Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2025

Zadanie 1

Suma wszystkich pierwiastków wielomianu $W(x) = x^3 + 5x^2 − 7x − 11$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-5)$

B. $(-3)$

C. $3$

D. $5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 9}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $(2, 3)$

B. $(-3, -2)$

C. $(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

D. $(-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wartość wyrażenia $\cos\frac{7\pi}{6} \cdot \tg\frac{4\pi}{3}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\big(-\frac{3}{2}\big)$

B. $\big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Granica $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{2x^2 + 2x - 12}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{6}{5}$

D. $\frac{12}{5}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sąsiednie boki równoległoboku mają długość $6$ i $9$. Pole tego równoległoboku jest równe $18$. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.

Wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność

$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

Wykaż, że miara kąta $DAC$ jest równa $45\degree$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność

$|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| < -2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1 + a_3 = 20 \ $ i $\ a_1^2 + a_3^2 = 328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_1$ oraz $\mathcal{O}_2$ o równaniach:

$\ \ \ \ \bullet\ $ $\mathcal{O}_1: \ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$ $\ \ \ \ \bullet\ $ $\mathcal{O}_2: \ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 45$.

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Rozwiąż równanie

$3 \cos^2x + \sqrt{3} \sin(2x) - 3\sin^2x = 0$

w przedziale $\langle -\pi, \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\big(-\frac{9}{25}\big)$.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f(x) = (2 - m)x^2 - 2(2m + 1)x + m + 8$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

$(x_1 - x_2)^2 \le 180$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.

a) Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$

b) Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$

dla $h \in (5, +\infty)$.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań, egzamin maturalny z matematyki na poziomie rozszerzonym. Formy arkusza: EMAP-R0-100, EMAP-R0-200, EMAP-R0-300, EMAP-R0-400, EMAP-R0-700, EMAP-R0-K00, EMAP-R0-Q00, EMAU-R0-100. Termin egzaminu: 12 maja 2025 r., data publikacji dokumentu: 27 czerwca 2025 r. Brak konkretnych zadań i rozwiązań na tej stronie.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, odpowiedź A. Zadanie 2 (1 pkt): Rozwiązanie prostych nierówności wymiernych, odpowiedź D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 3: Zadanie 3 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Rozwiązanie: A. Zadanie 4 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: oblicza granice funkcji. Rozwiązanie: C.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 4: Zadanie 5 (0–2 pkt): Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: Zdajacy znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. Rozwiązanie: 1, 4, 7. Zasady oceniania: 2 pkt za odpowiedź całkowicie poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub niepoprawną. Uwagi ogólne dotyczące akceptacji rozwiązań merytorycznie poprawnych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 5: Zadanie 6 (0-3 pkt): Rozumowanie i argumentacja, użycie wzorów skróconego mnożenia. Przekształcenie nierówności (a + 2b)³ > 8a²b + 16ab² do postaci (a - 2b)²(a + 2b) > 0. Kluczowe kroki: zastosowanie wzoru na sześcian sumy, przekształcenie nierówności, obliczenie pochodnej funkcji f(a) = 3a² - 2ba² - 4b²a + 8b³. Przykładowe pełne rozwiązania z użyciem wzoru na sześcian sumy.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 6: Zadanie 7: dowód nierówności dla a > 0 i b > 0, z założeniem b ≠ ½a. Sposób II: przekształcenie nierówności (a + 2b)³ > 8a²b + 16ab², użycie wzorów na kwadrat sumy i różnicy, końcowy wynik (a - 2b)²(a + 2b) > 0. Sposób III: funkcja f(a) = (a + 2b)³ - 8a²b - 16ab², obliczenie pochodnej f'(a), równania 3a² + 12ab + 12b² - 16ba - 16b² = 0, analiza miejsc zerowych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 7: Zadanie 4: analiza funkcji f(a) z warunkami a = -2/3b lub a = 2b, a > 0. Opisano monotoniczność funkcji f w przedziałach (0, 2b] i [2b, ∞). Najmniejsza wartość funkcji f(2b) = 0. Wykazano nierówność (a + 2b)³ - 8a²b - 16ab² > 0 dla dodatnich a i b.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 8: Zadanie 7 (0-3 pkt): rozumowanie i argumentacja z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. Wymagania: poprawne przekształcenia, zapisanie równań z jedną niewiadomą, obliczenie współczynnika kierunkowego prostej. Przykłady: $\sin 60^\circ \cdot \cos \alpha - \cos 60^\circ \cdot \sin \alpha = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, obliczenia długości odcinków w zależności od zmiennej. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za zapisanie równań, 1 pkt za związki.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 9: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Zadanie: wyznaczenie długości boków trójkąta CED w zależności od zmiennej, np. |CD|=x, |CE|=1/x, |DE|=√3/2x. Zadanie: obliczenie |BD|/|DF|=2/√3 oraz |AB|/|AF|=2/√3. Przykładowe pełne rozwiązania: rysunek trójkąta ABC z oznaczeniami a, b, α. Obliczenia z wykorzystaniem wzoru na pole trójkąta, wynik: P_ABD/P_ADC=√3-1/2.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 10: Zadanie 4: wyznaczenie kąta α w trójkącie z użyciem wzoru na sinus różnicy kątów, sin(60°-α)/sinα=(√3-1)/2, obliczenia prowadzą do tgα=1, α=45°, co wykazuje miarę kąta DAC. Sposób II: porównanie pól trójkątów ABD i ACD z wspólną wysokością, proporcja |BD|/|CD|=(√3-1)/2, oznaczenie x=|CD|, szkic trójkąta z zaznaczoną wysokością i punktami E, D, C.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 11: Zadanie 4: dowód geometryczny z wykorzystaniem twierdzenia o dwusiecznej. Rozwiązanie obejmuje obliczenia długości odcinków |AE|, |DE| oraz |BD|, zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta BAF, wykazanie, że kąt DAC ma miarę 45°. Wykorzystano rysunek trójkąta ABC z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, F oraz długościami odcinków.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 12: Zadanie 4: rozwiązanie z twierdzenia cosinusów i sinusów dla trójkąta ADC. Obliczenia: b²=|AC|²+|CD|²-2·|AC|·|CD|·cos60°, b=√6m. Stosowanie twierdzenia sinusów: b/sin60°=2m/sinα, sinα=√2/2. Wykazano, że |∠DAC|=45°. Elementy wizualne: szkic trójkąta z oznaczeniami długości boków i kąta α.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 13: Zadanie 7: zastosowanie twierdzenia Stewarta i twierdzenia cosinusów w trójkącie. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie długości boków i kąta α w trójkącie ADC. Kluczowe kroki: wyprowadzenie wzorów dla a, b, x, y, zastosowanie twierdzenia Stewarta, obliczenia z twierdzenia cosinusów. Wynik: |∠DAC| = 45°. Elementy wizualne: rysunek trójkąta ABC z oznaczeniami boków i kąta.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 14: Zadanie 6: wyznaczenie kąta α w trójkącie, cos α = √2/2, α = 45°, dowód analityczny. Trójkąt ABC w układzie współrzędnych, A=(0,0), B=(a,0), C=(a/2, a√3/2). Trójkąty ABD i ACD z wspólną wysokością, proporcje odcinków BD i CD. Rysunek: trójkąt ABC z punktami K, L, M, N, rzutami prostokątnymi na osie. Twierdzenie Talesa, obliczenia proporcji odcinków.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 15: Zadanie 7: obliczenia dotyczące długości odcinków i współczynnika kierunkowego prostej AD, zastosowanie wzoru na tangens różnicy kątów, końcowy wynik α = 45°. Wykazano, że tg α = 1. Elementy wizualne: brak.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 16: Zadanie 8 (0–3 pkt): Modelowanie matematyczne, obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego. Wyznaczenie mocy zdarzeń B i A ∩ B, |B| = (⁴C₂) · 5 · 5 = 150, |A ∩ B| = (⁴C₂) · 4 + (⁴C₂). Obliczenie P(A|B) = 54/150 = 9/25. Przykładowe pełne rozwiązanie z wyjaśnieniem kroków obliczeń, w tym wzory na prawdopodobieństwo warunkowe.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 17: Zadanie 9 (0-4 pkt): rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. Wymagania szczegółowe: rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną. Zasady oceniania: 4 pkt za poprawną metodę i wynik $ x \in (-\infty, -10) \cup \left(-\frac{2}{3}, +\infty\right) $. Opisane metody: zapis przedziałów, przypadki nierówności, koniunkcja i alternatywa nierówności, odczytanie z wykresów funkcji.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 18: Zadanie 1 (1 pkt): zapisanie trzech przedziałów: $(-∞, -3) \cup [-3, 2) \cup [2, +∞)$ oraz zapisanie nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej. Zadanie 2 (1 pkt): zapisanie jednego z przedziałów: $(-∞, -3), [-3, 2), [2, +∞)$ oraz rozwiązanie nierówności w tym przedziale. Zadanie 3 (0 pkt): rozwiązanie z niepoprawną metodą. Uwagi dotyczące błędów w użyciu wartości bezwzględnej i przedziałów.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 19: Przykładowe pełne rozwiązania nierówności. Sposób I: Wyznaczanie przedziałów dla nierówności w trzech przypadkach. Przypadek 1: x ∈ (−∞, −3), wynik x ∈ (−∞, −10). Przypadek 2: x ∈ [−3, 2), wynik x ∈ (−2/3, 2). Przypadek 3: x ∈ [2, +∞), wynik x ∈ [2, +∞). Ostateczne rozwiązanie: zbiór (−∞, −10) ∪ (−2/3, +∞). Sposób II: Koniunkcja nierówności, przekształcenia i rozwiązanie nierówności z równoważności.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 20: Zadanie 7: rozwiązanie nierówności |x-2|-2·|x+3|<-2. Kluczowe kroki: przekształcenie nierówności do postaci x>-2/3 lub x<-10. Końcowy wynik: rozwiązaniami są wszystkie liczby ze zbioru (-∞, -10) ∪ (-2/3, +∞).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 21: Zadanie 10 (0–4 pkt): Modelowanie matematyczne, rozpoznanie szeregów geometrycznych zbieżnych i obliczenie sumy. 4 pkt: poprawna metoda i wynik 27/2 lub 27. 3 pkt: obliczenie par (a₁, q), (a₃, q), (a₂, q) z poprawnym wynikiem S=27/2 lub S=27. 2 pkt: obliczenie a₁=2, a₃=18, q²=9, q²=1/9. Alternatywne równania 6/q - 6q=20 lub 6/q + 6q=20.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 22: Zadanie dotyczące rozwiązania równania 36/q² + 36q² = 328 dla sposobu III. Rozpisano równanie z jedną niewiadomą, np. a₁² + (20 - a₁)² = 328. Uwagi dotyczące punktacji: 4 pkt za odrzucenie wartości q = 3 lub q = -3, 3 pkt za zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego, 2 pkt za błędy rachunkowe z warunkiem |q| < 1. Szczegółowe wytyczne punktacji w zależności od poprawności obliczeń i spełnienia warunków.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 23: Zadanie (brak numeru): Rozwiązanie ciągu geometrycznego metodą dwóch sposobów. Sposób I: Obliczenia dla $a_1 = 2$ i $a_1 = 18$, iloraz $q = -\frac{1}{3}$ lub $q = \frac{1}{3}$, suma $S = \frac{27}{2}$ lub $S = 27$. Sposób II: Wyznaczenie $a_1$ z $a_1 + a_3 = 20$, równanie kwadratowe dla $q^2$, $\Delta = 6400$, rozwiązania $q^2 = \frac{1}{9}$ lub $q^2 = 9$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 24: Zadanie 7: analiza zbieżności ciągu geometrycznego dla różnych wartości ilorazu q. Rozwiązanie dla q=-1/3 i q=1/3, obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu. Kluczowe kroki: obliczenie a₁=20/(q²+1)=18, S=27/2 dla q=-1/3, S=27 dla q=1/3. Sposób III: wyznaczenie a₂ z równań a₁+a₃=20 i a₁²+a₃²=328, wyniki a₂=-6 lub a₂=6. Przypadek a₂=-6: obliczenie q=-1/3 lub q=-3.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 25: Zadanie dotyczące ciągu geometrycznego. Rozwiązanie obejmuje analizę dwóch przypadków dla q: q=-3 i q=1/3. Dla q=-3 ciąg jest rozbieżny. Dla q=1/3 ciąg jest zbieżny, a suma S=27. Obliczenia obejmują równanie 6q²-20q+6=0 z rozwiązaniami q=1/3 lub q=3. Dla q=3 ciąg jest rozbieżny. Obliczenia pokazują wzory na sumę ciągu geometrycznego oraz warunki zbieżności.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 26: Zadanie 11 (0-5 pkt): Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie obejmuje równanie okręgu i obliczanie współrzędnych punktów A=(16/5, -13/5), B=(-1, -2) oraz M=(2/5, -11/5). Kluczowe kroki to zapisanie równań z dwiema niewiadomymi i obliczanie współrzędnych punktu M. Wymienione są różne metody, w tym równanie prostej AB i równania okręgów. Punktacja zależna od poprawności metody i wyniku.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 27: Zadanie 1 (1 pkt): wyznaczenie równania prostej AB, np. 2x + 14y = -30. Zadanie 2 (1 pkt): zapisanie równości xₘ = ⅓xₐ + ⅔x_b oraz yₘ = ⅓yₐ + ⅔y_b. Przykładowe pełne rozwiązanie: obliczanie współrzędnych punktów A i B, przecięcie okręgów O₁ i O₂, równania (x-1)²+(y+3)²=5 i (x-2)²+(y-4)²=45, uproszczenie do x=-7y-15.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 28: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań z równaniem kwadratowym, przekształcenie do postaci kanonicznej, obliczenia prowadzą do y = -13/5 lub y = -2. Obliczenie współrzędnych punktu A jako (16/5, -13/5) oraz B = (-1, -2). Wyznaczenie punktu M z równania wektorowego AM = -2 * BM, obliczenie współrzędnych M = (2/5, -11/5).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 29: Zadanie 12 (0–5 pkt): Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równań trygonometrycznych z wykorzystaniem wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Kluczowe kroki: zapisanie założeń, rozwiązanie równań alternatywnych tg x = √3 lub tg x = -√3/3 w przedziale [-π, π], uzasadnienie liczby postaci π/2 + πk, gdzie k ∈ Z. Wynik: (-2π/3), (-π/6), π/3, 5π/6.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 30: Zadanie 1 (3 pkt): założenie cos x ≠ 0, rozwiązanie równań tg x = √3 lub tg x = -√3/3, x = π/3 + πk oraz x = -π/6 + πk, k ∈ Z. Przekształcenie równań w przedziale [-π, π], np. (-2π/3, π/3) dla tg x = √3, (-π/6, 5π/6) dla tg x = -√3/3. Zadanie 2 (2 pkt): przekształcenie równań tg x = √3 lub tg x = -√3/3, uzasadnienie liczby π/2 + πk, k ∈ Z. Zadanie 3 (1 pkt): zastosowanie wzorów podwójnego kąta, 3 cos(2x) + √3 sin(2x) = 0.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 31: Zasady oceniania dla sposobów IV-V. 5 pkt za poprawną metodę i wynik: $(- \frac{2\pi}{3}), (- \frac{\pi}{6}), \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}$. 4 pkt za rozwiązanie równań sinus i cosinus w zbiorze rzeczywistym. Przekształcenia równań do postaci alternatywnych. Przykłady rozwiązań w przedziale $[-π, π]$. 3 pkt za przekształcenie równań do postaci sinus i cosinus.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 32: Zadanie 1: przekształcenie równań trygonometrycznych do postaci alternatywnej, rozwiązania w zbiorze R, użycie wzorów na sumę i różnicę kątów, zastosowanie wzoru na cosinus i sinus podwojonego kąta, obliczenie delty Δ=4(√3sinx)², różne sposoby przekształceń, punktacja: 2 pkt za poprawne przekształcenie, 1 pkt za zastosowanie wzoru, 0 pkt za niepoprawną metodę. Uwagi dotyczące błędów w zastosowaniu wzorów trygonometrycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 33: Przykładowe pełne rozwiązania. Zadanie: Rozwiązanie równania 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0 metodą sinus podwójnego kąta i tangens. Przypadek 1: Dzielimy przez cos²x, otrzymujemy równanie kwadratowe w tgx, Δ=48, tgx=√3 lub tgx=-√3/3. Rozwiązania w przedziale [-π,π]: π/3, -2π/3, -π/6, 5π/6. Elementy wizualne: brak. Punktacja: brak informacji.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 34: Zadanie dotyczące rozwiązania równania trygonometrycznego 3cos²x + √3sinxcosx - 3sin²x = 0. Rozwiązanie metodą cosinusa podwójnego kąta i tangensa. Dwa przypadki: 1) 2x ≠ π/2 + πk, gdzie k ∈ Z, prowadzi do tg(2x) = -√3, x = -π/6 + πk/2, cztery rozwiązania w przedziale [-π, π]; 2) 2x = π/2 + πk, gdzie k ∈ Z, brak rozwiązań. Ostateczne rozwiązania: -2π/3, -π/6, π/3, 5π/6.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 35: Zadanie 4: rozwiązanie równania trygonometrycznego 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0. Metoda: przekształcenie równania, zastosowanie wzorów na sinus podwójnego kąta i wzorów skróconego mnożenia. Kluczowe kroki: przekształcenie do postaci (√3cosx + sinx)² - 4sin²x = 0, rozwiązanie alternatywne tgx = √3 lub tgx = -√3/3. Końcowe wyniki: liczby w przedziale [-π, π] to (-2π/3), (-π/6), π/3 oraz 5π/6.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 36: Zadanie: rozwiązanie równania trygonometrycznego $3\cos^2x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2x = 0$ w przedziale $[-π, π]$. Użyto wzoru na cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów. Kluczowe kroki: przekształcenie równania, podział przez $2\sqrt{3}$, uzyskanie $sin(\frac{π}{3} + 2x) = 0$. Rozwiązania: $-\frac{2π}{3}, -\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{5π}{6}$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 37: Zadanie: przekształcanie równania trygonometrycznego $3\cos^2x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2x = 0$ przy użyciu wzorów na sinus podwójnego kąta i wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie obejmuje rozkład na czynniki i zastosowanie tożsamości trygonometrycznych. Kluczowe kroki: przekształcenie do postaci $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0$ i $\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0$, rozwiązanie w zbiorze $\mathbb{R}$ i przedziale $[-π, π]$. Wyniki: $-\frac{2π}{3}$, $\frac{π}{3}$, $-\frac{π}{6}$, $\frac{5π}{6}$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 38: Zadanie 4: rozwiązanie równania trygonometrycznego $3\cos^2x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2x = 0$ w przedziale $[-π, π]$. Kluczowe kroki obliczeń: przekształcenie równania, zastosowanie tożsamości trygonometrycznych. Końcowy wynik: $-\frac{2π}{3}, -\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{5π}{6}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 39: Zadanie 13 (0–5 pkt): Wymaganie IV - użycie i tworzenie strategii. Obliczenie długości krawędzi SC i BE: |SC|=34, |BE|=15. Obliczenie BS: |BS|=5√34, trójkąt SBC prostokątny. Obliczenie AS i SB: |AS|=4√34, |SB|=5√34. Obliczenie CE: |CE|=9, równania z podobieństwa trójkątów. Punktacja: 5 pkt za poprawną metodę i wynik 918, 4 pkt za obliczenia krawędzi, 3 pkt za obliczenie odcinka CE.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 40: Zadanie 1: obliczenie długości odcinka BE (lub DE): x = 15, alternatywnie długość odcinka EO: y = 6√2. Zadanie 2: obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta β/2, np. tg β/2 = √34/4. Zadanie 3: zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta BED. Zadanie 4: zapisanie równości wynikającej z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OEC. Punktacja: 2 pkt za pełne rozwiązanie, 1 pkt za spełnienie jednego z warunków.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 41: Zadanie dotyczące ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Rozwiązanie obejmuje interpretację kąta między ścianami bocznymi BCS i CDS oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDE. Wykorzystano twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości odcinka CE. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami punktów i odcinków, w tym BE=x, oraz kątem β. Obliczenia pokazują, że x=15 i |CE|=9.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 42: Zadanie 1: Trójkąt BCS jest prostokątny, zastosowanie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych. Trójkąty BCS i ECB są podobne, obliczenia proporcji boków. Stosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta ACS, obliczenie |AS|=4√34. Obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa Pb=918. Sposób 1a: Oznaczenie x=|BE|, rysunek przedstawia trójkąty z oznaczeniami długości boków i kątów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 43: Zadanie 1: Stosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta BED, obliczenia prowadzą do x=15. Zadanie 2: Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta BEC, obliczono |CE|=9. Zadanie 3: Podobieństwo trójkątów BCS i BCE, obliczono |BS|=5√34. Zadanie 4: Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABS, obliczono |AS|=4√34. Zadanie 5: Obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa Pb=918.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 44: Zadanie 7: Rozwiązanie zadania z geometrii przestrzennej dotyczącego ostrosłupa. Sposób II: Obliczenia sinusów i cosinusów kąta ostrego BEO, cos β = -9/25, sin(β/2) = √17/5, cos(β/2) = 2√2/5. Obliczenie tangensa kąta BEO, tg(β/2) = √34/4. Obliczenie długości odcinka EO, y = 6√2. Rysunek przedstawia ostrosłup z zaznaczonymi punktami E, O oraz odcinkiem EO.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 45: Zadanie 1: Obliczenia z wykorzystaniem jedynki trygonometrycznej i twierdzenia Pitagorasa. Rozwiązanie równania $\sin^2|∠OCE| + \cos^2|∠SCA| = 1$ prowadzi do $|SC| = 34$. Obliczanie długości $|AS|$ i $|BS|$ za pomocą twierdzenia Pitagorasa, $|AS| = 4\sqrt{34}$, $|BS| = 5\sqrt{34}$. Obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa $P_b = 918$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 46: Zadanie 14 (0–6 pkt): Modelowanie matematyczne. Wymagania: stosowanie wzorów Viete’a, rozwiązywanie równań i nierówności liniowych i kwadratowych z parametrem. Rozwiązanie składa się z czterech etapów. Pierwszy etap: rozwiązanie nierówności Δ > 0, m ∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞), 1 pkt. Drugi etap: wyznaczenie m dla miejsc zerowych funkcji f tego samego znaku, m ∈ (-8, 2), 1 pkt. Trzeci etap: m spełniające (x₁-x₂)² ≤ 180, m ∈ (-∞, 3/2] ∪ [13/4, +∞), 3 pkt. Punktacja szczegółowa za poprawne przekształcenia i zastosowanie wzorów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 47: Zadanie dotyczące wyznaczania wartości parametru m spełniającego określone warunki. Rozwiązanie obejmuje analizę przedziałów liczbowych oraz zbiorów rozłącznych. Zawiera szczegółowe wyjaśnienie kryteriów przyznawania punktów za poprawność wyznaczenia wartości m oraz uwagi dotyczące błędów w etapach rozwiązania. Punktacja: 1 punkt za poprawne wyznaczenie wartości m, 0 punktów za błędy rachunkowe lub niepoprawną metodę.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 48: Zadanie 1: Rozwiązanie nierówności kwadratowej dla funkcji f, gdzie Δ > 0. Obliczenia: 16m² + 16m + 4 + 4m² + 24m - 64 > 0, m ∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞). Zadanie 2: Miejsca zerowe funkcji f, zastosowanie wzorów Viete’a, m ∈ (-8, 2). Zadanie 3: Przekształcenie nierówności (x₁ - x₂)² ≤ 180, obliczenia: -160m² + 760m - 780 ≤ 0, Δm = 196, m = 3/2, m = 13/4.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 49: Zadanie 7: Wyznaczanie wartości parametru m spełniającego warunki: m ≠ 2, m ∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞), m ∈ (-8, 2), m ∈ (-∞, 3/2] ∪ [13/4, +∞). Ostateczny wynik: m ∈ (-8, -3) ∪ (1, 3/2]. Funkcja f ma dwa miejsca zerowe x₁ i x₂ tego samego znaku, spełniające (x₁ - x₂)² ≤ 180, gdy m ∈ (-8, -3) ∪ (1, 3/2].

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 50: Zadanie 15 (0-6 pkt): Część a) poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie, związek między promieniem podstawy stożka a wysokością, wzór $ \frac{1}{2}rh = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{h^2 + r^2} $. Część b) uzasadnienie najmniejszej wartości funkcji $ V $ dla $ h = 5\sqrt{3} $, obliczenie objętości $ V(5\sqrt{3}) = \frac{125\sqrt{3}\pi}{2} $, wyznaczenie pochodnej $ V'(h) $. Uwagi dotyczące poprawności metody i punktacji.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 51: Zasady oceniania rozwiązań zadań, opis błędów przy wyznaczaniu pochodnej ilorazu funkcji, wzory na pochodną, warunki uzyskania punktów za poprawne uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji. Przykładowe pełne rozwiązanie zadania dotyczącego stożków, oznaczenia wierzchołków trójkąta, środka i spodu wysokości, promienia podstawy i wysokości stożka, odniesienie do rysunku.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 52: Zadanie 1: Obliczanie pola trójkąta $DBC$ dwoma sposobami, zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, wyprowadzenie wzoru na $r^2 = \frac{25h^2}{h^2 - 25}$. Objętość stożka $V = \frac{\pi}{3} \frac{25h^3}{h^2 - 25}$. Zadanie 2: Wyznaczanie minimum funkcji $V(h)$, obliczanie pochodnej $V'(h)$, równanie $25h^2(h^2 - 75) = 0$. Szkic trójkąta z wysokością $h$ i promieniem $r$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 53: Zadanie 12: analiza funkcji V(h) z pochodną V'(h) < 0 dla h ∈ (5, 5√3) oraz V'(h) > 0 dla h ∈ (5√3, +∞). Funkcja V osiąga wartość najmniejszą dla h = 5√3, V(5√3) = 125√3π/2. Obliczenia obejmują badanie znaku pochodnej i wyznaczenie przedziałów monotoniczności. Uwagi dotyczą różniczkowalności i ciągłości funkcji oraz granic przy h → +∞.

Matura rozszerzona matematyka maj 2025 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi