Matura podstawowa matematyka sierpień 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2024 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności $|x + 1| < 3$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2$

B. $3$

C. $5$

D. $7$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\big(\frac{4}{25}\big)^{-0.5}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $0.04$

B. $0.8$

C. $2.5$

D. $0.4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są równości: $...............$ oraz $...............$ .

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. $\log_2 16 + \log_2 9 = \log_2 25$

B. $\log_2 16 + \log_2 9 = 2 \cdot \log_2 5$

C. $\log_2 16 + \log_2 9 = \log_2 144$

D. $\log_2 16 + \log_2 9 = \log_4 144$

E. $\log_2 16 + \log_2 9 = 4 + 2 \cdot \log_2 3$

F. $\log_2 16 + \log_2 9 = 2 \cdot \log_4 12$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$\frac{3(6 - x)}{17} \le 3$

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\infty, -11)$

B. $(-\infty, -11]$

C. $(-11, +\infty)$

D. $[-11, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{x(x + 5)(2 - x)}{2x + 4} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. dwa rozwiązania: $(-5)$ oraz $2$.

B. dwa rozwiązania: $(-5)$ oraz $0$.

C. trzy rozwiązania: $(-5)$, $0$ oraz $2$.

D. cztery rozwiązania: $(-5)$, $(-2)$, $0$ oraz $2$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie

$x^3 + 5x^2 -2x - 10 = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $\begin{cases} y = x + 2 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$

B. $\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$

C. $\begin{cases} y = x + 2 \\ y = -2x - 3 \end{cases}$

D. $\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 3$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $y = f(x)$ jest prostą nachyloną do osi $Ox$ pod kątem ostrym $\alpha$.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Sinus kąta $\alpha$ jest równy $.........$ .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Pusta bańka na mleko o pojemności $10$ litrów ma masę $6.5$ $\textrm{kg}$. Jeden litr mleka ma masę $1.03$ $\textrm{kg}$.

Kliknij, aby powiększyć

Niech $x$ oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a $f(x)$ oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie $x \in [0, 10]$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ jest malejąca.

Prawda

Fałsz

Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Pusta bańka na mleko o pojemności $10$ litrów ma masę $6.5$ $\textrm{kg}$. Jeden litr mleka ma masę $1.03$ $\textrm{kg}$.

Kliknij, aby powiększyć

Niech $x$ oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a $f(x)$ oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie $x \in [0, 10]$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji $f$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $16.8$

B. $15.8$

C. $11.3$

D. $10.3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Pusta bańka na mleko o pojemności $10$ litrów ma masę $6.5$ $\textrm{kg}$. Jeden litr mleka ma masę $1.03$ $\textrm{kg}$.

Kliknij, aby powiększyć

Niech $x$ oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a $f(x)$ oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie $x \in [0, 10]$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = 6.5x + 1.03$

B. $f(x) = 1.03x + 10$

C. $f(x) = 10x + 1.03$

D. $f(x) = 1.03x + 6.5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\infty, -2]$

B. $[1, +\infty)$

C. $[-1, 3]$

D. $[-2, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

A. $x = 1$

B. $y = 1$

C. $x = -2$

D. $y = -2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2$

B. $f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$

C. $f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 2$

D. $f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_n = n^2 + 2n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $5$

B. $7$

C. $13$

D. $15$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, w którym $a_2 = 2$ oraz $a_5 = 54$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $9$

C. $\frac{52}{3}$

D. $27$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Trzywyrazowy ciąg $(2m − 5, 4, 9)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź $1$., $2$. albo $3$.

Ten ciąg jest

Wybierz odpowiedź:

A. rosnący

B. malejący

oraz

Wybierz odpowiedź:

1. $m = -1$

2. $m = 2$

3. $m = 3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha = \frac{24}{25}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{7}{18}$

B. $\frac{7}{24}$

C. $\frac{7}{25}$

D. $\frac{18}{25}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

W trójkącie prostokątnym $ABC$ sinus kąta $CAB$ jest równy $\frac{3}{5}$, a przeciwprostokątna $AB$ jest o $8$ dłuższa od przyprostokątnej $BC$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $18$

B. $20$

C. $24$

D. $25$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 5$, $|AC| = 2$ oraz $\cos|\measuredangle BAC| = \frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $BC$ tego trójkąta jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\sqrt{17}$

B. $\sqrt{23}$

C. $\sqrt{35}$

D. $\sqrt{41}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Punkty $K$, $L$ oraz $M$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Miara kąta $KSM$ jest równa $160\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego $KLM$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $80\degree$

B. $90\degree$

C. $100\degree$

D. $110\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długość odcinka $BE$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S = (9, 11)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2}x - 1$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 2x -4$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $B$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k$$: y = (3m − 2)x − 2$ $l$$: y = (2m + 4)x + 2$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-6)$

B. $(-2)$

C. $2$

D. $6$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ odcinek o końcach $A = (−4, 7)$ oraz $B = (6, −1)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. $(x − 1)^2 + (y − 3)^2 = 41$

B. $(x − 5)^2 + (y + 4)^2 = 41$

C. $(x − 1)^2 + (y + 3)^2 = 41$

D. $(x − 5)^2 + (y − 4)^2 = 41$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $10$

B. $11$

C. $12$

D. $13$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $10$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $376$

B. $466$

C. $480$

D. $720$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym podstawy $ABCD$ i $EFGH$ są kwadratami o boku długości $6$. Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu tworzy z przekątną $AH$ ściany bocznej $ADHE$ kąt o mierze $30\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu ma długość równą

Wybierz odpowiedź:

A. $4\sqrt{3}$

B. $6\sqrt{3}$

C. $12$

D. $12\sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o $3$ większa od cyfry jedności, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $6$

C. $7$

D. $13$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2.5$

B. $3.25$

C. $3.31$

D. $4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Dane są dwa zbiory: $C = \{0, 4, 5, 7, 9\}$ oraz $D = \{1, 2, 3\}$. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $C$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $D$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od $9$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $12$.

Wyznacz $x$ oraz $y$, dla których wartość wyrażenia $2x^2 + y^2$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 1: Dokument zawiera zasady oceniania rozwiązań zadań z egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym. Wymienione są formy arkusza: MMAP-P0-100, MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-600, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00, MMAP-P0-K00, MMAU-P0-100. Termin egzaminu: 20 sierpnia 2024 r.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne 2024, interpretacja i wykorzystanie reprezentacji matematycznych, rozwiązanie równania i nierówności typu |x−2|<3, odpowiedź poprawna: C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0–1): Wymagania dotyczące sprawności rachunkowej, wykonanie działań na liczbach rzeczywistych, rozwiązanie C, 1 pkt za odpowiedź poprawną. Zadanie 3 (0–2): Rozumowanie i argumentacja, przekształcenie wyrażenia (2n+5)²+3 do postaci 4n²+20n+7, 2 pkt za pełne przekształcenie, 1 pkt za częściowe.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 4: Zadanie 1: Przykładowe pełne rozwiązania. Sposób I: Przekształcenie wyrażenia (2n+5)²+3=4(n²+5n+7), dowód podzielności przez 4. Sposób II: Przekształcenie (2n+5)²+3=(2n+4)(2n+6)+4, dowód podzielności przez 4. Oba sposoby pokazują, że suma jest podzielna przez 4, co należało wykazać.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 5: Zadanie 4 (0–2 pkt): wymagania dotyczące logarytmowania i wzorów na logarytmy, rozwiązanie CE. Zadanie 5 (0–1 pkt): rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą, rozwiązanie D. Zasady oceniania dla obu zadań: punktacja zależna od poprawności wybranych odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 6: Zadanie 6 (0–1): rozwiązanie równania wymiernego, odpowiedź C. Zadanie 7 (0–3): rozwiązanie równania wielomianowego metodą grupowania, przekształcenie do postaci iloczynowej, rozwiązania: x=-5, x=-√2, x=√2, przykładowe przekształcenie: (x+5)(x²-2)=0, x=-5, x=±√2. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za przekształcenie i jedno rozwiązanie.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 7: Zadanie 1: Rozłożenie wielomianu $W(x) = x^3 + 5x^2 - 2x - 10$ na czynniki liniowe: $W(x) = (x+5)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$. Alternatywnie, przekształcenie równania do postaci alternatywy trzech równań liniowych: $x+5=0$, $x-\sqrt{2}=0$, $x+\sqrt{2}=0$. Obliczenie pierwiastków i podział wielomianu przez dwumian. Punktacja: 1 pkt za zapisanie wielomianu jako iloczyn wielomianów stopnia najwyżej drugiego.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 8: Przykładowe pełne rozwiązania. Zadanie 1: Przekształcanie równania x³ + 5x² - 2x - 10 = 0 metodą grupowania wyrazów. Rozwiązanie: x²(x + 5) - 2(x + 5) = 0, co prowadzi do (x + 5)(x² - 2) = 0. Zadanie 2: Rozwiązanie równania x²(x + 5) = 2(x + 5) przez dzielenie obustronne, uzyskanie rozwiązań x = √2 oraz x = -√2. Punktacja: 2 punkty za pełne rozwiązanie, 1 punkt za częściowe.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 9: Zadanie 7: Rozwiązanie równania sześciennego $ (x+5)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0 $. Sposób I: Rozwiązanie przez rozkład na czynniki, wyniki: $ x=-5, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2} $. Sposób II: Przekształcenie równania i grupowanie wyrazów, wyniki: $ x=-5, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2} $. Sposób III: Podział wielomianu przez dwumian, wyniki: $ x=-5, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2} $.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 10: Zadanie 8 (0–1 pkt): odpowiedź B, interpretacja informacji z wykresów i tabel. Zadanie 9 (0–2 pkt): odpowiedzi D i C, odczytywanie wartości funkcji z tabel. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź w zadaniu 8, 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi w zadaniu 9, 1 pkt za jedną poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 11: Zadanie 10 (0–1 pkt): rozwiązanie polega na interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej, wynik 1/2. Zadanie 11.1 (0–1 pkt): interpretacja i operowanie informacjami w formie tekstu i tabel, rozwiązanie FP. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 12: Zadanie 11.2 (1 pkt): odpowiedź A, interpretacja i operowanie informacjami z tekstu oraz wykresów. Zadanie 11.3 (1 pkt): odpowiedź D, określanie funkcji jako jednoznaczne przyporządkowanie, wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie wykresu. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 13: Zadanie 12.1 (0–1 pkt): interpretacja informacji z wykresu funkcji, rozwiązanie D. Zadanie 12.2 (0–1 pkt): wykorzystanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, rozwiązanie A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 14: Zadanie 12.3 (0–1): wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu, rozwiązanie: C. Zadanie 13 (0–1): obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, stosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, rozwiązanie: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 15: Zadanie 14 (0–1 pkt): Wymagania dotyczące stosowania wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Rozwiązanie: A. Zadanie 15 (0–1 pkt): Wymagania dotyczące badania ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Rozwiązanie: A2. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub niepoprawną.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 16: Zadanie 16 (1 pkt): wykorzystanie wzorów trygonometrycznych, sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα, odpowiedź B. Zadanie 17 (1 pkt): obliczanie kątów i długości boków trójkąta, odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 17: Zadanie 18 (0–1): obliczanie kątów trójkąta i długości boków z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów, rozwiązanie A, 1 pkt za odpowiedź poprawną. Zadanie 19 (0–1): stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych, rozwiązanie C, 1 pkt za odpowiedź poprawną. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 18: Zadanie 20 (0–2 pkt): wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów do obliczenia długości odcinka BE. Rozwiązanie metodą proporcji: trójkąty ABE i DCE są podobne, AE/AB = DE/CD, AE = 16. Następnie twierdzenie Pitagorasa: BE² = AB² + AE², BE² = 12² + 16², BE² = 400, BE = 20. Wynik końcowy: BE = 20.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 19: Zadanie 7: rozwiązanie zadania z podobieństwa trójkątów. Trójkąty ABE i DCE są podobne w skali k=2. Obliczenia: |AD|=24, |AE|+|DE|=24, 3|DE|=24, |DE|=8, |AE|=16. Twierdzenie Pitagorasa: |BE|²=|AB|²+|AE|², |BE|²=12²+16²=400, |BE|=20.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 20: Zadanie 21 (0-4 pkt): Wymagania egzaminacyjne 2024, rozumowanie i argumentacja. 4 pkt: obliczenie współrzędnych punktu B, wynik B=(6,2). 3 pkt: równanie prostej BC: y=2x-10 lub obliczenie punktu D: D=(12,20) lub punktu A: A=(2,0) i środka AB: MAB=(4,1) lub punktu C: C=(16,22) i środka BC: MBC=(11,12). 2 pkt: obliczenie punktu C: C=(16,22) lub środka MAB: MAB=(4,1) lub środka MBC: MBC=(11,12) lub punktu A: A=(2,0) i równania prostej SMAB: y=2x-7.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 21: Zadanie 1 (1 pkt): obliczenie współrzędnych punktu A: A = (2, 0) lub wyznaczenie równania prostej SMAB, y = 2x - 7, obliczenie środka MAD boku AD: MAD = (7, 10). Zadanie 2 (0 pkt): zapisanie zależności współrzędnych punktów B, D, np. B = (xb, 0.5xb - 1) lub D = (xd, 2xd - 4). Uwaga: 0 pkt za niepoprawną metodę.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 22: Zadanie 1: Punkt A jako punkt wspólny prostych AB i AD, rozwiązanie układu równań y=½x-1 i y=2x-4, x=2, y=0, A=(2,0). Punkt S jako środek odcinka AC, obliczenia: xc=16, yc=22, C=(16,22). Prosta BC równoległa do AD, równanie y=2x-10. Punkt B jako punkt wspólny prostych AB i BC, rozwiązanie układu równań y=½x-1 i y=2x-10, x=6, y=2, B=(6,2).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 23: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań dla punktu A, równania y=½x-1 i y=2x-4, rozwiązanie x=2, y=0, punkt A=(2,0). Wyznaczenie równania prostej SMAB, y=2x-7. Punkt MAB jako środek odcinka AB, rozwiązanie układu równań dla MAB, x=4, y=1, punkt MAB=(4,1). Obliczenie współrzędnych punktu B, xb=6, yb=2, punkt B=(6,2).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 24: Zadanie: rozwiązanie układu równań dla punktów B i D na prostych y=½x-1 i y=2x-4. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Obliczenia: xb+xd=18, ½xb+2xd=27, xd=18-xb, -3/2xb=-9, xb=6, yb=½xb-1=2. Wynik: B=(6,2).

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 25: Zadanie 22 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne III, interpretowanie reprezentacji matematycznych, rozwiązanie D, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 23 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne III, równanie okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, rozwiązanie A, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za brak odpowiedzi lub odpowiedź niepoprawną.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 26: Zadanie 24 (0–1 pkt): interpretowanie informacji, liczenie obiektów w sytuacjach kombinatorycznych, odpowiedź C. Zadanie 25 (0–1 pkt): obliczanie pola powierzchni graniastosłupów, odpowiedź A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 27: Zadanie 26 (1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, rozpoznawanie kątów w graniastosłupach, funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków, odpowiedź C. Zadanie 27 (1 pkt): Stosowanie obiektów matematycznych, liczenie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, odpowiedź C.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 28: Zadanie 28 (0–1): Wymagania egzaminacyjne 2024 dotyczące sprawności rachunkowej, obliczanie średniej arytmetycznej. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak. Rozwiązanie: B.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 29: Zadanie 29 (0–2 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A w modelu klasycznym, poprawny wynik P(A) = 4/15. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za wypisanie zdarzeń elementarnych lub drzewo stochastyczne, 0 pkt za niepoprawną metodę. Uwagi: zapisanie tylko 4 lub 15 bez wyjaśnienia skutkuje 0 pkt.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 30: Zadanie 1: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A. Sposób I: Liczba zdarzeń elementarnych to 15. Zdarzenia sprzyjające: (7,3), (9,1), (9,2), (9,3). Prawdopodobieństwo A wynosi 4/15. Sposób II: Tabela z oznaczeniem zdarzeń sprzyjających literą A. Moc zbioru Ω to 15, zdarzeń sprzyjających 4. Prawdopodobieństwo A wynosi 4/15.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 31: Zadanie 7 (3 pkt): metoda drzewa stochastycznego, rysunek drzewa z gałęziami oznaczonymi prawdopodobieństwami 1/5 i 1/3, końcowe wartości 7, 9, 3, 1, 2, 3. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = 1/5 * 1/3 + 1/5 * 1/3 + 1/5 * 1/3 + 1/5 * 1/3 = 4/15.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 32: Zadanie 30 (0-3 pkt): optymalizacja funkcji kwadratowej, x=4, y=8, minimalna wartość 2x²+y²=96. Poprawne wzory: f(x)=2x²+(12-x)², f(y)=2(12-y)²+y². Obliczenie argumentu dla wartości minimalnej: x=4, y=8. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za poprawne wzory i obliczenia, 1 pkt za zapisanie wzoru. Uwagi dotyczące poprawności zapisu i interpretacji wyników.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 33: Zadanie 3: Obliczenie najmniejszej wartości wyrażenia $2x^2 + y^2$ przy założeniu $x + y = 12$. Rozwiązanie: $y = 12 - x$, funkcja $f(x) = 3x^2 - 24x + 144$. Dziedzina: $x \in [0, 12]$. Wykres paraboli, wierzchołek $p = 4$. Najmniejsza wartość dla $x = 4$, $y = 8$, wynik: $2x^2 + y^2 = 80$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 34: Zadanie: rozwiązanie równania funkcji f(y) = 3y² - 48y + 288. Sposób II: podstawienie x = 12 - y, przekształcenie wyrażenia 2x² + y² do funkcji jednej zmiennej y. Wyznaczenie dziedziny: y ∈ [0, 12]. Obliczenie wierzchołka paraboli: p = 8. Najmniejsza wartość dla y = 8, x = 4. Obliczenia: f(8) = 96. Wykres: fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 35: Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych: nie traktować błędów jak błędy merytoryczne, np. błędne przepisanie, przestawienia cyfr. W przypadku błędów zmiany znaku liczby, ocena umiejętności rachunkowych. Przynajmniej 1 punkt za poprawną metodę. Zadania wymagające wyznaczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego i rozwiązywania nierówności kwadratowej.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 36: Zadanie 3 (1 pkt): zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (2n+5)² lub przekształcenie do postaci 4n²+10n+25. Zadanie 7 (1 pkt): przekształcenie wielomianu x³+5x²−2x−10 do postaci x²(x+5)−2(x+5) lub x(x²−2)+5(x²−2) lub zapisanie jednego z rozwiązań równania x³+5x²−2x−10=0.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2024, CKE - strona 37: Zadanie 10: stosowanie zasad oceniania. Zadanie 20 (1 pkt): zapisanie podobieństwa trójkątów ABE i DCE lub równanie |BE|²=12²+|AE|². Zadanie 21 (1 pkt): narysowanie prostej y=½x-1 lub y=2x-4 w układzie współrzędnych. Zadanie 29 (1 pkt): zapisanie liczby 15 jako liczby zdarzeń elementarnych. Zadanie 30 (1 pkt): zapisanie równania x+y=12. Uwagi dotyczące oceniania dla zdających z dyskalkulią.

Matura podstawowa matematyka sierpień 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie