Matura rozszerzona z matematyki | Czerwiec 2017

Zadanie 1

Równanie $\big||x - 4| - 2\big| = 2$ ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. dwa rozwiązania rzeczywiste.

B. jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. cztery rozwiązania rzeczywiste.

D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba $\log_4 25 + \log_2 10$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\log_2 15$

B. $\log_2 50$

C. $\log_2 210$

D. $\log_2 635$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Punkt $P' = (3, -3)$ jest obrazem punktu $P = (1, 3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S = (-2, 12)$. Skala tej jednokładności jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{5}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $2$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x}{2x - 8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 4$. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x = \sqrt{2} + 4$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $-\frac{1}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}$

C. $-1$

D. $2 \sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{1}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $7$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -1$ i $x_2 = 12$. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$5x^2 + y^2 - 4xy + 6x + 9 \ge 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $\alpha = |\sphericalangle BAC|$, $\beta = |\sphericalangle ABC|$ i $\gamma = |\sphericalangle ACB|$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że jeżeli $\alpha + \beta = 2 \gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Z cyfr $0$, $1$, $2$ tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez $15$. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_n)$. Wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $124$. Natomiast pierwszy wyraz $b_1$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_n)$ jest równa $18$. Wyznacz te ciągi.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie $3 \sin \big(x - \frac{\pi}{4}\big) + \cos \big(x + \frac{\pi}{4}\big) = 1$ w przedziale $\langle 0, 2 \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Prosta $l$, na której leży punkt $P = (8, 2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym $36$. Wyznacz równanie prostej $l$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - 3mx + 2m^2 + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty, 3)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości $6$ wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości $12$, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości $8$, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1:2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od $28$. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 2: Klucz punktowania zadań zamkniętych: 1-D, 2-B, 3-B, 4-C, 5-B. Zadanie 6 (0–2): kod 2 2 5. Zadanie 7 (0–3): udowodnienie nierówności 5x²+y²−4xy+6x+9≥0. I sposób: przekształcenie do (2x−y)²+(x+3)²≥0. II sposób: funkcja kwadratowa f(x)=5x²+(6−4y)x+y²+9. Punktacja: 1 pkt za zapis nierówności jako suma kwadratów, 2 pkt za pełne rozumowanie.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 3: Zadanie 4: analiza funkcji kwadratowej f(x)=5x²+(6-4y)x+y²+9, obliczenie delty Δ=(6-4y)²-20(y²+9)=-4(y+6)², wykazanie, że funkcja przyjmuje wartości nieujemne dla każdej wartości parametru y. Schemat punktowania: 1 pkt za zapisanie funkcji, 2 pkt za zapisanie wyróżnika, 3 pkt za pełne rozumowanie. Uwaga dotycząca rozpatrywania funkcji z parametrem x.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 4: Zadanie 8 (0-3 pkt): dowód geometryczny, wykazanie że α+β=2γ implikuje opisanie okręgu na czworokącie DCES. Rysunek trójkąta ABC z okręgiem wpisanym, punkt S jako środek okręgu, przecięcia AS i BS z bokami w punktach D i E. I sposób: wykorzystanie własności kątów wierzchołkowych i sumy kątów w czworokącie. II sposób: analiza kątów przyległych i ich sumy. Dowód zakończony wykazaniem, że suma kątów SDC i SEC równa się 180°.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 5: Zadanie 1 (1 pkt): wyznaczanie kąta ASB w zależności od α i β, |∠ASB|=180°−α/2−β/2. Zadanie 2 (2 pkt): suma miar kątów DSE i DCE w czworokącie DCES, |∠DSE|+|∠DCE|=(180°−(α+β)/2)+γ. Zadanie 3 (3 pkt): pełne rozumowanie, wyznaczanie miary kąta ACB: γ=60°, |∠DSE|=|∠ASB|=120°.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 6: Zadanie 9 (0–4): tworzenie pięciocyfrowych liczb podzielnych przez 15 z cyfr 0, 1, 2. Rozwiązanie: liczba podzielna przez 15 musi być podzielna przez 3 i 5. Przykłady: 11100, 11010, 10110, 22200, 22020, 20220. Kluczowe kroki: wybór miejsc dla jedynek i dwójek. Wynik: 18 liczb. Schemat punktowania: 1-4 pkt za różne etapy rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 7: Zadanie 10 (0–5 pkt): rozwiązanie dotyczące ciągów arytmetycznego i geometrycznego. I sposób: układ równań dla r i q, obliczenia prowadzą do równań kwadratowych, Δ=81, r=12/7 lub r=3, q=5 lub q=19/2. Ciągi: arytmetyczny o pierwszym wyrazie 5 i różnicy 3, geometryczny o pierwszym wyrazie 3 i ilorazie 5. II sposób: podobne podejście z innymi oznaczeniami, kontynuacja jak w I sposobie.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 8: Zadanie 1 (1 pkt): zapisanie wyrazów ciągów arytmetycznego i geometrycznego za pomocą r i q, koniunkcja zależności. Zadanie 2 (2 pkt): zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi. Zadanie 3 (3 pkt): przekształcenie układu równań do równania kwadratowego. Zadanie 4 (4 pkt): podanie dwóch rozwiązań ciągów. Zadanie 5 (5 pkt): wyznaczenie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznego i geometrycznego.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 9: Zadanie 11 (0-4): Rozwiązanie równania 3sin(x-π/4)+cos(x+π/4)=1 w przedziale ⟨0, 2π⟩. I sposób rozwiązania: zastosowanie wzoru redukcyjnego cosα=sin(π/2-α), przekształcenie do 2sin(x-π/4)=1, sin(x-π/4)=1/2. Wyniki: x=5π/12+2kπ lub x=13π/12+2kπ. Schemat punktowania: 1 pkt za zapisanie równania, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 10: Zadanie (4 pkt): rozwiązanie równania trigonometrycznego w przedziale ⟨0, 2π⟩. Użyto wzorów na sinus różnicy i cosinus sumy kątów. Kluczowe kroki: przekształcenie równania do postaci sin x - cos x = √2/2, zastosowanie wzoru redukcyjnego, uzyskanie rozwiązań x = 5π/12 i x = 13π/12. Punktacja: 4 punkty. Uwagi: alternatywne metody rozwiązania równania.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 11: Rozwiązanie równania trygonometrycznego sin²x - 2sinxcosx + cos²x = 1/2. Kluczowe kroki: przekształcenie równania, wyznaczenie x = π/12, 13π/12, 5π/12, 17π/12, spełnienie warunku sinx > cosx. Równanie 3sin(x - π/4) + cos(x + π/4) = 1 ma rozwiązania 5π/12, 13π/12. Wykres funkcji f(x) = sin(x - π/4) z zaznaczonymi miejscami przecięcia z y = 1/2.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 12: Schemat punktowania dla rozwiązania równania trygonometrycznego. Zadanie: zapisanie równania w postaci sin x - cos x = √2/2 (1 pkt). Istotny postęp: równanie równoważne sin x - sin(π/2 - x) = √2/2 lub sin 2x = 1/2 przy sin x > cos x (2 pkt). Rozwiązanie równania w zbiorze liczb rzeczywistych, np. x = 5π/12 + 2kπ (3 pkt). Pełne rozwiązanie w przedziale ⟨0, 2π⟩: x = 5π/12 lub x = 13π/12 (4 pkt).

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 13: Zadanie 12 (0–5 pkt): wyznaczenie równania prostej $ l $, na której leży punkt $ P=(8,2) $, tworzący z osiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu 36. Rozwiązanie: równanie kierunkowe $ y=ax+b $, założenie $ a<0 $, $ b>0 $. Obliczenia: $ 8a+b=2 $, $ b^2-9b+18=0 $, rozwiązania $ b=3 $ lub $ b=6 $. Dwa równania prostej: $ y=-\frac{1}{8}x+3 $ oraz $ y=-\frac{1}{2}x+6 $. Punktacja: 1 pkt za zapisanie zależności.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 14: Zadanie 1 (2 pkt): zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, przekształcenie do równania z jedną niewiadomą. Zadanie 2 (3 pkt): przekształcenie układu równań, zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej, wyznaczenie długości odcinka AB, przekształcenie do równania 16a²+10a+1=0. Elementy wizualne: brak. Punktacja za poprawne przekształcenia i uzasadnienia.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 15: Zadanie 1 (4 pkt): zapisanie równań prostych y=-1/8x+3 i y=-1/2x+6, ocena poprawności zapisu punktów przecięcia. Zadanie 2 (5 pkt): rozwiązanie układu równań x/a + y/b = 1 z punktami A=(a,0), B=(0,b), P=(8,2), obliczenia prowadzą do równań 4b+a=36 i ab=72, końcowy wynik a=12, b=6 oraz a=24, b=3. Brak elementów wizualnych.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 16: Schemat punktowania II sposobu rozwiązania. Rozwiązanie z niewielkim postępem (1 pkt): zapisanie równania pola trójkąta prostokątnego lub równania prostej przez punkt P=(8,2). Istotny postęp (2 pkt): zapisanie układu równań. Pokonanie trudności (3 pkt): przekształcenie układu do równania kwadratowego. Rozwiązanie z błędami (4 pkt): błąd rachunkowy. Pełne rozwiązanie (5 pkt): zapisanie równań prostych.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 17: Zadanie 13 (0-6 pkt): Wyznacz wartości parametru m dla równania x²-3mx+2m²+1=0 z dwoma różnymi rozwiązaniami w przedziale (-∞, 3). I sposób: Obliczanie delty Δ=9m²-4(2m²+1)=m²-4, rozwiązanie nierówności m²-4>0, m∈(-∞,-2)∪(2,∞). Rozpatrywanie warunków x₁<3, x₂<3, stosowanie wzorów Viete’a, 3m<6 i 2m²-9m+10>0, m<2. Punktacja: 1 pkt za Δ>0, 4 pkt za układ nierówności, 1 pkt za część wspólną.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 18: Rozwiązanie nierówności z funkcją kwadratową f(x)=x²-3mx+2m²+1. Zadanie obejmuje wyznaczenie wspólnej części zbiorów rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi: m∈(-∞,-2). Rozważane warunki: f(3)>0, x_w<3, Δ>0. Obliczenia: Δ=9m²-4(2m²+1)=m²-4. Rozwiązanie w trzech etapach, punktacja: 6 pkt za pełne rozwiązanie, 1 pkt za wyznaczenie części wspólnej, 4 pkt za rozwiązanie układu nierówności.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 19: Zadanie 3 (6 pkt): wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności z etapów I i II, podanie odpowiedzi $ m \in (-\infty, -2) $. Podział punktów: 1 pkt za zapisanie układu warunków $ f(3) > 0 $ oraz $ x_w < 3 $, 3 pkt za zapisanie układu nierówności $ f(3) > 0 $ oraz $ x_w < 3 $ z niewiadomą $ m $, 4 pkt za rozwiązanie $ m < 2 $.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 20: Zadanie 14 (0-6): Obliczanie pola koła wpisanego w trójkąt ABP. Trapez równoramienny ABCD o ramieniu 6 wpisany w okrąg, dłuższa podstawa AB=12, średnica okręgu. Przekątne AC i BD przecinają się w P. Rysunek przedstawia trapez z oznaczeniami kątów i odcinków. Przyjęto kąty α=∠CAO=∠DBO, α+β=60°, α=β=30°. Wysokość trapezu h=6√3.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 21: Zadanie: Trójkąty ABP i CDP są podobne, kąty wierzchołkowe mają miarę 30°. Skala podobieństwa 2, trójkąt ACD równoramienny, |CD|=|AD|=6. Obliczenia długości |AP|=|BP|=4√3, pole trójkąta ABP=12√3. Zależność między polem trójkąta a promieniem okręgu wpisanego, r=12-6√3. Pole koła wpisanego: P=(252-144√3)π. Schemat punktowania: 1 pkt za zapisanie kątów, 2 pkt za wysokość trapezu, 4 pkt za pole trójkąta.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 22: Zadanie: obliczenie długości boków trójkąta ABP, |PO|=2√3, |AP|=|BP|=4√3, 3 punkty. Rozwiązanie prawie pełne: obliczenie promienia koła wpisanego w trójkąt ABP, r=12−6√3, 5 punktów. Rozwiązanie pełne: obliczenie pola koła wpisanego w trójkąt ABP, P=(252−144√3)π, 6 punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 23: Zadanie 15 (0-7 pkt): Rozpatrywanie prostopadłościanów o objętości 8, stosunek długości krawędzi 1:2, suma długości krawędzi < 28. Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej jako funkcji długości krawędzi, dziedzina funkcji x > 0. Rozwiązanie nierówności 3x²-7x²+4 < 0, pierwiastki 2 i -2/3, przedział x ∈ (1,2). Pochodna funkcji P'c(x), analiza monotoniczności, szkic wykresu funkcji z zaznaczonymi przedziałami malejącymi i rosnącymi.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 24: Zadanie 1: rozwiązanie dotyczące minimalizacji pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu. Wykorzystano funkcję wymierną $ P_c(x) = 4x^2 + \frac{24}{x} $ dla $ x \in (1,2) $. Obliczono pochodną $ f'(x) = 8x - \frac{24}{x^2} $ i miejsce zerowe $ x = \sqrt[3]{3} $. Uzasadniono, że w tym punkcie funkcja osiąga minimum lokalne. Długości krawędzi prostopadłościanu to $ \sqrt[3]{3}, 2\sqrt[3]{3}, \frac{4}{3}\sqrt[3]{3} $. Punktacja: 1 punkt za każdą część etapu.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 25: Zadanie 7: Obliczenia dotyczące prostopadłościanu, wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni całkowitej, Pc=4x²+6xh, przekształcenie nierówności, podstawienie t=√h, analiza wielomianu za pomocą schematu Hornera, pierwiastki trójmianu 3t²-4t-4, szkic wykresu funkcji z zaznaczonymi miejscami zerowymi, pochodna funkcji Pc' i jej analiza dla przedziału h∈(1,4).

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 26: Zadanie 7: analiza funkcji Pc(h) dla przedziału (1,4), wyznaczenie pochodnej Pc'(h) i miejsc zerowych, h=³√(64/9)=4/³√9, funkcja malejąca i rosnąca w określonych przedziałach, minimum lokalne dla h=4/³√9, obliczenie najmniejszego pola powierzchni prostokąta, Pc(h)=16/h+12√h, schemat punktowania z etapami rozwiązania, każdy etap za 1 punkt.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2017, CKE - strona 27: Zadanie 3c: uzasadnienie, że dla $ h = \frac{4}{3\sqrt{9}} $ funkcja $ P_c $ osiąga najmniejszą wartość, analiza przedziałów funkcji rosnącej i malejącej, minimum lokalne. Trzeci etap: obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu o najmniejszym polu powierzchni, wyniki: $ \sqrt[3]{3}, 2\sqrt[3]{3}, \frac{4}{3\sqrt{9}} $. Za każde poprawne rozwiązanie etapu 1 punkt.$

Zadanie 1

Równanie $\big||x - 4| - 2\big| = 2$ ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. dwa rozwiązania rzeczywiste.

B. jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. cztery rozwiązania rzeczywiste.

D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba $\log_4 25 + \log_2 10$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\log_2 15$

B. $\log_2 50$

C. $\log_2 210$

D. $\log_2 635$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Punkt $P' = (3, -3)$ jest obrazem punktu $P = (1, 3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S = (-2, 12)$. Skala tej jednokładności jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{5}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $2$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x}{2x - 8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 4$. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x = \sqrt{2} + 4$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $-\frac{1}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}$

C. $-1$

D. $2 \sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $7$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$5x^2 + y^2 - 4xy + 6x + 9 \ge 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że jeżeli $\alpha + \beta = 2 \gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Z cyfr $0$, $1$, $2$ tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez $15$. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie $3 \sin \big(x - \frac{\pi}{4}\big) + \cos \big(x + \frac{\pi}{4}\big) = 1$ w przedziale $\langle 0, 2 \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Prosta $l$, na której leży punkt $P = (8, 2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym $36$. Wyznacz równanie prostej $l$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - 3mx + 2m^2 + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty, 3)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2017 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2017 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie