Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2022

Zadanie 1

Liczba $\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{11}{12}$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 2$.

Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu $x = \frac{1}{2}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{9}{4}$

C. $3$

D. $\frac{54}{8}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Jeżeli $\cos \beta = -\frac{1}{3}$ i $\beta \in \big(\pi, \frac{3}{2} \pi\big)$, to wartość wyrażenia $\sin \big(\beta - \frac{1}{3} \pi\big)$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{-2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}$

C. $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{5}{14}$

B. $\frac{9}{14}$

C. $\frac{5}{7}$

D. $\frac{6}{7}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ wzorem $a_n = \frac{(7p - 1) n^3 + 5pn - 3}{(p + 1) n^3 + n^2 + p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_n)$ jest równa $\frac{4}{3}$.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x > y$, spełniona jest nierówność

$7x^3 + 4 x^2 y \ge y^3 + 2xy^2 - x^3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

$|x - 3| = 2x + 11$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP|$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m$ przez dwumian $x + 2$ jest równa $(−30)$.

Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \ge 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_1 = 675$ i $a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}$. Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$. Ponadto $a_3 = b_4$. Oblicz $b_1$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

$x^2 - (m + 1)x + m = 0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:

$x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 0$ oraz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + 2 = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe $26.4$.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Punkt $A = (-3, 2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Pole tego trójkąta jest równe $15$. Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y = x - 1$.

Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b) = \frac{(18 - 2b) \cdot \sqrt{18b - 81}}{2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Dokument zawiera informacje o rodzaju dokumentu, egzaminie maturalnym, przedmiocie matematyka, poziomie rozszerzonym, formach arkusza EMAP-R0-100-2205 do EMAP-R0-Q00-2205, terminie egzaminu 11 maja 2022 r., oraz dacie publikacji dokumentu 28 czerwca 2022 r.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne - wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; wymaganie szczegółowe - stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz zamianę podstawy logarytmu. Rozwiązanie: A. Zadanie 2 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne - wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; wymaganie szczegółowe - obliczanie pochodnych funkcji wymiernych. Rozwiązanie: C.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 3: Zadanie 3 (0–1): wykorzystanie wzorów na sinus różnicy kątów, odpowiedź A, 1 pkt za odpowiedź poprawną. Zadanie 4 (0–1): twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, odpowiedź A, 1 pkt za odpowiedź poprawną. Zadanie 5 (0–2): odpowiedź 4 1 1, 2 pkt za odpowiedź całkowicie poprawną.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 4: Zadanie 6 (0-3 pkt): Wymaganie ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: użycie wzorów skróconego mnożenia na $(a \pm b)^3$ oraz $a^3 \pm b^3$. Zasady oceniania: 1 pkt za zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów lub przekształcenie nierówności do postaci $2x(4x^2-y^2)+y(4x^2-y^2) \geq 0$. 2 pkt za przekształcenie nierówności do postaci $(2x-y)(2x+y)^2 \geq 0$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 5: Zadanie (3 pkt): przekształcenie nierówności 7x³ + 4x²y ≥ y³ + 2xy² - x³ metodą różnicy sześcianów i sześcianu różnicy. Sposób 1: zastosowanie wzoru skróconego mnożenia, przekształcenie do (2x-y)(4x²+4xy+y²) ≥ 0. Sposób 2: przekształcenie do (2x-y)(2x+y)² ≥ 0. Oba sposoby potwierdzają prawdziwość nierówności.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 6: Zadanie 3: Rozwiązanie nierówności 7x³ + 4x²y ≥ y³ + 2xy² - x³ metodą różnicy kwadratów. Przekształcenie równań: 8x³ - 2xy² + 4x²y - y³ ≥ 0, następnie 2x(4x² - y²) + y(4x² - y²) ≥ 0. Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia: (2x + y)(2x - y) ≥ 0. Wniosek: Nierówność jest prawdziwa dla założeń 2x > y, (2x - y) > 0.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 7: Zadanie 7 (0-3 pkt): Wymagania dotyczące użycia strategii w rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną. Opisano różne metody rozwiązania, w tym zapis przedziałów, alternatywne równania i rozwiązania graficzne. Kluczowe kroki obejmują zapis równań x-3=2x+11 lub x-3=-2x-11, rozwiązania x=-14 lub x=8/3, oraz wykresy funkcji f(x)=|x-3| i g(x)=2x+11. Zasady oceniania obejmują poprawność rachunkową i graficzną.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 8: Zadanie 1 (3 pkt): rozwiązanie równania |x-3|=2x+11. Sposób 1: analiza przedziałów (-∞,3), (3,+∞) bez wartości bezwzględnej, wyniki x=-8/3 oraz x=-14, z czego tylko x=-8/3 jest poprawny. Sposób 2: rozważenie alternatywnych równań x-3=2x+11 lub x-3=-2x-11, wyniki x=-14 lub x=-8/3, z czego x=-8/3 jest poprawny. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 9: Zadanie 4: rozwiązanie równania z wartością bezwzględną |x-3|=2x+11. Metoda: analiza przypadków. Dla x=-8/3 lewa strona równa 17/3, prawa 17/3, więc x=-8/3 jest rozwiązaniem. Alternatywnie, dla 2x+11<0, x<-11/2 równanie sprzeczne. Dla 2x+11≥0, x≥-11/2 równanie równoważne x-3=2x+11 lub x-3=-2x-11, dając x=-14 lub x=-8/3. Tylko x=-8/3 spełnia warunek. Wynik: x=-8/3.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 10: Zadanie 8 (0–3 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczą rozumowania i argumentacji. Zadanie polega na zapisaniu związków między długościami i promieniami okręgów opisanych na trójkątach oraz zastosowaniu twierdzenia sinusów i cosinusów. Przykłady związków i równań z dwiema niewiadomymi. Dodatkowe warunki obejmują obliczenie sin α = 1/3 lub zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta. Punktacja: 1 pkt za spełnienie jednego z warunków, 2 pkt za dodatkowe obliczenia, 3 pkt za pełne rozumowanie.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 11: Zadanie z podobieństwa trójkątów. Oznaczenie promienia okręgu opisanego i kąta ostrego. Wykorzystanie równości kątów naprzemianległych i wierzchołkowych. Wyprowadzenie równania z proporcji boków trójkątów. Zastosowanie twierdzenia sinusów. Obliczenia prowadzą do równania sin α = 1/3. Użycie tożsamości trygonometrycznej do wyznaczenia cos α = 2√2/3.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 12: Zadanie 7: zastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie $CPD$, wyrażenie $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, obliczenia prowadzą do $|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2 \cdot |DP| \cdot |CP| \cdot \cos \alpha$. Sposób 2: twierdzenie sinusów, oznaczenie promienia okręgu opisanego jako $R_2$, wyrażenie $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, tożsamość trygonometryczna $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 13: Zadanie dotyczące trójkąta CPD i kąta α. Rozwiązanie obejmuje zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów. Kluczowe kroki: oznaczenie promienia okręgu opisanego, wykorzystanie tożsamości trygonometrycznych, obliczenie sin α = 1/3 i cos α = 2√2/3. Końcowy wynik: wyprowadzenie równania 4√2/3 · |DP| · |CP| = |DP|² + |CP|² - |CD|². Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 14: Zadanie 4: Rozwiązanie zadania dotyczącego kąta wpisanego i środkowego. Wykorzystano podobieństwo trójkątów i twierdzenie cosinusów. Kluczowe kroki: wyprowadzenie równania x² = 2R₁²(1 - cos 2α), obliczenie cos α = 2√2/3, zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta CPD. Wynik: |CD|² = |DP|² + |CP|² - 2|DP||CP| · 2√2/3. Elementy wizualne: brak. Punktacja: brak widocznej.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 15: Zadanie 9 (0–4): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia i tworzenia strategii. Zadanie polega na zapisaniu równania z niewiadomą m lub wyznaczeniu reszty z dzielenia wielomianu. Rozwiązanie obejmuje obliczenie m=3, podanie pierwiastków wielomianu W(x)=4x³-6x²-16x-6 jako x₁=-1, x₂=-½, x₃=3 oraz rozwiązanie nierówności W(x)≥0 z przedziałami x∈(-1,-½)∪(3,+∞). Punktacja: 1-4 pkt w zależności od poprawności rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 16: Zadanie: Rozwiązanie wielomianu W przez dwumian x+2, reszta -30, W(-2)=-30. Rozwiązanie równania m=3. Nierówność 4x³-6x²-16x-6≥0, przekształcenia: 2(x+1)(2x²-5x-3)≥0, 4(x+1)(x-3)(x+½)≥0. Szkic wykresu wielomianu, miejsca zerowe: -1, -½, 3. Zbiór rozwiązań nierówności W(x)≥0: ⟨-1, -½⟩ ∪ (3, +∞).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 17: Zadanie 10 (0–4 pkt): Modelowanie matematyczne, wymagania egzaminacyjne dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Obliczanie ilorazu ciągu q=2/5, zapis równań z niewiadomymi b₁ i r, np. b₁+3r=108, 1125=(2b₁+24r)/2·25. Zapis układu równań z dwiema niewiadomymi, obliczenie b₁: b₁=129. Zasady oceniania dla różnych sposobów rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 18: Zadanie 1: Rozwiązanie ciągu geometrycznego, przekształcenie równania $a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}$, obliczenie ilorazu $q = \frac{2}{5}$. Suma $S = 1125$, obliczenia dla $a_3 = 108$. Trzeci wyraz ciągu geometrycznego równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego $b_4 = 108$. Obliczenia dla $b_1 = 129$. Sposób 2: Podobne obliczenia, wykorzystanie własności ciągu geometrycznego.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 19: Zadanie 4: rozwiązanie równania 25/16 a₃² - 675/2 a₃ + 18225 = 0, a₃ = 108. Stosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, q = 2/5. Obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego, S = 1125. Wyznaczenie r i b₁ z równań b₁ + 3r = 108 i b₁ + 12r = 45, r = -7, b₁ = 129.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 20: Zadanie 11 (0-4 pkt): przekształcenie równania trygonometrycznego sin x + sin 2x + sin 3x = 0 przy użyciu wzorów na sumę sinusów, różnicę sinusów, sinus podwojonego kąta. Przykładowe przekształcenia: 2 sin 2x cos(-x) + sin 2x = 0, sin x + 2 sin(2,5x) cos(-0,5x) = 0. Alternatywnie podanie dwóch liczb spełniających równanie, np. 0, π/2, π. Punktacja: 1 pkt za przekształcenie, 2 pkt za alternatywę równań.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 21: Zadanie 1 (3 pkt): przekształcenie równania sin x + sin 2x + sin 3x = 0 do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych. Zadanie 2 (4 pkt): poprawne rozwiązanie równania sin x + sin 2x + sin 3x = 0, zbiór rozwiązań w przedziale (0, π): {0, π/2, 2π/3, π}. Uwagi dotyczą błędów w zastosowaniu wzorów trygonometrycznych. Przykładowe rozwiązanie: metoda suma sinusów, przekształcenie do sin 2x = 0 lub cos x = -1/2.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 22: Zadanie 1: przekształcenie równania sin x + sin 2x + sin 3x = 0, zastosowanie tożsamości trygonometrycznych, rozwiązanie: x = 2π/3 + 2kπ lub x = 4π/3 + 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, rozwiązania w przedziale (0, π): 0, π/2, 2π/3, π. Zadanie 2: podobne przekształcenie, rozwiązanie: x = π + 2kπ lub x = π/2 + kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 23: Zadanie 1: rozwiązanie równania sin x + sin 2x + sin 3x = 0 w przedziale (0, π) metodą przekształceń trygonometrycznych. Sposób 2: przekształcenie równania do postaci sin x (1 + 2 cos x + 2 cos² x - 1 + 2 cos² x) = 0, rozwiązania x = kπ, x = π/2 + kπ, x = 2π/3 + 2kπ, x = 4π/3 + 2kπ. Sposób 3: przekształcenie równania do postaci sin 2x (2 cos x + 1) = 0. Rozwiązania: 0, π/2, 2π/3, π.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 24: Zadanie 12 (0–5 pkt): wymagania egzaminacyjne, modelowanie matematyczne, użycie strategii. Rozwiązanie nierówności Δ>0: m≠1, przekształcenie warunku 1/x₁ + 1/x₂ + 2 = 1/x₁² + 1/x₂², zastosowanie wzorów Viète’a, wyznaczenie pierwiastków trójmianu x²-(m+1)x+m: x₁=1, x₂=m. Punktacja: 1 pkt za poprawne rozwiązanie nierówności, 2 pkt za pełne przekształcenie i zapisanie równania z niewiadomą m.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 25: Zadanie 1 (3 pkt): rozwiązanie nierówności Δ > 0 dla m ≠ 1, zapisanie równania z jedną niewiadomą m, przykładowo m+1/m + 2 = (m+1)²-2m/m², 1 + 1/m + 2 = 1 + 1/m². Zadanie 2 (4 pkt): poprawne rozwiązanie nierówności Δ > 0, zapisanie równania 2m² + m - 1 = 0 lub 2m²+m-1/m² = 0, rozwiązanie m = -1 lub m = 1/2. Zadanie 3 (5 pkt): spełnienie czterech warunków, zapisanie m ≠ 0.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 26: Zadanie 2: rozwiązanie równania $ \frac{m+1}{m} + 2 = \frac{(m+1)^2 - 2m}{m^2} $ lub $ 1 + \frac{1}{m} + 2 = 1 + \frac{1}{m^2} $. Zadanie 3: rozwiązanie nierówności $ \Delta > 0 $, wyznaczenie wartości parametru $ m $, dla których $ x_1 \neq x_2 $. Poprawna odpowiedź: $ m = -1 $ lub $ m = \frac{1}{2} $. Uwagi dotyczące błędów i punktacji. Przykładowe rozwiązania pokazują przekształcenia i obliczenia dla $ \Delta > 0 $.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 27: Zadanie 1: Rozwiązanie równania kwadratowego $x^2 - (m+1)x + m = 0$ z warunkiem $m \neq 1$. Wykorzystanie wzorów Viète'a, przekształcenie równania do postaci iloczynowej. Kluczowe kroki: $m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1$, $2m^2 + m - 1 = 0$, rozwiązania $m = -1$ lub $m = \frac{1}{2}$. Zadanie rozwiązane dwoma sposobami, oba prowadzą do tych samych wyników.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 28: Zadanie 13 (0-5 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia trygonometrii do obliczeń długości odcinków i miar kątów w graniastosłupach. Warunki zdobycia punktów: obliczenie cos α = 5/13, iloczyn długości przekątnych |AF| i |AH| = 57,2, związki między długościami przekątnych i krawędzi, równania z twierdzenia cosinusów. Obliczenie wysokości graniastosłupa h = √22.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 29: Zadanie dotyczące czworokąta ABCD i trójkąta AFH. Rozwiązanie obejmuje oznaczenia długości boków oraz obliczenia pola trójkąta AFH przy użyciu wzoru na pole trójkąta i twierdzenia cosinusów. Kluczowe kroki: obliczenie sin α = 12/13, cos α = 5/13, oraz c² = d² + e² - 44. Wizualnie przedstawiono rysunek graniastosłupa z zaznaczonymi bokami i kątami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 30: Zadanie 14 (0–6 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia i tworzenia strategii. Obliczanie odległości punktu A od prostej y=x−1, d=3√2. Wyznaczanie współrzędnych punktów B i C w zależności od zmiennej. Równania z niewiadomymi wynikające z warunków zadania. Obliczanie długości odcinków AC i BC: |BC|=5√2, d=3√2. Wyznaczanie równania prostej CS z zależnościami współczynników. Punktacja: 1 pkt za obliczenie odległości, 2 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 31: Zadanie 1 (3 pkt): układ równań z czterema niewiadomymi, równanie odległości punktów, obliczenia z pierwiastkami. Zadanie 2 (4 pkt): równanie z jedną niewiadomą, wyznaczanie współrzędnych punktu, różne metody obliczeń, równania kwadratowe. Elementy wizualne: brak.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 32: Zadanie 4 (5 pkt): zapisanie dwóch równań z niewiadomą x_B, obliczenie odciętych punktów C_1 i C_2, B_1, B_2, B_3, B_4, oraz innych kombinacji punktów B i C. Zadanie 5 (6 pkt): obliczenie współrzędnych punktów B i C, zapisanie punktów w parach, np. C=(4,3) i B=(-1,-2). Uwagi dotyczą błędów merytorycznych i rachunkowych, oraz punktacji za różne podejścia do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 33: Zadanie 1: Obliczanie odległości punktu A od prostej x-y-1=0, d=3√2. Obliczenie długości boku |BC|=5√2. Rozwiązanie równania kwadratowego dla punktu C: xₙ=4 lub xₙ=-4, C=(4,3) lub C=(-4,-5). Dla punktu B: xₙ=-1 lub xₙ=9, B=(-1,-2) lub B=(9,8). Kluczowe kroki obejmują obliczenia długości odcinków i rozwiązywanie równań kwadratowych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 34: Zadanie obliczeniowe dotyczące współrzędnych punktu B dla C=(-4,-5). Rozwiązanie obejmuje równanie |BC|=5√2, obliczenia prowadzące do x_B=1 lub x_B=-9. Wynik: B=(1,0) lub B=(-9,-10). Dodatkowo, przedstawiono cztery pary punktów spełniające warunki zadania. Sposób 2: obliczenie pola trójkąta P_ABC=15 z wykorzystaniem wzoru na pole i równania |x_C-x_B|=5.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 35: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań, równanie kwadratowe 2xₓ² + 18 = 50, xₓ = 4 lub xₓ = -4. Obliczanie współrzędnych punktów B i C dla różnych wartości xₓ. Zadanie 2: podobne rozwiązanie układu równań, xₓ = 4 lub xₓ = -4, obliczanie współrzędnych B i C. Zadanie 3: analiza współrzędnych punktu B, środek S podstawy AB, równanie prostej y = x - 1, punkt C na prostej.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 36: Zadanie 12: Obliczenia dotyczące trójkąta ABC. Wyznaczenie współrzędnych punktu C, rozwiązanie układu równań. Podstawa AB ma długość 6, wysokość SC równa 3. Pole trójkąta obliczone jako 9. Równanie prostej SC, współczynnik kierunkowy. Wyznaczanie xB, analiza przypadków dla xB=0. Końcowy wynik: x=(xB+3)(xB-3)/(2xB)=(xB²-9)/(2xB).

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 37: Zadanie 1: Rozwiązanie równania z parametrem $x_B$, wyrażenia algebraiczne i obliczenia prowadzące do równania kwadratowego $(x_B^2 + 9 - 10x_B)(x_B^2 + 9 + 10x_B) = 0$. Rozwiązania $x_B = 1, 9, -1, -9$. Obliczenia współrzędnych punktów $B$ i $C$ dla różnych wartości $x_B$. Wyniki: $B = (1,0), C = (-4,-5)$ oraz inne kombinacje.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 38: Zadanie 4: Obliczanie odległości punktu A=(-3,2) od prostej x-y-1=0, d=3√2. Obliczanie wysokości trójkąta ABC, BC=5√2. Wyznaczanie punktu D jako przecięcia prostych BC i AD, D=(0,-1). Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ADC, |CD|=4√2. Wyznaczanie punktów C=(4,3) lub C=(-4,-5). Szkic trójkąta z zaznaczonymi punktami A, B, C, D na siatce współrzędnych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 39: Zadanie dotyczące trójkątów. Rozwiązanie obejmuje analizę położenia punktu D na boku BC, równanie |BD|=|CD|=5√2-4√2=√2, oraz obliczenia współrzędnych punktów B i C. Przypadek 1: B=(1,0), C=(-4,-5) lub B=(-1,-2), C=(4,3). Przypadek 2: B=(9,8), C=(4,3) lub B=(-9,-10), C=(-4,-5). Ostatecznie cztery trójkąty spełniające warunki zadania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 40: Zadanie 15 (0-7 pkt): Część a) (1 pkt): wyznaczenie długości a i wysokości h trójkąta w zależności od b, a=18-2b, h=√(18b-81). Pole jako funkcja b: P(b)=((18-2b)√(18b-81))/2. Część b) (1 pkt): dziedzina funkcji P: (9/2, 9). Część c) (1 pkt): wzór pochodnej f'(b)=216b²-3240b+11664. Miejsca zerowe: b=6 (2 pkt). Znak pochodnej: f'(b)>0 dla b∈(9/2,6), f'(b)<0 dla b∈(6,9), funkcja rosnąca na (9/2,6], malejąca na [6,9), max w b=6 (3 pkt).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 41: Zadanie dotyczące badania funkcji trójkąta. Część c: Uzasadnienie wartości największej funkcji, opis monotoniczności graficznie lub słownie. Zadanie a: Wyznaczenie długości podstawy i ramienia trójkąta, zastosowanie wzoru Herona, a=18-2b, p=(2b+a)/2. Obliczenie pola trójkąta jako funkcji zmiennej b, P(b)=(√(18-2b)²(18b-81))/2. Punktacja: 4 pkt za poprawne uzasadnienie, 1 pkt za zapis długości, 2 pkt za zapis pola.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 42: Zadanie 1 (1 pkt): wyznaczenie dziedziny funkcji P, wynik: $ \left(\frac{9}{2}, 9\right) $. Zadanie 2 (1 pkt): zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną, nierówność. Zadanie 3 (2 pkt): obliczenie b dla równości średnich, wynik: b=6. Zadanie 4 (3 pkt): uzasadnienie maksymalnej wartości funkcji P dla b=6. Zadanie 5 (4 pkt): długości podstawy i ramienia trójkąta, a=6, b=6. Sposób 1: obliczenia z twierdzeniem Pitagorasa, h=√(18b−81).$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 43: Zadanie 4: analiza funkcji P(b) zdefiniowanej jako P(b) = (18 - 2b)√(18b - 81)/2 dla b ∈ (9/2, 9). a) Określenie dziedziny funkcji. b) Wyznaczenie przedziału dla b z warunku trójkąta. c) Przekształcenie wzoru funkcji P, wyznaczenie pochodnej f'(b), równanie 216b² - 3240b + 11664 = 0, b = 6. Funkcja f rosnąca na (9/2, 6), malejąca na (6, 9), maksymalna wartość dla b = 6. Wartość największa dla trójkąta równobocznego.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 44: Sposób 2. a) Przyjęto oznaczenia: a - długość podstawy, b - długość ramienia, h - wysokość trójkąta. Obwód 18, a = 18 - 2b. Pole z wzoru Herona, p = (2b+a)/2. b) Dziedzina funkcji P: b ∈ (9/2, 9). c) Nierówności między średnimi: 3 ≥ (2b-9)^(1/3)·(9-b)^(2/3), 27 ≥ (2b-9)·(9-b)^2.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2022, CKE - strona 45: Zadanie 14: Rozwiązanie nierówności z wykorzystaniem funkcji kwadratowej. Obliczenia pokazują, że równanie zachodzi dla b=6. Obliczono wartość funkcji P(b) i wykazano, że największe pole ma trójkąt równoboczny o boku 6. Wynik końcowy: a=6, b=6. Brak elementów graficznych.

Matura rozszerzona matematyka maj 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi