Matura podstawowa matematyka wrzesień 2022: interaktywny arkusz próbny + PDF

Próbny • CKE • wrzesień 2022 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem, asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi, gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże, co można poprawić.

Gryzik, asystent nauki, sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{25}{4}$

B. $\frac{4}{25}$

C. $\frac{36}{49}$

D. $\frac{40}{9}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $2 \log_5 5 + 1 - \frac{1}{2} \log_5 625$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $1$

B. $5$

C. $10$

D. $25$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez $25$, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $9 \cdot 9 \cdot 2$

B. $9 \cdot 10 \cdot 2$

C. $9 \cdot 9 \cdot 4$

D. $9 \cdot 10 \cdot 4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 1$ wyrażenie $\frac{2}{x - 1} - 5$ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{-5x + 1}{x - 1}$

B. $\frac{-5x + 7}{x - 1}$

C. $\frac{-5x + 3}{x - 1}$

D. $\frac{-5x - 3}{x - 1}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wyrażenie $9 - (x^2 - 2xy + y^2)$ jest równe

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

A. $[3 - (x - 2y)]^2$

B. $[3 + (x - 2y)]^2$

C. $[3 - (x + 2y)]^2$

D. $[3 - (x - y)] \cdot [3 + (x - y)]$

E. $[3 - (x + 2y)] \cdot [3 + (x + 2y)]$

F. $-[(x - y) - 3] \cdot [(x - y) + 3]$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie

$3x^3 - 6x^2 - 27x + 54 = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

$\frac{(x^2 + x)(x + 3)(x - 1)}{x^2 - 1} = 0$

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. jedno rozwiązanie: $x = -3$.

B. dwa rozwiązania: $x = -3$, $x = 0$.

C. trzy rozwiązania: $x = -3$, $x = -1$, $x = 0$.

D. cztery rozwiązania: $x = -3$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Spośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. $|x + 2| \leq 2$

B. $|x - 2| \leq 2$

C. $|x + 2| \geq 2$

D. $|x - 2| \geq 2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę $1040$ zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach $20$ zł, $50$ zł oraz $100$ zł. Banknotów $100$-złotowych było dwa razy więcej niż $50$-złotowych, a banknotów $20$-złotowych było o $2$ mniej niż $50$-złotowych.

Niech $x$ oznacza liczbę banknotów $50$-złotowych, a $y$ – liczbę banknotów $20$-złotowych, które otrzymał ten klient.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb $x$ i $y$ to

Wybierz odpowiedź:

A. $\begin{cases} 20y + 50x + 100 \cdot 2x = 1040 \\ y = x - 2 \end{cases}$

B. $\begin{cases} 20y + 50x + 50x \cdot 2 = 1040 \\ y = x - 2 \end{cases}$

C. $\begin{cases} 20y + 50x + 100 \cdot 2x = 1040 \\ x = y - 2 \end{cases}$

D. $\begin{cases} 20y + 50x + 50x \cdot 2 = 1040 \\ x = y - 2 \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10.1

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x \in [-5, 4)$. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Kliknij, aby powiększyć

Zapisz zbiór wartości funkcji $f$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10.2

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału $(-4, -2)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

Prawda

Fałsz

Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10.3

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4, 0]$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-4)$

B. $(-3)$

C. $(-2)$

D. $0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są: punkt $A = (8, 11)$ oraz okrąg o równaniu $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od środka tego okręgu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $25$

B. $13$

C. $\sqrt{125}$

D. $\sqrt{265}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.1

Basen ma długość $25$ m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa $1.2$ m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość $y$ basenu zmienia się wraz z odległością $x$ od brzegu w sposób opisany funkcją:

$y = \begin{cases} ax + b &\text{dla }\ 0 \le x \le 15\ \textrm{m} \\ 0.18x - 0.9 &\text{dla }\ 15\ \textrm{m} \le x \le 25\ \textrm{m} \end{cases}$

Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa głębokość basenu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $5.4$ m

B. $3.6$ m

C. $2.2$ m

D. $1.8$ m

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.2

$y = \begin{cases} ax + b &\text{dla }\ 0 \le x \le 15\ \textrm{m} \\ 0.18x - 0.9 &\text{dla }\ 15\ \textrm{m} \le x \le 25\ \textrm{m} \end{cases}$

Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wartość współczynnika $a$ oraz wartość współczynnika $b$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13.1

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x - 1)^2 + 2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Wybierz odpowiedź:

A. $(1, 2)$

B. $(-1, 2)$

C. $(1, -2)$

D. $(-1, -2)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13.2

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x - 1)^2 + 2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $(-\infty, 2]$

B. $(-\infty, 2)$

C. $(2, +\infty)$

D. $[2, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.1

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pięćdziesiątym wyrazem ciągu $(a_n)$ jest

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{7^{49}}{3}$

B. $\frac{7^{50}}{3}$

C. $\frac{7^{51}}{3}$

D. $\frac{7^{52}}{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.2

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.

Prawda

Fałsz

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $20$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y = 3x + b$, przechodząca przez punkt $A = (-1, 3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $b$ w równaniu tej prostej jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $0$

B. $6$

C. $(-10)$

D. $8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16.1

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie $1$., $2$. albo $3$.

Ciąg $(a_n)$ jest

Wybierz odpowiedź:

A. rosnący,

B. malejący,

C. stały,

ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$

Wybierz odpowiedź:

A. $a_{n+1} - a_n = -1$

B. $a_{n+1} - a_n = 0$

C. $a_{n+1} - a_n = 3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16.2

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejszą wartością $n$, dla której wyraz $a_n$ jest większy od $25$, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $8$

B. $9$

C. $7$

D. $26$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16.3

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 3n - 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $57$ dla $n$ równego

Wybierz odpowiedź:

A. $6$

B. $23$

C. $5$

D. $11$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są:

$\bullet$ prosta $k$ o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 5$ $\bullet$ prosta $l$ o równaniu $y - 1 = -2x$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ i $l$

Wybierz odpowiedź:

A. się pokrywają.

B. nie mają punktów wspólnych.

C. są prostopadłe.

D. przecinają się pod kątem $30\degree$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $(1 - \cos 20\degree) \cdot (1 + \cos 20\degree) - \sin^2 20\degree$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-1)$

B. $0$

C. $1$

D. $20$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy $4 : 5$. Z pojemnika losujemy jedną kulę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{4}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ABO$ ma miarę $40\degree$, a kąt $OBC$ ma miarę $10\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $ACO$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $30\degree$

B. $40\degree$

C. $50\degree$

D. $60\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6$, $7$ oraz $8$.

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4$, a bok $BC$ ma długość $4.6$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ takim, że $|AD| = 3.2$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $CD$ ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{64}{23}$

B. $\frac{16}{5}$

C. $\frac{23}{4}$

D. $\frac{92}{25}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

$\bullet$ przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x) = 251x$ $\bullet$ koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją $K(x) = x^2 + 21x + 170$.

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24.1

Firma $\mathcal{F}$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $\mathcal{F}$, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie $\mathcal{F}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4\ 593,75$ zł

B. $4\ 800,00$ zł

C. $5\ 360,00$ zł

D. $2\ 399,33$ zł

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24.2

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy $\mathcal{F}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $4\ 000$ zł

B. $4\ 800$ zł

C. $5\ 000$ zł

D. $5\ 500$ zł

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24.3

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba pracowników firmy $\mathcal{F}$, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa $5\ 000$ zł, stanowi (w zaokrągleniu do $1\%$)

Wybierz odpowiedź:

A. $91\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.

B. $78\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.

C. $53\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.

D. $22\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość $10 \sqrt{3}$, a każda jego krawędź boczna ma długość $15$.

Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $10n^2 + 30n + 8$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi, zawiera informacje o rodzaju dokumentu, egzaminie maturalnym, przedmiocie matematyka, poziomie podstawowym, formach arkusza oraz dacie publikacji dokumentu 30 września 2022 r. Brak zadań i rozwiązań.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1): Obliczanie wartości wyrażenia $(1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}$. Rozwiązanie: $(1 + 3 \cdot \frac{1}{2})^{-2} = (1 + \frac{3}{2})^{-2} = (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$. Rozwiązanie B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną.$

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 3: Zadanie 2 (1 pkt): rozwiązanie wyrażenia logarytmicznego, obliczenia: $2 \log_5 5 + 1 - \frac{1}{2} \log_5 625 = 2 \cdot 1 + 1 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 + 1 - 2 = 1$, odpowiedź A. Zadanie 3 (1 pkt): wybór poprawnej odpowiedzi B, dotyczącej liczenia obiektów z zastosowaniem reguł mnożenia i dodawania.$

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 4: Zadanie 4 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia $\frac{2}{x-1} - 5 = \frac{2}{x-1} - \frac{5 \cdot (x-1)}{x-1} = \frac{2 - 5x + 5}{x-1} = \frac{-5x + 7}{x-1}$, odpowiedź B. Zadanie 5 (2 pkt): wybór poprawnych odpowiedzi D i F, stosowanie wzorów skróconego mnożenia i operacje na wielomianach.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 5: Zadanie 6 (0-3 pkt): Przekształcenie równania 3x³ - 6x² - 27x + 54 = 0 do postaci iloczynowej. Rozwiązanie: 3x²(x - 2) - 27(x - 2) = 0, (x - 2)(3x² - 27) = 0, 3(x - 2)(x² - 9) = 0. Wyniki: x = 2, x = 3, x = -3. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za rozwiązanie jednego równania, 1 pkt za przekształcenie, 0 pkt za błędną metodę.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 6: Zadanie 7 (0–1): rozwiązanie równania wymiernego, wyznaczenie dziedziny D = R\{-1,1}, licznik zeruje się dla x = -3 oraz x = 0, odpowiedź B. Zadanie 8 (0–1): interpretacja wartości bezwzględnej, rozwiązanie równań typu |x + 4| = 5, |x - 2| < 3, |x + 3| ≥ 4, brak szczegółowych obliczeń, brak wizualizacji, brak punktacji.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 7: Zadanie 9 (0–1 pkt): Wymagania dotyczące wykorzystania i interpretowania reprezentacji oraz tworzenia modeli matematycznych. Rozwiązanie: A. Zadanie 10.1 (0–1 pkt): Wymagania dotyczące interpretowania informacji z tekstu i wykresów. Rozwiązanie: brak szczegółów. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 8: Zadanie 10.2 (0-1 pkt): interpretacja informacji z wykresu funkcji, odczytanie miejsc zerowych i przedziałów monotoniczności, rozwiązanie: FP. Zadanie 10.3 (0-1 pkt): odczytanie największych i najmniejszych wartości funkcji w przedziale domkniętym, rozwiązanie: C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub niepoprawną.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 9: Zadanie 11 (1 pkt): obliczenie długości odcinka AS, środek okręgu S=(3, -1), |AS|=√((3-8)²+(-1-11)²)=√((-5)²+(-12)²)=√25+144=√169=13. Zadanie 12.1 (1 pkt): obliczenie wartości funkcji y(25)=0,18*25-0,9=3,6, największa głębokość basenu w odległości 25 m od brzegu. Rozwiązania: B.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 10: Zadanie 12.2 (0–2 pkt): obliczenie wartości współczynnika a=0,04 i b=1,2, wykorzystanie wzoru funkcji liniowej, obliczenia głębokości basenu, równanie a·15+1,2=1,8. Zadanie 13.1 (0–1 pkt): interpretacja współczynników funkcji kwadratowej, odpowiedź A.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 11: Zadanie 13.2 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczą interpretowania reprezentacji matematycznych, odczytywanie dziedziny i zbioru wartości z wykresu funkcji. Rozwiązanie: A. Zadanie 14.1 (0–1 pkt): Obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym. Rozwiązanie: A. Komentarz: Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej, współrzędne wierzchołka W(p, q), ramiona paraboli skierowane w dół, największa wartość w wierzchołku q=2.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 12: Zadanie 14.2 (1 pkt): sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny, obliczenie ilorazu q=(aₙ₊₁/aₙ)=7, suma trzech pierwszych wyrazów S₃=19. Zadanie 15. (0-1): wymagania dotyczące wykorzystania równań prostych na płaszczyźnie, brak szczegółowego rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 13: Zadanie 15 (1 pkt): podstawienie współrzędnych punktu A do równania prostej, obliczenie b=6. Zadanie 16.1 (0-1 pkt): obliczenie różnicy ciągu an+1-an=3, ciąg rosnący, ponieważ różnica dodatnia. Wymagania egzaminacyjne: rozumowanie i argumentacja, badanie czy ciąg jest rosnący lub malejący.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 14: Zadanie 16.2 (1 pkt): rozwiązanie nierówności liniowej $a_n > 25$, przekształcenie do $3n - 1 > 25$, następnie $3n > 26$, wynik $n > \frac{26}{3}$, najmniejsza liczba naturalna $n = 9$. Zadanie 16.3 (1 pkt): brak widocznego rozwiązania, wymagania dotyczą obliczania wyrazów ciągu, sprawdzania rodzaju ciągu i stosowania wzoru na sumę wyrazów.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 15: Zadanie 17 (1 pkt): obliczanie sumy początkowych wyrazów ciągu, suma sześciu wyrazów: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57. Zadanie 18 (1 pkt): wykorzystanie równań trygonometrycznych, sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα. Wymagania egzaminacyjne: stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć. Rozwiązanie dla zadania 17: C.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 16: Zadanie 18 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia trygonometrycznego, (1 - cos 20°) * (1 + cos 20°) - sin² 20° = sin² 20° - sin² 20° = 0. Zadanie 19 (1 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym, P(A) = 4n/9n = 4/9, przy założeniu 4n kul białych i 5n kul czerwonych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 17: Zadanie 20 (1 pkt): wykorzystanie własności kątów wpisanych i środkowych, trójkąty ABO, BCO, ACO równoramienne, obliczenia kątów: ∠AOB=100°, ∠BOC=160°, ∠AOC=100°, ∠ACO=40°. Zadanie 21 (2 pkt): rozumowanie i argumentacja, obliczanie kątów i długości boków trójkąta, zastosowanie twierdzenia cosinusów i twierdzenia o długości boków w trójkącie.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 18: Zadanie 21 (2 pkt): zastosowanie twierdzenia cosinusów, obliczenie cosinusa największego kąta trójkąta, równanie $8^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos \alpha$, wynik $\cos \alpha = \frac{1}{4}$. Zadanie 22 (1 pkt): wykorzystanie twierdzenia o dwusiecznej kąta, proporcja $\frac{|AD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|CB|}$, podstawienie długości odcinków, rozwiązanie D.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 19: Zadanie 23 (0-4 pkt): obliczenie liczby wiatraków maksymalizującej zysk, funkcja kwadratowa Z(x)=-x²+230x-170, obliczenie wierzchołka paraboli x=115, Z(115)=13 055 zł, dziedzina x∈[0,150]∩ℤ, zastosowanie wzoru p=-b/2a, wynik x=115, szkic brak.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 20: Zadanie 24.1 (0–1): obliczanie średniej arytmetycznej płac pracowników. Rozwiązanie: suma płac 735 000, liczba pracowników 160, średnia arytmetyczna 4 593,75. Kluczowe kroki: dodanie płac, podzielenie przez liczbę pracowników. Elementy wizualne: brak. Punktacja: 1 pkt za poprawne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 21: Zadanie 24.2 (0–1): Wymagania dotyczące interpretacji i operowania informacjami w formie tekstu, wykresów, diagramów, tabel. Rozwiązanie: B. Komentarz: Mediana to średnia arytmetyczna płac pracowników nr 80 i 81, obaj otrzymują 4800 zł. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 22: Zadanie 24.3 (0–1 pkt): Obliczenie procentu pracowników w grupie z płacą 4000 zł, 4800 zł i 5000 zł. Suma pracowników: 75 + 50 + 20 = 145. Obliczenie procentowe: $ \frac{145}{160} \times 100\% = 90,625\% \approx 91\% $. Odpowiedź: A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 23: Zadanie 25 (0-3 pkt): obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości H bryły, wynik: H = 5√5. Przykładowe rozwiązanie: podstawa to trójkąt równoboczny, R = 10. Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AS'S. Rysunek przedstawia ostrosłup z zaznaczonymi wysokościami i promieniem.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2022, CKE - strona 24: Zadanie 26 (0–2 pkt): przekształcenie wyrażenia 10n² + 30n + 8 do postaci 5·(2n² + 6n + 1) + 3. Rozwiązanie: pokazano przekształcenie równoważne 10n² + 30n + 5 + 3 = 5·(2n² + 6n + 1) + 3. Wyjaśniono, że 2n² + 6n + 1 jest liczbą całkowitą, a 5·(2n² + 6n + 1) + 3 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.

Matura podstawowa matematyka wrzesień 2022: interaktywny arkusz próbny + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10.1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10.2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10.3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13.1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13.2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16.1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16.2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16.3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie