Matura podstawowa matematyka wrzesień 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((1 + 3 \cdot 2^{-1})^{-2}\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(2 \log_5 5 + 1 - \frac{1}{2} \log_5 625\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez \(25\), jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\) wyrażenie \(\frac{2}{x - 1} - 5\) jest równe

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9 - (x^2 - 2xy + y^2)\) jest równe

Rozwiąż równanie

\(3x^3 - 6x^2 - 27x + 54 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\(\frac{(x^2 + x)(x + 3)(x - 1)}{x^2 - 1} = 0\)

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Spośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę \(1040\) zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach \(20\) zł, \(50\) zł oraz \(100\) zł. Banknotów \(100\)-złotowych było dwa razy więcej niż \(50\)-złotowych, a banknotów \(20\)-złotowych było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych.

Niech \(x\) oznacza liczbę banknotów \(50\)-złotowych, a \(y\) – liczbę banknotów \(20\)-złotowych, które otrzymał ten klient.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb \(x\) i \(y\) to

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x \in [-5, 4)\).

Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji \(f\).

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x \in [-5, 4)\).

Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x \in [-5, 4)\).

Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([-4, 0]\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są: punkt \(A = (8, 11)\) oraz okrąg o równaniu \((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu \(A\) od środka tego okręgu jest równa

Basen ma długość \(25\) m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2\) m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:

\(y = ax + b\) dla \(0 \leq x \leq 15\) m

\(y = 0,18x - 0,9\) dla \(15\) m \(\leq x \leq 25\) m

Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa głębokość basenu jest równa

Basen ma długość \(25\) m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2\) m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:

\(y = ax + b\) dla \(0 \leq x \leq 15\) m

\(y = 0,18x - 0,9\) dla \(15\) m \(\leq x \leq 25\) m

Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.

Oblicz wartość współczynnika \(a\) oraz wartość współczynnika \(b\).

Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -(x - 1)^2 + 2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = -(x - 1)^2 + 2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = \frac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_n)\) jest

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = \frac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = 3x + b\), przechodząca przez punkt \(A = (-1, 3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 3n - 1\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg \((a_n)\) jest

ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 3n - 1\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \(a_n\) jest większy od \(25\), jest

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 3n - 1\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są:

prosta \(k\) o równaniu \(y = \frac{1}{2}x + 5\)

prosta \(l\) o równaniu \(y - 1 = -2x\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste \(k\) i \(l\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((1 - \cos 20 \degree) \cdot (1 + \cos 20 \degree) - \sin^2 20 \degree\) jest równa

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(4 : 5\). Z pojemnika losujemy jedną kulę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(40 \degree\), a kąt \(OBC\) ma miarę \(10 \degree\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(ACO\) jest równa

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(6\), \(7\) oraz \(8\).

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zapisz obliczenia.

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\), a bok \(BC\) ma długość \(4,6\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) takim, że \(|AD| = 3,2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(CD\) ma długość

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x) = 251x\)

koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x) = x^2 + 21x + 170\).

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa

Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \(F\) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba pracowników firmy \(F\), których miesięczna płaca brutto nie przewyższa \(5000\) zł, stanowi (w zaokrągleniu do \(1\%\))

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10 \sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\).

Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2 + 30n + 8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).