz obliczenia.

Dane są dwa trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku \(A\). Ponadto \(|AB| = 24\), \(|AC| = 10\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ADE\) jest dwukrotnie większe od pola trójkąta \(ABC\).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(72\).

Oblicz długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt \(O\) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt \(H\) jest jego ortocentrum.

Wybierz <u>dwie</u> właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dany jest ośmiokąt foremny wpisany w okrąg \(K\). Punkty \(A\) oraz \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami tego ośmiokąta oraz \(\alpha\) jest kątem między styczną do okręgu \(K\) w punkcie \(A\) i bokiem \(AB\) wielokąta (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\alpha\) jest równa

Dane są trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) i \(|\measuredangle ACB| = 45\degree\), oraz kwadrat \(DEFG\) o polu równym \(1\).

Wierzchołki \(E\) i \(F\) kwadratu leżą na ramieniu \(BC\) danego trójkąta, wierzchołek \(G\) leży na ramieniu \(AC\), a wierzchołek \(D\) leży na podstawie \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych relacji. Wybierz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F - jeśli jest fałszywa.

Dane są: \(\bullet\) okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r = 1\) \(\bullet\) prosta \(k\) przechodząca przez \(S\) i przecinająca okrąg w punktach \(P\) i \(Q\) \(\bullet\) prosta \(l\) styczna do danego okręgu w punkcie \(T\).

Prosta \(k\) przecina prostą \(l\) w punkcie \(R\). Prosta przechodząca przez punkt \(Q\) i równoległa do odcinka \(ST\) przecina styczną \(l\) w punkcie \(U\) (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka \(TU\) wiedząc, że spełniony jest warunek \(\frac{|PQ|}{|QR|} = \frac{2}{3}\).

Zapisz obliczenia.

W wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy \(KSL\) o mierze \(45\degree\) wpisano kwadrat \(ABCD\) w taki sposób, że wierzchołki \(A\) oraz \(B\) leżą na promieniu \(SK\), wierzchołek \(D\) leży na promieniu \(SL\), a wierzchołek \(C\) leży na łuku \(\widehat{KL}\) (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek pola kwadratu \(ABCD\) do pola wycinka kołowego \(KSL\). Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), gdzie \(|AB| > |CD|\). Kąt ostry tego trapezu ma miarę \(60\degree\), a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa \(6\). Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez \(DCFG\) podobny do trapezu \(ABCD\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu \(DCFG\). Zapisz obliczenia.

W trójkącie równobocznym o boku długości \(a\) poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe \(b\) i \(c\), przy czym \(c < b < a\) (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt.

Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach \(b\) i \(c\) do pola trapezu o podstawach \(a\) i \(b\) jest równy \(\frac{b^2 - c^2}{a^2 - b^2}\).

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), rozważamy dwie proste o równaniach

\(y = a + b \cdot x\) oraz \(y = -\frac{1}{a} - \frac{2}{3} b^2 \cdot x\),

gdzie \(a \ne 0, b \ne 0\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Dla \(a = 2\) i \(b = -\frac{3}{2}\) rozważane proste są

ponieważ

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A = (-15, -8), B = (-6, 4), C = (-19, -5)\).

Wykaż, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A = (-15, -8), B = (-6, 4), C = (-19, -5)\).

Wierzchołki trójkąta \(ABC\) są trzema wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Odcinek \(AC\) jest przekątną tego równoległoboku.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(D\). Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A = (-15, -8), B = (-6, 4), C = (-19, -5)\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczonych miejscach, aby zdanie było prawdziwe.

Punkt \(S\) przecięcia środkowych trójkąta \(ABC\) ma współrzędne: \(S = (......... , .........)\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \(x^2 + y^2 = 2\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y = m\), gdzie \(m \in \R\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Okrąg \(\mathcal{O}\) i prosta \(k\) mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy \(m \in ..................\) .

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y = -3x + 6\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą - odpowiednio - na osi \(Oy\) oraz \(Ox\). Wierzchołek \(C\) ma współrzędne \((3, 7)\).

Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-8, 12)\) i \(B = (-2, 4)\) są końcami cięciwy okręgu \(\mathcal{O}\). Środek tego okręgu leży na prostej \(k\) o równaniu \(y = 4x + 2\).

Wyznacz współrzędne środka okręgu \(\mathcal{O}\) i promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\). Funkcja liniowa \(g\) określona jest wzorem \(g(x) = -x + 5\).

Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji \(y = f(x)\) oraz funkcji \(y = g(x)\). Zapisz obliczenia.

Każda krawędź czworościanu \(ABCS\) ma długość \(a\). Punkty \(D\) i \(E\) są środkami boków - odpowiednio - \(AC\) oraz \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta \(DES\). Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(A\), \(B\), \(D\) i \(E\) są wierzchołkami ostrosłupa (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa \(ABDE\).

Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(2\) i wysokości \(8\). Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy \(a\) oraz wysokości \(h\). Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek). Niech \(F\) będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa jest równa

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) zaznaczono środki krawędzi \(AB\), \(AC\) i \(AS\) odpowiednio punktami \(D, E, F\) (zobacz rysunek)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra \(5\) występuje dokładnie jeden raz, jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

Na dwóch półkach ustawiano \(9\) książek: \(4\) biograficzne i \(5\) fantasy. Ustawiono je w taki sposób, aby na każdej półce znalazły się książki wyłącznie jednego rodzaju.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich sposobów ustawienia książek przy zadanym warunku jest:

Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości (zobacz rysunek). Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze. W firmowym magazynie materiały są dostępne w \(5\) kolorach, a lamówka - w \(3\) kolorach. Obrusy uznajemy za <b>różne</b>, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich różnych obrusów, które firma może produkować, jest równa

Do dyspozycji są dwa puste pojemniki oraz pięć kul. Każdą z kul należy umieścić w pojemniku. Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń tych kul zależy od cech kul i pojemników.

W poniższej tabeli w lewej kolumnie podano cechy obiektów (kul i pojemników).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź wybraną spośród A-F.

<b>A.</b> \(6\) <b>B.</b> \(2 \cdot 5\) <b>C.</b> \(2^4\) <b>D.</b> \(3\) <b>E.</b> \(2^5\) <b>F.</b> \(5^2\)

Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa \(24\) lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\) lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa

Mediana zestawu sześciu liczb \(1, 2, 3, 4, 5, 2x\) jest równa \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(x\) jest równa

Marek ma \(3\) koszulki w kolorach czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma \(5\) koszulek w kolorach czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Chłopcy umówili się, że następnego dnia każdy z nich założy wybraną w sposób losowy jedną ze swoich koszulek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że następnego dnia chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe

Dany jest pięciokąt foremny \(ABCDE\). Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki tego pięciokąta.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta \(ABCDE\), jest równe

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Firma handlowa ustaliła, że liczba sprzedanych przez nią egzemplarzy gry komputerowej w ciągu każdego tygodnia zależy od jej ceny. Liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja \(f(x) = 2400 - 15x\), gdzie \(x\) oznacza cenę jednostkową gry.

Jaka powinna być cena jednostkowa, aby tygodniowy przychód \(P\) ze sprzedaży gry był największy? Oblicz ten największy przychód.

Zapisz obliczenia.

<i>Wskazówka: przyjmij, że przychód jest iloczynem liczby sprzedanych gier oraz ceny jednostkowej tej gry.</i>

Dany jest prostokąt \(PQRS\) o bokach długości \(|PQ| = |SR| = 10\) oraz \(|PS| = |QR| = 6\). Na bokach \(PQ, QR, RS, SP\) obrano odpowiednio punkty \(A, B, C, D\) takie, że \(|AQ| = |BR| = |CS| = |DP| = x\) oraz \(x \geq 3\) (zobacz rysunek).

Wyznacz długość odcinka \(x\), dla którego pole czworokąta \(ABCD\) jest najmniejsze. Wyznacz to pole. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(4\). Wpisano w niego prostokąt w taki sposób, że dwa z jego boków zawierają się w przyprostokątnych trójkąta, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej (zobacz rysunek).

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.