Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2021

Zadanie 1

Różnica $\cos^2 165 \degree - \sin^2 165 \degree$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $-1$

B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $-\frac{1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Kliknij, aby powiększyć

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = \frac{\cos x + 1}{|\cos x| + 1}$

B. $f(x) = \frac{\sin x + 1}{|\sin x| + 1}$

C. $f(x) = \frac{|\cos x| - 2}{\cos x - 2}$

D. $f(x) = \frac{|\sin x| - 2}{\sin x - 2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wielomian $W(x) = x^4 + 81$ jest podzielny przez

Wybierz odpowiedź:

A. $x - 3$

B. $x^2 + 9$

C. $x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9$

D. $x^2 + 3 \sqrt{2} x - 9$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Liczba różnych pierwiastków równania $3x + |x − 4| = 0$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz granicę $\ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(3n + 2)^2 - (1 - 2n)^2}{(2n - 1)^2}$.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Niech $\log_2 18 = c$. Wykaż, że $\log_3 4 = \frac{4}{c - 1}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż nierówność:

$\frac{2x - 1}{1 - x} \le \frac{2 + 2x}{5x}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty - odpowiednio - $D$ i $E$ takie, że $|BD| = |AE| = \frac{1}{3} |AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że pole trójkąta $DBP$ jest $21$ razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $15$, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez $18$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Prosta przechodząca przez punkty $A = (8, -6)$ i $B = (5, 15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O = (0, 0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $AB$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian kwadratowy

$4x^2 - 2(m + 1) x + m$

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:

$x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 0$ oraz $x_1 + x_2 \le \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Rozwiąż równanie $\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x - \sin x)$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Dane są parabola o równaniu $y = x^2$ oraz punkty $A = (0, 2)$ i $B = (1, 3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $𝐶$.

a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcję zmiennej $m$.

b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $144$ m$^3$. Dno zbiornika ma być kwadratem.

Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $9$ metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: - $100$ zł za $1$ m$^2$ dna - $75$ zł za $1$ m$^2$ ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Egzamin maturalny z matematyki na poziomie rozszerzonym. Formy arkusza: EMAP-R0-100-2105, EMAP-R0-200-2105, EMAP-R0-300-2105, EMAP-R0-400-2105, EMAP-R0-600-2105, EMAP-R0-700-2105, EMAP-R0-Q00-2105. Termin egzaminu: 11 maja 2021 r. Data publikacji dokumentu: 21 czerwca 2021 r.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wykorzystanie i tworzenie informacji, wymaganie R6.2, wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych, odpowiedź D. Zadanie 2 (0–1 pkt): Modelowanie matematyczne, wymaganie R6.4, posługiwanie się wykresami funkcji trygonometrycznych, odpowiedź C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 3: Zadanie 3 (1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, rozwiązanie C. Zadanie 4 (1 pkt): Użycie i tworzenie strategii, rozwiązanie równania z wartością bezwzględną, rozwiązanie B. Zadanie 5 (2 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, obliczanie granic ciągów, zadanie otwarte, brak szczegółowych obliczeń.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 4: Zadanie 6 (0–3 pkt): wymagania egzaminacyjne dotyczące rozumowania i argumentacji. Przykładowe przekształcenia logarytmów: log₃4 = log₂4/log₂3, 4/log₂(18−1) = 4/log₂18 − 1. Zastosowanie wzorów na logarytm potęgi i zamianę podstawy logarytmu. Punktacja: 1 pkt za poprawne zastosowanie wzoru, 2 pkt za przekształcenie do tezy.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 5: Zadanie dotyczące logarytmów. Przykładowe pełne rozwiązania: Sposób 1 - przekształcanie wyrażenia log₃ 4, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu, z kluczowymi krokami obliczeń: mnożenie licznika i mianownika przez 2, zastosowanie wzoru na różnicę logarytmów, końcowy wynik: log₃ 4 = 4/(c-1). Sposób 2 - podstawienie log₂ 18 = c, przekształcanie mianownika, zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 6: Zadanie 7 (0-3 pkt): przekształcenie nierówności wymiernych. Rozwiązanie zawiera trzy sposoby przekształcenia nierówności 2x-1/1-x ≤ 2+2x/5x do postaci 12x²-5x-2/(1-x)·5x ≤ 0. Pierwszy sposób obejmuje przekształcenie przez mnożenie obu stron przez (1-x)·5x. Drugi sposób wymaga mnożenia przez (1-x)²(5x)². Trzeci sposób zakłada przyjęcie x ∈ (-∞,0) ∪ (1,+∞) i przekształcenie przez mnożenie przez (1-x)5x.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 7: Zadanie 1: przekształcenie nierówności $\frac{2x-1}{1-x} \leq \frac{2+2x}{5x}$ przez iloczyn $(1-x)5x$, rozwiązanie nierówności $(2x-1)5x \leq (2+2x)(1-x)$, wynik: $x \in \left(-\infty, -\frac{1}{4}\right) \cup \left(0, \frac{2}{3}\right) \cup (1, +\infty)$. Uwagi dotyczące mnożenia stron nierówności i wykluczenia wartości $x=0$ i $x=1$. Punktacja: 3 pkt.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 8: Zadanie 4: rozwiązanie nierówności kwadratowej. Sposób 1: przekształcenie nierówności do postaci iloczynowej, wyznaczenie przedziałów, wynik: x ∈ (-∞, -1/4) ∪ (0, 2/3) ∪ (1, +∞). Sposób 2: przekształcenie równoważne, wynik ten sam. Sposób 3: rozwiązanie w dwóch przedziałach, wynik: x₁ = -1/4, x₂ = 2/3, x ∈ (-∞, -1/4) ∪ (1, +∞). Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 9: Zadanie 8 (0-3 pkt): Wymagania egzaminacyjne 2021, rozumowanie i argumentacja. Zdający stosuje cechy przystawania trójkątów i rozpoznaje figury podobne. Otrzymuje 1 pkt za zapisanie, że trójkąty ABE i BCD są przystające lub zapisanie, że trójkąty DBP i DCB są podobne i zapisanie proporcji. Inne opcje: wyznaczenie długości odcinka CD, zastosowanie twierdzenia o stosunku pól trójkątów, umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych, narysowanie odcinków równoległych do AC lub AB i zapisanie podobieństw trójkątów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 10: Zadanie 1 (2 pkt): zapisanie podobieństwa trójkątów DBP i DCB, skala podobieństwa s=1/√7. Zadanie 2 (3 pkt): pełne rozwiązanie, trójkąty ABE i BCD przystające, twierdzenie cosinusów, obliczenia: |CD|=√(a²+(3a)²-2·a·3a·1/2)=√7a. Zadanie 3 (3 pkt): zapisanie równania z dwiema niewiadomymi m i a, wyrażenie pola trójkąta DBP. Elementy wizualne: brak.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 11: Zadanie 2: wyznaczenie długości odcinka |CD| za pomocą twierdzenia sinusów i Pitagorasa. Obliczenia: |BE|=a/sin∠DBE, sin∠DBE=√3/2√7, P_ADBP=1/2·a·(1/√7·3a)·√3/2√7=1/21·P_AABC. Długość |CD| obliczona dwoma sposobami: a) twierdzenie Pitagorasa, b) twierdzenie Stewarta. Wynik: |CD|=a√7. Elementy wizualne: brak.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 12: Zadanie 3: przedstawiono trójkąt ABC z punktami D, E, P wewnątrz, wyznaczono pola trójkątów ABE, CBE, BDC, ADC jako ułamki pola S. Rozwiązano układ równań dla Q i X, uzyskując Q = 1/21 S. Sposób 3: wykazano przystawanie trójkątów ABE i BCD oraz podobieństwo trójkątów DBP i DCB, stosując cechę KKK, wyliczono stosunki długości boków i kąty, oznaczono |DP| = m, |BP| = 3m.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 13: Zadanie 7: Rozwiązanie z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów dla trójkąta DBP. Obliczenia: |BD|² = |DP|² + |BP|² - 2·|DP|·|BP|·cos 60°, co prowadzi do równania (1/3 a)² = m² + (3m)² - 2·m·3m·1/2. Wyprowadzono m² = 1/63 a². Obliczenie pola trójkąta DBP: P_DBP = 1/2·|DP|·|BP|·sin 60°, co daje 1/21·P_ABC. Szkic trójkąta z oznaczeniami boków i punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 14: Zadanie 4: Rozwiązanie zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów. Wykorzystano cechę KKK do wykazania podobieństwa trójkątów ADC i EGC oraz DBP i GEP. Obliczenia obejmują proporcje odcinków, takie jak |EG| = 4/9a i |CG| = 2/3|CD|. Zastosowano wspólną wysokość trójkątów do wyznaczenia stosunku pól PDBP i PABC = 1/21PABC. Szkic trójkąta ABC z zaznaczonymi odcinkami i punktami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 15: Zadanie dotyczące trójkąta ABC z długością boku a. Rozwiązanie obejmuje konstrukcję odcinka DF równoległego do boku AC, z punktem przecięcia G odcinków BE i DF. Trójkąt DBF jest równoboczny, długość boku 1/3a. Podobieństwo trójkątów DBG i ABE oraz DGP i CEP (cecha KKK). Obliczenia długości |DG|=1/9a i |DP|=1/6. Wykazano zależność P_BBP=1/21P_ABC. Szkic trójkąta z oznaczeniami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 16: Zadanie 6: Rozwiązanie zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów. Oznaczenie długości boków trójkąta ABC jako a. Wykazano podobieństwo trójkątów AFE i ADC oraz FBE i DBP, stosując cechę KKK. Obliczenia proporcji długości odcinków, m.in. |EF| = 1/3 |CD| i |DP| = 1/7 |CD|. Wykazano, że PDBP = 1/21 PABC. Rysunek przedstawia trójkąty z zaznaczonymi odcinkami i proporcjami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 17: Zadanie 7: Rozwiązanie zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów w trójkącie równobocznym ABC z odcinkiem GF równoległym do AC. Trójkąty GBP i ABE są podobne (cecha KKK), co prowadzi do proporcji |GP|/|GB| = 1/3. Trójkąty GDP i ADC również są podobne, co daje |GD| = 2/3|GP|. Obliczenia prowadzą do x = 3/7a. Wykorzystano proporcje do uzyskania |PD|/|CD| = 1/7. Trójkąty DBP i DBC mają wspólną wysokość, co daje P_DBP = 1/7P_DBC. Diagram ilustruje trójkąt z zaznaczonymi odcinkami i proporcjami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 18: Zadanie 8: wykaż, że P_DBC = 1/3 P_ABC, używając wspólnej wysokości i proporcji boków. Obliczenia: P_DBC = 1/3 P_ABC, P_DBP = 1/21 P_ABC. Sposób 8: podział trójkąta ABC na trzy trójkąty równoboczne i trzy równoległoboki. Trójkąty podobne (cecha KKK), proporcje boków i pól. Rysunki: trójkąt ABC z podziałem na mniejsze figury, schemat podziału z oznaczeniami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 19: Zadanie 9: Dowód równości pól trójkątów FGP i GBP poprzez wspólną wysokość z wierzchołka P, wyprowadzenie wzoru na pole trójkąta ABC, P_ABC = 147x, oraz pole trójkąta DBP, P_DBP = 7x, wykazanie, że P_DBP = 1/21 P_ABC. Sposób 9: Umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych, oznaczenie boków, szkic trójkąta z punktami A, B, C, E, D, P, oznaczenia długości boków w zależności od a.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 20: Zadanie 9: obliczanie współrzędnych punktu P przez rozwiązanie układu równań, współczynniki kierunkowe prostych CD i BE, końcowy wynik x=9/14a, y=√3/14a. Zadanie 10: szkic sieci złożonej z przystających trójkątów równobocznych, trójkąt ABC umieszczony na sieci, punkty F, G, H, R, S jako węzły sieci, jednostką pole elementarnego trójkąta sieci.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 21: Zadanie 8: dowód podobieństwa trójkątów DBP i DAF, cecha KKK, stosunek odcinków, obliczenia proporcji pól trójkątów, końcowy wynik P_DBP = 1/21 P_ABC. Zadanie 9 (0–4): modelowanie matematyczne, obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego, liczba zdarzeń elementarnych |Ω| = 9000, liczba zdarzeń sprzyjających |B| = 500, |A ∩ B| = 100, punktacja: 1 p. za zapisanie liczby zdarzeń, 2 p. za obliczenie zdarzeń sprzyjających.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 22: Zadanie 1 (3 pkt): obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B oraz A∩B, |B|=500, |A∩B|=100. Zadanie 2 (4 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P(A|B)=1/5. Przykładowe rozwiązanie: zdarzenie A - liczba podzielna przez 15, zdarzenie B - liczba podzielna przez 18. Obliczenia: n≤500,5, P(B)=1/18. Zdarzenie A∩B - liczba podzielna przez 90.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 23: Zadanie 10 (0–4 pkt): Wymagania egzaminacyjne 2021, użycie i tworzenie strategii. Zdający wyznacza równanie prostej AB, np.: y = -7x + 50, oblicza długość odcinka AB oraz pole trójkąta AOB: |AB| = 15√2, PAOB = 75, wyznacza równanie prostej prostopadłej do AB: y = 1/7x. Zdający zapisuje układ równań z dwóch prostych lub oblicza promień okręgu, r = 5√2.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 24: Zadanie dotyczące wyznaczania punktu styczności prostej do okręgu. Rozwiązanie obejmuje zapis równania z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu styczności. Kluczowe kroki: równanie $ \frac{1}{7}x = -7x + 50 $, obliczenia dla $ x^2 + (-7x + 50)^2 = 50 $. Wynik: $ P = (7,1) $, promień $ r = 5\sqrt{2} $. Uwagi dotyczą poprawności metod i błędów w obliczeniach. Punktacja: 3 pkt za poprawne równanie, 4 pkt za poprawne obliczenie promienia.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 25: Zadanie 1: Wyznaczanie równania prostej AB przez punkty A i B, równanie kierunkowe y=-7x+50, obliczenie odległości punktu O od prostej AB jako promienia okręgu, r=5√2, wyznaczenie punktu styczności P, współrzędne P=(7,1). Sposób 2: Wyznaczanie równania prostej AB i okręgu x²+y²=50, obliczenie odległości jako promienia okręgu, r=5√2, współrzędne punktu styczności P.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 26: Zadanie 3: rozwiązanie układu równań przez układ z okręgiem, wyznaczenie równania prostej AB, obliczenie odległości punktu od prostej, równanie okręgu, współrzędne punktu P, rozwiązanie układu równań, współrzędne punktu P (7,1). Sposób 4: wyznaczenie równania prostej AB, obliczenie długości odcinka AB, pole trójkąta ABO, promień okręgu, współrzędne punktu P.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 27: Zadanie: rozwiązanie układu równań $ y = -7x + 50 $ i $ x^2 + y^2 = 50 $. Sposób 5: Wyznaczenie punktu styczności przez pochodną, równanie prostej $ AB $, obliczenie odległości punktu $ O $ od prostej $ AB $, równanie okręgu, obliczenie współrzędnych punktu $ P = (7, 1) $. Sposób 6: Wyznaczenie równania prostej $ AB $, wektor $ OP $, współrzędne punktu $ P = (7, 1) $, promień okręgu $ r = 5\sqrt{2} $.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 28: Zadanie 11 (0-5 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia strategii. Rozwiązanie składa się z trzech etapów. Pierwszy etap: nierówność Δ > 0, m ≠ 1, 1 pkt. Drugi etap: nierówność x₁ + x₂ ≤ 1/x₁ + 1/x₂, 3 pkt. Przekształcenie nierówności lub wyznaczenie pierwiastków trójmianu 4x² - 2(m+1)x + m. Punktacja za zapisanie nierówności z jedną niewiadomą m. Rozwiązanie nierówności m ∈ (-∞, -1) ∪ (0, 4), 3 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 29: Uwagi do drugiego etapu: rozwiązywanie nierówności z uwzględnieniem warunków, maksymalnie 2 punkty. Trzeci etap: wyznaczenie wartości parametru m, poprawne rozwiązanie 1 punkt. Przykładowe rozwiązanie: I etap - trójmian kwadratowy, wyznacznik Δ, obliczenia: 4m² - 8m + 4 > 0, m ≠ 1. II etap - warunki dla x₁ i x₂, zastosowanie wzorów Viète’a.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 30: Zadanie 1: rozwiązanie nierówności z parametrem m. I etap: przekształcenie nierówności do postaci $(m+1)/2 \leq 2(m+1)/m$, rozwiązanie $m \in (-\infty, -1) \cup (0, 4)$. II etap: wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego $x_1 = 1/2$, $x_2 = m/2$. III etap: część wspólna zbiorów rozwiązań. Wynik: $m \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \cup (1, 4)$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 31: Zadanie 12 (0–5 pkt): analiza nierówności i równań trygonometrycznych. Rozwiązanie nierówności $(m+1)(m-4)/2m \leq 0$ prowadzi do $m \in (-\infty, -1) \cup (0, 4)$, z uwzględnieniem $m \neq 1$. Zadanie trygonometryczne: zapis alternatywny równań $cos x - sin x = 0$ lub $cos x + sin x = \sqrt{2}/2$, zastosowanie wzoru na cosinus podwójnego kąta, przekształcenia równań. Punktacja: 1-2 pkt za różne etapy rozwiązania.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 32: Zadanie 3 (3 pkt): wykorzystanie tożsamości trygonometrycznych, przekształcenie układu równań z cos x + sin x = √2/2, zastosowanie jedynki trygonometrycznej, przekształcenie równania cos 2x = (√2/2)(cos x - sin x) do postaci cos 2x = cos(x + π/4), rozwiązanie równania cos x - sin x = 0, x = π/4 + kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, oraz inne przekształcenia i rozwiązania w przedziale (0, π).

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 33: Zadanie 1 (4 pkt): rozwiązanie równania trygonometrycznego $-2\sin\left(\frac{2x+x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{2x-x-\frac{\pi}{4}}{2}\right)=0$, z warunkami dla $\cos x - \sin x = 0$ w przedziale $(0, \pi)$. Zadanie 2 (5 pkt): rozwiązanie równania $\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$ w przedziale $(0, \pi)$, z poprawnym wyznaczeniem rozwiązań $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{12}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 34: Zadanie 1: rozwiązanie równania trygonometrycznego metodą analizy starożytnych, podział równania przez cos x - sin x, otrzymanie równania cos x + sin x = √2/2, rozwiązanie w przedziale (0, π), wyniki: π/4, 7π/12. Sposób 2: zastosowanie wzoru na cosinus podwójnego kąta, alternatywne równania: cos x - sin x = 0 lub cos x + sin x = √2/2, rozwiązanie graficzne lub algebraiczne, wykorzystanie wzoru redukcyjnego.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 35: Zadanie 3: Rozwiązanie równania trygonometrycznego $ \cos x - \sin x = 0 $ metodą wzorów redukcyjnych. Kluczowe kroki: zastosowanie wzoru na sumę sinusów, przekształcenie do postaci $ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} $, rozwiązanie dla $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $. Zadanie 4: Rozwiązanie równania $ \cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ z użyciem wzoru na cosinus podwojonego kąta.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 36: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań trygonometrycznych, przekształcenie do równania kwadratowego, podstawienie sin x = t, rozwiązania t = (√2+√6)/4 i t = (√2-√6)/4, końcowe wartości x = 7π/12 i x = π/4. Sposób 4: przekształcenie równania do postaci różnicy cosinusów, zastosowanie wzoru na różnicę cosinusów, końcowe rozwiązania x = 7π/12 i x = π/4.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 37: Zadanie 13 (0–4 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia i tworzenia strategii. Przykłady zależności między bokami trójkąta ABC, wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa, równania trygonometryczne. Przykłady: a²+(7/5c-a)²=c², sin α + cos α = 7/5, 25·sin 2α = 24. Brak szkiców lub wykresów. Punktacja: 1-2 pkt za poprawne zapisanie równań i zależności.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 38: Zadanie 1 (3 pkt): rozwiązanie równania kwadratowego z proporcją boków trójkąta, np. $ \frac{a}{c} = \frac{3}{5} $. Alternatywnie, równanie z sinusami/kosinusami, np. $ \sin^2 \alpha + \left(\frac{7}{5} - \sin \alpha\right)^2 = 1 $. Zadanie 2 (4 pkt): obliczenie wartości sinusa większego kąta ostrego, $ \frac{4}{5} $. Uwagi dotyczące punktacji za błędy rachunkowe i merytoryczne.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 39: Przykładowe pełne rozwiązania. Sposób 1: Oznaczenia dla trójkąta ABC, rysunek trójkąta z okręgiem wpisanym. Wzory: $a^2 + b^2 = c^2$, $r = \frac{a+b-c}{2}$, $r = \frac{1}{5}c$. Obliczenia: $c/5 = (a+b-c)/2$, $b = \frac{7}{5}c - a$. Podstawienie do równania Pitagorasa, równanie kwadratowe, $\Delta = 25c^2$, $a = \frac{3}{5}c$ lub $a = \frac{4}{5}c$. Wynik: trójkąt z dokładnością do oznaczeń.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 40: Zadanie 1: Rozwiązanie równania kwadratowego 25a² - 35ac + 12c² = 0, podział przez c², otrzymanie a/c = 3/5 lub 4/5. Zadanie 2: Równość odcinków stycznych i twierdzenie Pitagorasa, oznaczenia a, b, c, α, β, r, szkic trójkąta ABC z okręgiem wpisanym, równanie a² + (7r - a)² = (5r)², obliczenie wyróżnika Δ = r², rozwiązania a = 4r, a = 3r, b = 3r, b = 4r.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 41: Zadanie: rozwiązanie dotyczące trójkąta ABC z oznaczeniami a, b, c dla boków oraz α, β dla kątów. Sinus α i β obliczono jako 4/5 i 3/5. Wykorzystano rysunek trójkąta z wpisanym okręgiem o promieniu r. Obliczenia obejmują równania trigonometryczne i algebraiczne, w tym a² + b² = c² oraz sin²α + cos²α = 1. Rozwiązanie pokazuje, że sin α = 3/5 lub 4/5, a cos α = 4/5 lub 3/5.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 42: Zadanie dotyczące trójkąta ostrokątnego ABC z kątami α i β oraz bokami a, b, c. Rozwiązanie obejmuje obliczenia związane z promieniem okręgu wpisanego r oraz zależnościami między bokami i kątami trójkąta. Wykorzystano wzory na pole i obwód trójkąta, układ równań oraz równanie kwadratowe. Kluczowe kroki: Δ=49r², rozwiązania a=(3r, 4r). Rysunek przedstawia trójkąt z okręgiem wpisanym.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 43: Zadanie: obliczenia dotyczące trójkąta prostokątnego ABC, gdzie a, b, c to długości boków, a i β to kąty ostre. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie sinusów kątów α i β, użycie oznaczeń: S - środek okręgu wpisanego, D - punkt styczności. Wykorzystano tangensy kątów α/2 i β/2 do obliczeń x i y, gdzie x+y=c=5r. Rysunek przedstawia trójkąt z okręgiem wpisanym i oznaczeniami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 44: Zadanie 1: zastosowanie wzoru na tangens różnicy kątów, przekształcenie równania, rozwiązanie równania kwadratowego 6(tg(α/2))² - 5tg(α/2) + 1 = 0, wyniki tg(α/2) = 1/2 lub tg(α/2) = 1/3, długości boków trójkąta w stosunku 3:4:5, sinus większego kąta 4/5. Sposób 6: sinus podwojonego kąta, oznaczenia: a, b, c - długości boków, α, β - kąty, r - promień okręgu wpisanego, rysunek trójkąta ABC.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 45: Zadanie 7: rozwiązanie równania trygonometrycznego, wyprowadzenie wzoru na $ c = 5r $, przekształcenia algebraiczne prowadzące do $ 25a^2 + 50ab + 25b^2 = 49c^2 $, zastosowanie tożsamości trygonometrycznych, obliczenia prowadzące do $ \sin 2\alpha = \frac{24}{25} $, końcowy wynik $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, brak elementów graficznych, brak widocznej punktacji.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 46: Zadanie 14 (0–6 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczą modelowania matematycznego. Podpunkt a) (1 pkt): zapisanie współrzędnych punktu C jako C = (m, m²). Podpunkt a) (2 pkt): wyznaczenie wysokości hₓ trójkąta ABC lub współrzędnych wektorów AC, AB. Podpunkt a) (3 pkt): zastosowanie poprawnej metody i wzoru na pole trójkąta ABC, P(m) = ½|m² - m - 2|. Uwagi dotyczą poprawności wzoru i przyjęcia punktu C.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 47: Zasady oceniania dla podpunktu b) dotyczące rozpoznawania trójkąta ostrokątnego. Zadanie wymaga zauważenia, że trójkąt jest ostrokątny, gdy punkt C leży na jednym z fragmentów paraboli lub zapisania równań prostych prostopadłych do prostej AB. Dodatkowo, zapisanie warunków na ostrość kątów przy wierzchołkach A, B i C. Zawiera wzory trygonometryczne i algebraiczne oraz układy nierówności. Punktacja: 1-2 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 48: Zadanie dotyczące wyznaczania wartości m dla których trójkąt ABC jest ostrokątny. Rozwiązanie obejmuje dwa sposoby. Sposób 1: Punkt C leży na paraboli, długość odcinka AB, wysokość h_C, wzór na pole trójkąta P=½|m-m²+2|. Sposób 2: Wektory AB i AC, pole trójkąta P(m)=½|m²-m-2|. Zadanie oceniane na 3 punkty.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 49: Zadanie 4: analiza warunków istnienia trójkąta ABC, gdy punkt C leży na prostych M₁M₂ lub N₁N₂ paraboli. Szkic paraboli z zaznaczonymi punktami A, B, C₁, C₂, M₁, M₂, N₁, N₂. Obliczenia promienia koła r=√2/2 i środka S=(1/2, 5/2). Nierówność koła: (x-1/2)²+(y-5/2)²≤1/2. Analiza wyróżnika trójmianu i warunku ostrokątności trójkąta.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 50: Zadanie 1: analiza położenia punktu C względem paraboli i koła, współczynniki kierunkowe prostych, rozwiązanie równań kwadratowych x²=-x+4, x₁=-1+√17/2, x₂=-1-√17/2, opis trójkąta ostrokątnego. Zadanie 2: uzasadnienie nierówności m⁴-4m²-m+6>0, analiza wartości m dla ostrokątności trójkąta ABC, zastosowanie twierdzenia cosinusów. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 51: Rozwiązanie nierówności z wykorzystaniem wzorów na długości boków trójkąta. Zadanie obejmuje przekształcenie nierówności b² + c² - a² > 0, a² + c² - b² > 0, b² + a² - c² > 0. Rozwiązanie pierwszej nierówności prowadzi do m ∈ (-∞, -2) ∪ (1, +∞). Rozwiązanie drugiej nierówności z delty Δ=68, m₁ i m₂ wyznaczone, końcowy wynik m ∈ (-1-√17/2, -2) ∪ (1, -1+√17/2). Nierówność m⁴ - 4m² - m + 6 > 0 przekształcona do (m² - 2)² + 2 - m > 0.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 52: Zadanie 15 (0-7 pkt): Modelowanie matematyczne, zastosowanie pochodnych do zagadnień optymalizacyjnych. Rozwiązanie składa się z trzech etapów: budowa modelu, analiza modelu, końcowe obliczenia. Krok 1: przyjęcie wymiaru zbiornika jako zmiennej, obliczenie drugiego wymiaru $ h = \frac{144}{x^2} $. Krok 2: zapisanie funkcji kosztu $ f(x) = 100x^2 + 4x \cdot \frac{144}{x^2} \cdot 75 $. Krok 3: ustalenie dziedziny funkcji $ D_x = [4, 9] $.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 53: Zadanie (3 pkt): wyznaczenie pochodnej funkcji f, f'(x) = 200x - 43200/x², obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x = 6 (lub h = 4), badanie znaku pochodnej, f'(x) > 0 dla x ∈ (6, 9), f'(x) < 0 dla x ∈ (4, 6), wyznaczenie wartości zmiennej x dla minimum funkcji, x = 6, h = 4. Za poprawne wykonanie każdego kroku 1 punkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 54: Zadanie 2: opis warunków uzasadnienia minimalnej wartości funkcji. Zadanie 3: metoda prób i błędów dla wymiarów zbiornika. Zadanie 4: funkcja kosztów f(x)=ax²+b/x, maks. 5 pkt za pełne rozwiązanie. Zadanie 5: funkcja pola, maks. 5 pkt. Przykładowe rozwiązanie: Sposób 1, oznaczenia x i h, pojemność zbiornika 144 m³, funkcja kosztów f(x)=100x²+75·4xh, pochodna f'(x)=200x-43200/x², miejsce zerowe x=6, badanie monotoniczności.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 55: Zadanie dotyczące optymalizacji kosztów wykonania zbiornika. Rozwiązanie obejmuje obliczenie pochodnej funkcji kosztu $ f(h) $, analiza monotoniczności dla przedziałów $ h \in (4, 9) $ i $ h \in (\frac{16}{9}, 4) $. Miejscem zerowym pochodnej jest $ h = 4 $. Minimalny koszt przy $ h = 4 $, $ x = 6 $. Wymiary zbiornika: 6 m x 6 m x 4 m.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2021, CKE - strona 56: Zadanie 14: analiza funkcji f(x)=100x²+4x z przekształceniem do postaci f(x)=100(x²+432/x)=100(x²+216/x+216/x), z minimalizacją przez nierówność x²+216/x+216/x≥3√(63·63)=36. Funkcja osiąga wartość najmniejszą 100·3·36=10800 dla x=6, h=4.

Matura rozszerzona matematyka maj 2021 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi