Matura podstawowa matematyka sierpień 2019 - interaktywny arkusz + PDF

Liczba \(\log_{\sqrt{7}}7\) jest równa

Kwadrat liczby \(8-3\sqrt{7}\) jest równy

Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to

Równanie \(x(5x+1)=5x+1\) ma dokładnie

Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x+12y=a^2 \\ 2x+ay=9 \end{cases}\) dla

Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=9-(3-x)^2\) są liczby

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,1)\).

Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział

Liczbą większą od \(5\) jest

Punkt \(A=(a, 3)\) leży na prostej określonej równaniem \(y=\frac{3}{4}x+6\). Stąd wynika, że

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=-11\) i \(a_{9}=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{12}{13}\). Wtedy

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na podstawie \(AB\) tego trójkąta leży punkt \(D\), taki że \(|AD|=|CD|\), \(|BC|=|BD|\) oraz \(\sphericalangle BCD=72\degree\) (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt \(ACD\) ma miarę

Okrąg, którego środkiem jest punkt \(S=(a,5)\), jest styczny do osi \(Oy\) i do prostej o równaniu \(y=2\). Promień tego okręgu jest równy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(SAC\) jest równa

Proste o równaniach \(y=(4m+1)x-19\) oraz \(y=(5m-4)x+20\) są równoległe, gdy

W układzie współrzędnych punkt \(S=(40, 40)\) jest środkiem odcinka \(KL\), którego jednym z końców jest punkt \(K=(0, 8)\). Zatem

Punkt \(P=(-6,-8)\), przekształcono najpierw w symetrii względem osi \(Ox\), a potem w symetrii względem osi \(Oy\). W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt \(Q\). Zatem

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest \(5\) punktów: \(A=(1,4)\), \(B=(-5,-1)\), \(C=(-5,3)\), \(D=(6,-4)\), \(P=(-30,-76)\).

Punkt \(P\) należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30\) cm \(\times\) \(40\) cm \(\times\) \(120\) cm (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a,b,c,d\), o długościach - odpowiednio - \(119\) cm, \(121\) cm, \(129\) cm i \(131\) cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest \(3\) razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy \(2\) i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3,10,5,x,x,x,x,12,19,7\) jest równa \(12\). Mediana tych liczb jest równa

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry \(1,2,3\) jest

W grupie \(60\) osób (kobiet i mężczyzn) jest \(35\) kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

Rozwiąż równanie \((x^2-16)(x^3-1)=0\).

Rozwiąż nierówność \(2x^2-5x+3\le0\).

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).

Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\), a środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \(BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(C\), a ponadto \(|AC|=r\sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \(ACB\) ma miarę \(120\degree\).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\), i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru \(\{0,2,4,6,8\}\).

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\big(-\frac{21}{2},-1\big)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

W ciągu arytmetycznym \((a_{1}, a_{2},...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Środek okręgu leży w odległości \(10\) cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o \(22\) cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa \(12\) (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\alpha\) taki, że \(\tg\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.