Matura rozszerzona matematyka maj 2020 - interaktywny arkusz + PDF

Wielomian \(W\) określony wzorem \(W(x) = x^{2019} - 3x^{2000} + 2x + 6\)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = \frac{3n^2 + 7n - 5}{11 - 5n + 5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Granica tego ciągu jest równa

Mamy dwie urny. W pierwszej są \(3\) kule białe i \(7\) kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i \(9\) kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego \(\big(x \sqrt{2} + y \sqrt{3}\big)^4\) do postaci \(ax^4 + bx^3 y + cx^2 y^2 + dxy^3 + ey^4\) współczynnik \(c\) jest równy

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest \(3\) razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku \(BC\) stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x - 5| = (a - 1)^2 - 4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC| = 6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC| = |LC| = 2\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|} = \frac{4}{5}\).

Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2 + 2a = 4b^2 + 4b\). Wykaż, że \(a = 2b\).

Rozwiąż równanie \(3 \cos 2x + 10 \cos^2 x = 24 \sin x - 3\) dla \(x \in \langle 0, 2 \pi \rangle\).

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1 + a_2 + a_3 = \frac{21}{4}\).

Wyrazy \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) są - odpowiednio - czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).

Dane jest równanie kwadratowe \(x^2 - (3m + 2) x + 2m^2 + 7m - 15 = 0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\) tego równania istnieją i spełniają warunek

\(2x_1^2 + 5x_1 x_2 + 2x_2^2 = 2\) .

Prosta o równaniu \(x + y - 10 = 0\) przecina okrąg o równaniu \(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 8 = 0\) w punktach \(K\) i \(L\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy \(KL\). Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku \(S\) i skali \(k = -3\).

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry \(1\) i dokładnie dwie cyfry \(2\).

Podstawą ostrosłupa czworokątnego \(ABCDS\) jest trapez \(ABCD\) \((AB \parallel CD)\). Ramiona tego trapezu mają długości \(|AD| = 10\) i \(|BC| = 16\), a miara kąta \(ABC\) jest równa \(30 \degree\). Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha\), taki, że \(\tg \alpha = \frac{9}{2}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe \(0.5\) cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe \(0.3\) cm każda (zobacz rysunek - ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię \(60\) cm\(^2\). Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.