Matura podstawowa matematyka wrzesień 2020 - interaktywny arkusz + PDF

Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2\) jest równa

Liczbę \(\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}\) można zapisać w postaci

Liczba \(2\log5+3\log2\) jest równa

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{5(4-x)}{2}< x\) jest liczba

W zestawie \(250\) liczb występują jedynie liczby \(4\) i \(2\). Liczba \(4\) występuje \(128\) razy, a liczba \(2\) występuje \(122\) razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby \(3\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Na początku miesiąca komputer kosztował \(3\ 500\) zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o \(10\%\), a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o \(15\%\). Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

Funkcje liniowe \(f\) i \(g\) określone wzorami \(f(x)=-4x+12\) i \(g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-(x+9)^2+m\ \) jest przedział \((-\infty;-5\rangle\). Wtedy

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\) jest prosta o równaniu

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba

Do okręgu o środku w punkcie \(S=(2,4)\) należy punkt \(P=(1,3)\). Długość tego okręgu jest równa

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0,7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać

Punkt \(S=(4,8)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), którego koniec \(P\) leży na osi \(Oy\), a koniec \(Q\) \(-\) na osi \(Ox\). Wynika stąd, że

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek).

Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

Punkty \(P=(-3,4)\ \) i \(\ O=(0,0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \(Ox\) (zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dane dwa wyrazy: \(a_{1}=2\ \) i \(\ a_{2}=5\). Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Funkcja \(f\) dla argumentu \(x=-3\) przyjmuje wartość

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

Stąd wynika, że

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

Dane są punkty \(A=(4,1)\), \(B=(1,3)\), \(C=(4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2020\) i podzielnych przez \(4\)?

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o \(9\) większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

Rozwiąż nierówność:

\(-2x^2+5x+3\le0\).

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2, 4x+2, x+11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a+b)+b^2>3ab\).

Dwa okręgi o promieniach \(r=2\ \) i \(\ R=6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\ \) i \(\ P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha=30\degree\) (zobacz rysunek).

Rozwiąż równanie \((x^3+8)(x^2-9)=0\).

W pudełku jest \(8\) kul, z czego \(5\) białych i \(3\) czarne. Do tego pudełka dołożono \(n\) kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała jest równe \(\frac{11}{12}\). Oblicz \(n\).

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość \(12\), a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą \(10\). Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa \(12\). Oblicz objętość tego stożka.

Prosta o równaniu \(y=-2x+7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).