Matura rozszerzona z matematyki | Czerwiec 2021

Zadanie 1

Wartość wyrażenia $\Big(\big(\sqrt{3} - 1\big)^2 - \big(\sqrt{3} + 1\big)^2\Big)^3$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $512$

B. $0$

C. $-24 \sqrt{3}$

D. $-192 \sqrt{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Granice $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{an^2 + bn + 4}{n + 1}\ $ i $\ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 1}{an^2 + bn + 4}$ są równe. Stąd wynika, że

Wybierz odpowiedź:

A. $a = 0\ $ i $\ b = 0$

B. $|a| = 1\ $ i $\ b = 0$

C. $|a| = 1\ $ i $\ |b| = 1$

D. $a = 0\ $ i $\ |b| = 1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wektory $\vec{a} = [m - 2, m + 2]$ oraz $\vec{b} = [m^{1.5}, 2^{1.5}]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. $m = 0\ $ lub $\ m = 4$

B. $m = 0\ $ lub $\ m = 2$

C. $m = 2$

D. $m = 2\ $ lub $\ m = 4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = 2 \sin (2x)$

B. $f(x) = 2 \pi \cdot \sin (2x)$

C. $f(x) = 2 \sin (\frac{x}{2})$

D. $f(x) = 2 \pi \cdot \sin (\frac{x}{2})$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wynikiem dzielenia wielomianu $5x^3 - 7x^2 - 4x - 4$ przez dwumian $x - 2$ jest trójmian kwadratowy postaci $ax^2 + bx + c$.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Niech $\log_2 9 = c$. Wykaż, że $\log_3 54 = \frac{3c + 2}{c}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano - odpowiednio - punkty $G$ i $H$ tak, że $DG \parallel EC$ oraz $FH \parallel EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$, to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $2 \cos^2 x - \cos x = \sin (2x) - \sin x$ w przedziale $\langle 0, 2 \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Dane są prosta $k$ o równaniu $x - 2y = 0$ i prosta $l$ o równaniu $2x + y - 1 = 0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y = x + 4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe $\frac{1}{15}$. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$(x - 3)(x^2 + (m - 1)x - 6m^2 + 2m) = 0$

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \frac{x^3 + k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$.

Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y = -x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Na okręgu jest opisany czworokąt $ABCD$. Bok $AD$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $AB$, a przekątna $BD$ ma długość równą $6$. Ponadto spełnione są następujące warunki:

$\cos (\measuredangle ADB) = \frac{7}{8}$, $|\measuredangle BCD| = 90 \degree$ oraz $|AB| > \sqrt{15}$.

Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x = |AC|$.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem

$P(x) = \frac{x (4 - 2x)}{4 - x}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Dokument dotyczy egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym. Formy arkusza: EMAP-R0-100-2106, EMAP-R0-200-2106, EMAP-R0-300-2106, EMAP-R0-400-2106, EMAP-R0-700-2106, EMAP-R0-Q00-2106. Termin egzaminu: 2 czerwca 2021 r. Data publikacji dokumentu: 21 czerwca 2021 r.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 2: Zadania zamknięte: Odpowiedzi do zadań 1-4: D, D, B, D. Zadanie 5 (0–2 pkt): rozwiązanie kodowane, odpowiedź 5, 3, 2. Zadanie 6 (0–3 pkt): przekształcenie wyrażenia log₃54 lub 3log₂(9+2)/log₂9, zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu, np. log₃54 = log₂54/log₂3, log₂9 = 2log₂3, log₃54 = log₃27 + log₃2. Punktacja: 1 pkt za poprawne przekształcenie, 2 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 3: Zadanie 1 (3 pkt): przekształcenie wyrażenia log₃ 54, zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu, log₃ 54 = log₂ 54 / log₂ 3. Następnie użycie wzoru na logarytm iloczynu, log₂ 54 = log₂ (27 * 2) = log₂ 27 + log₂ 2. Mnożenie licznika i mianownika przez 2, zastosowanie wzoru na logarytm potęgi, uzyskanie wyrażenia 3 log₂ 9 + 2 / log₂ 9 = (3c + 2) / c. To należało wykazać.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 4: Zadanie 7 (0–3 pkt): Zasady oceniania. Opis wymagań dla zdających, aby uzyskać 1, 2 lub 3 punkty. Wymaga zapisania związków między polami trójkątów BEC, BFH, ADG, AEC, EBC oraz układu równań z polem trapezu DECG i trójkąta ADG. Przykłady związków: $ h_{BEC} = 3h_{BFH} $, $ P_{AEC} = \frac{4}{3} P_{EBC} $, $ P_{BEC} = 9P_{BFH} $. Układ równań: $ \begin{cases} p + q = 12S \\ p + q = 4 \\ q \end{cases} $.$

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 5: Zadanie 1: Rozwiązanie zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów. Szkic trójkąta z oznaczeniami odcinków: $AD=DE=EF=2FB=2x$. Obliczenia pokazują stosunek pól trójkątów $P_{EBC}/P_{FBH}=9$, $P_{AEC}=12S$, $P_{ADG}=3S$. Metoda wykorzystuje cechy kkk podobieństwa trójkątów i twierdzenie o stosunku pól figur podobnych. To należało wykazać.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 6: Sposób 2: obliczenia dotyczące podobieństwa trójkątów i pól figur, równania p+q=12S, p+q=4, p=9S, q=3S. Zadanie 8 (0–4): Zasady oceniania dla równań trygonometrycznych, punkty za różne etapy: zapis równania, alternatywne równania, rozwiązania w przedziale (0, 2π), szczegółowe rozwiązania x=1/3π, 5/3π, 1/4π, 5/4π. Uwagi dotyczące podziału równań i błędów rachunkowych.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 7: Zadanie 9 (0–4): Przykładowe pełne rozwiązanie równania trygonometrycznego 2cos²x - cosx = 2sinxcosx - sinx. Przekształcenie do postaci (2cosx - 1)(cosx - sinx) = 0. Rozwiązania: x = 1/3π, x = 5/3π, x = 1/4π, x = 5/4π. Zasady oceniania: 1 pkt za zapisanie odległości punktu P od prostej, 2 pkt za wyznaczenie odległości w zależności od zmiennej, 3 pkt za równanie z jedną niewiadomą.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 8: Zadanie: obliczanie współrzędnych punktu P na prostej y=x+4. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie odległości punktu P od prostych k i l, równania odległości z wartościami bezwzględnymi, porównanie odległości, uzyskanie równań |−xₚ−8|=2|3xₚ+3|, rozwiązanie dla xₚ=−2 lub xₚ=2/5. Wynik: P=(−2,2) oraz P=(2/5,27/5). Punktacja: 4 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 9: Zadanie 10 (0–4 pkt): obliczenie długości boków trójkąta CFS, |CF|=2√2, |CS|=√5, |FS|=3. Zastosowanie twierdzenia cosinusów, (√5)²=(2√2)²+3²-2·2√2·3·cos(∠CFS). Wyznaczenie kąta ∠CFS=45°. Szkic sześcianu z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F, G, H, S i odcinkiem FH.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 10: Zadanie 10: obliczenie najmniejszego kąta w trójkącie CFS z twierdzenia cosinusów, obliczenia: |FS|=3, |CF|=2√2, |CS|=√5, cos(∠CFS)=√2/2, kąt 45°. Zadanie 11 (0–4): zasady oceniania, liczba możliwych rozmieszczeń uczestników programu, wzory: (n+3)!, (n+1)·3!·n!, równanie 6/(n+2)(n+3)=1/15, liczba aktorów: 7.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 11: Zadanie: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, gdzie n oznacza liczbę aktorów. Rozwiązanie: P(A) = 6/((n+2)(n+3)). Równanie: 6/((n+2)(n+3)) = 1/15, co prowadzi do (n+2)(n+3) = 90, n²+5n-84=0, (n-7)(n+12)=0. Wynik: n=7, ponieważ n=-12 przeczy założeniom. W programie bierze udział 7 aktorów.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 12: Zadanie 12 (0-5 pkt): analiza trójmianu kwadratowego $x^2 + (m-1)x - 6m^2 + 2m$. Rozwiązanie równania dla $\Delta = 0$, otrzymując $m = \frac{1}{5}$. Wyznaczenie pierwiastków $x_1 = \frac{-m+1-|5m-1|}{2}$, $x_2 = \frac{-m+1+|5m-1|}{2}$. Alternatywne wartości $m = -\frac{2}{3}$, $m = \frac{3}{2}$. Obliczenia dotyczące pierwiastków i wartości $m$.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 13: Zadanie 1: rozwiązanie równania kwadratowego x² + (m-1)x - 6m² + 2m metodą delty, Δ=(m-1)² - 4(-6m² + 2m), obliczenia prowadzą do Δ=25m² - 10m + 1. Rozważane przypadki dla x₁ i x₂, w tym x₁=2m, x₂=-3m+1 dla m∈(-∞, 1/5), oraz x₁=-3m+1, x₂=2m dla m∈[1/5, ∞). Rozpatrywane trzy sytuacje dla m, końcowe wartości m to 1/5, 3/2, -2/3.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 14: Zadanie 2: rozwiązanie równania kwadratowego x² + (m-1)x - 6m² + 2m, gdzie jednym z rozwiązań jest x₃ = 3. Obliczono wyróżnik Δ = (m-1)² - 4(-6m² + 2m) = 25m² - 10m + 1. Dla m = 1/5, x₀ = -m+1/2 = 2/5. Sprawdzono wartości m, dla których liczba 3 jest pierwiastkiem. Wyniki: m = 3/2 lub m = -2/3. W obu przypadkach Δ > 0, więc równanie ma dwa różne pierwiastki, w tym jeden równy 3.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 15: Zadanie 13 (0-5 pkt): Zasady oceniania. Obliczenie pochodnej funkcji $ f'(x) = \frac{2x^3-k}{x^2} $ dla $ x \neq 0 $. Równanie styczności: $-x_0 = \frac{x_0^3+k}{x_0}$. Geometria pochodnej: $ f'(x_0) = -1 $. Układ równań: $-x_0 = \frac{x_0^3+k}{x_0}$ i $\frac{2x_0^3-k}{x_0^2} = -1$. Rozwiązanie: $ x_0 = -\frac{2}{3} $, $ k = -\frac{4}{27} $. Uwagi dotyczące błędów rachunkowych.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 16: Zadanie: Obliczenia dotyczące punktu styczności prostej y=-x do wykresu funkcji. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie pochodnej funkcji f, równania 3x²-x-(x³+k)/x², oraz układu równań -x₀=(x₀³+k)/x₀ i 2x₀³-k/x₀²=-1. Kluczowe kroki: wyznaczenie x₀=2/3, k=-4/27.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 17: Zadanie 14 (0-5 pkt): Zasady oceniania. Równanie z jedną niewiadomą z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD, np. |AB|² = (2|AB|)² + 6² - 2·2·|AB|·6·cos(∠ADB). Obliczenie długości boków: |AB| = 4, |AD| = 8. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu, układ równań: |BC| i |CD|. Rozwiązanie równań: |BC| = -2 + √14 oraz |BC| = (-3+3√7)/2. Uwagi dotyczące błędnych założeń i punktacji. Przykładowe pełne rozwiązanie z oznaczeniem a = |AB|.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 18: Zadanie 18: Wykorzystanie twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD, obliczenia: $a^2 = (2a)^2 + 6^2 - 2 \cdot 2a \cdot 6 \cdot \cos(\angle ADB)$, $\cos(\angle ADB) = \frac{7}{8}$, równanie kwadratowe $a^2 - 7a + 12 = 0$, rozwiązania $a = 3$ lub $a = 4$. Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BCD, obliczenia: $|BC|^2 + (|BC| + 4)^2 = 36$, $|BC| = -2 + \sqrt{14}$. Szkic czworokąta opisanego na okręgu.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 19: Zadanie 15 (0–7): Podpunkt a) (1 pkt): równanie z twierdzenia Pitagorasa lub układ równań x²+y²=c², y=4-x-c. Podpunkt a) (2 pkt): pole trójkąta ABC jako funkcja P(x)=x(4-2x)/(4-x). Podpunkt b) (1 pkt): dziedzina funkcji P to (0, 2). Podpunkt c) (1 pkt): pochodna P'(x)=2x²-16x+16/(4-x)², x∈(0,2). Podpunkt c) (2 pkt): warunek ekstremum, x=4-2√2. Podpunkt c) (3 pkt): analiza znaku pochodnej, funkcja rosnąca i malejąca, maksimum w x=4-2√2.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2021, CKE - strona 21: Zadanie: Obliczanie pochodnej funkcji P oraz badanie jej monotoniczności. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie dziedziny funkcji, obliczenie pochodnej P'(x) i miejsc zerowych, Δ=(-16)²-4·2·16=8·16, x=4±2√2. Badanie monotoniczności: P'(x)>0 dla x∈(0,4-2√2), P'(x)<0 dla x∈(4-2√2,2). Funkcja P rosnąca w (0,4-2√2), malejąca w [4-2√2,2). Największe pole trójkąta: 4(3-2√2).

Zadanie 1

Wartość wyrażenia $\Big(\big(\sqrt{3} - 1\big)^2 - \big(\sqrt{3} + 1\big)^2\Big)^3$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $512$

B. $0$

C. $-24 \sqrt{3}$

D. $-192 \sqrt{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Granice $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{an^2 + bn + 4}{n + 1}\ $ i $\ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 1}{an^2 + bn + 4}$ są równe. Stąd wynika, że

Wybierz odpowiedź:

A. $a = 0\ $ i $\ b = 0$

B. $|a| = 1\ $ i $\ b = 0$

C. $|a| = 1\ $ i $\ |b| = 1$

D. $a = 0\ $ i $\ |b| = 1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wektory $\vec{a} = [m - 2, m + 2]$ oraz $\vec{b} = [m^{1.5}, 2^{1.5}]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. $m = 0\ $ lub $\ m = 4$

B. $m = 0\ $ lub $\ m = 2$

C. $m = 2$

D. $m = 2\ $ lub $\ m = 4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = 2 \sin (2x)$

B. $f(x) = 2 \pi \cdot \sin (2x)$

C. $f(x) = 2 \sin (\frac{x}{2})$

D. $f(x) = 2 \pi \cdot \sin (\frac{x}{2})$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wynikiem dzielenia wielomianu $5x^3 - 7x^2 - 4x - 4$ przez dwumian $x - 2$ jest trójmian kwadratowy postaci $ax^2 + bx + c$.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Niech $\log_2 9 = c$. Wykaż, że $\log_3 54 = \frac{3c + 2}{c}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $2 \cos^2 x - \cos x = \sin (2x) - \sin x$ w przedziale $\langle 0, 2 \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$(x - 3)(x^2 + (m - 1)x - 6m^2 + 2m) = 0$

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \frac{x^3 + k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$.

Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y = -x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

$\cos (\measuredangle ADB) = \frac{7}{8}$, $|\measuredangle BCD| = 90 \degree$ oraz $|AB| > \sqrt{15}$.

Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x = |AC|$.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem

$P(x) = \frac{x (4 - 2x)}{4 - x}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2021 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2021 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie