Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2022 | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Liczba \(\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{11}{12}\)

D. \(3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 2\).

Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x = \frac{1}{2}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(\frac{9}{4}\)

C. \(3\)

D. \(\frac{54}{8}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Jeżeli \(\cos \beta = -\frac{1}{3}\) i \(\beta \in \big(\pi, \frac{3}{2} \pi\big)\), to wartość wyrażenia \(\sin \big(\beta - \frac{1}{3} \pi\big)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{-2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}\)

C. \(\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{5}{14}\)

B. \(\frac{9}{14}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{6}{7}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\) wzorem \(a_n = \frac{(7p - 1) n^3 + 5pn - 3}{(p + 1) n^3 + n^2 + p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \((a_n)\) jest równa \(\frac{4}{3}\).

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x > y\), spełniona jest nierówność

\(7x^3 + 4 x^2 y \ge y^3 + 2xy^2 - x^3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

\(|x - 3| = 2x + 11\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o \(3\) mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\).

Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP|\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa \((−30)\).

Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x) \ge 0\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1 = 675\) i \(a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}\). Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3 = b_4\). Oblicz \(b_1\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż równanie \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^2 - (m + 1)x + m = 0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki:

\(x_1 \ne 0\), \(x_2 \ne 0\) oraz \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + 2 = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe \(26.4\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Punkt \(A = (-3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x - 1\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b) = \frac{(18 - 2b) \cdot \sqrt{18b - 81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.