Matura rozszerzona matematyka maj 2025 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2025 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$N(t) = N_0 \cdot k^t$ dla $t \ge 0$

gdzie: $N_0\ $ – liczebność populacji w chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji, $k\ $ – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, $t\ $ – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10\ 000$, a po dwóch godzinach była równa $15\ 625$.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2}a$ prawdziwa jest nierówność

$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność

$|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| < -2$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1 + a_3 = 20 \ $ i $\ a_1^2 + a_3^2 = 328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac{1}{2}$.

Wykaż, że $\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{1}{5}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_1$ oraz $\mathcal{O}_2$ o równaniach:

$\ \ \ \ \bullet\ $ $\mathcal{O}_1: \ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$ $\ \ \ \ \bullet\ $ $\mathcal{O}_2: \ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 45$.

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie

$3 \cos^2x + \sqrt{3} \sin(2x) - 3\sin^2x = 0$

w przedziale $[-\pi, \pi]$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\big(-\frac{9}{25}\big)$.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f(x) = (2 - m)x^2 - 2(2m + 1)x + m + 8$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

$(x_1 - x_2)^2 \le 180$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.

Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$

dla $h \in (5, +\infty)$.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 1: Dokument zawiera zasady oceniania rozwiązań zadań egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym. Wymienione są formy arkusza: MMAP-R0-100, MMAP-R0-200, MMAP-R0-300, MMAP-R0-400, MMAP-R0-700, MMAP-R0-K00, MMAP-R0-Q00, MMAU-R0-100. Termin egzaminu: 12 maja 2025 r., data publikacji dokumentu: 27 czerwca 2025 r. Brak szczegółowych rozwiązań zadań na tej stronie.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–2 pkt): wykorzystanie funkcji wykładniczej do opisu wzrostu populacji. Przykładowe rozwiązanie: obliczenie wartości początkowej $N_0 = 10,000$, zastosowanie wzoru $N(t+1)/N(t) = k = 1,25$ dla $t \geq 0$, co oznacza wzrost o 25% na godzinę. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za zapisanie równania z $k$, 0 pkt za niepoprawną metodę.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0-3 pkt): analiza nierówności z wykorzystaniem wzoru na sześcian sumy, przekształcenie nierówności (a + 2b)³ > 8a²b + 16ab², a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³ - 8a²b - 16ab² > 0, a³ - 2a²b - 4ab² + 8b³ > 0, a²(a - 2b) - 4b²(a - 2b) > 0, (a - 2b)(a² - 4b²) > 0. Punktacja zależna od poprawności przekształceń i uzasadnienia.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 4: Zadanie 4: dowód nierówności $(a - 2b)^2(a + 2b) > 0$ dla $a > 0$ i $b \neq \frac{1}{2}a$. Sposób I: analiza algebraiczna, iloczyn liczb dodatnich. Sposób II: przekształcenie nierówności, wzory na kwadrat sumy i różnicy. Sposób III: funkcja $f(a) = (a + 2b)^3 - 8a^2b - 16ab^2$, obliczenie pochodnej $f'(a)$ i miejsc zerowych. Brak punktacji.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 5: Zadanie 3 (0–3 pkt): obliczanie kątów trójkąta i długości boków. Poprawna metoda i wynik: 45°. Równanie z jedną niewiadomą, np. $\sin 60^\circ \cdot \cos \alpha - \cos 60^\circ \cdot \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, gdzie $\alpha = |\angle CAD|$. Obliczanie współczynnika kierunkowego prostej $AD: 2-\sqrt{3}$. Punktacja zależna od poprawności metody i wyniku.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 6: Zadanie 1 (2 pkt): wyznaczenie długości odcinków BD, CD, CE, DE, AE w zależności od jednej zmiennej, np. |CD|=x, |BD|=(√3-1)/2 x, |CE|=1/2 x. Zadanie 2 (1 pkt): zapisanie związku |BD|/|CD|=√3-1/2. Zadanie 3 (3 pkt): zastosowanie metody i wynik 45°. Zadanie 4 (2 pkt): obliczenie |BD|/|DF| oraz |AB|/|AF|=2/√3. Zadanie 5 (1 pkt): wyznaczenie długości BD i CD, np. |CD|=2m, |BD|=(√3-1)m. Rysunek: trójkąt ABC z oznaczeniami a, b, α.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 7: Zadanie 4: Obliczenie stosunku pól trójkątów $P_{ABD}$ i $P_{ADC}$ przy użyciu wzoru na pole trójkąta i sinus różnicy kątów, końcowy wynik $\alpha = 45^\circ$. Zadanie 5: Wykorzystanie wspólnej wysokości trójkątów $ABD$ i $ACD$ do obliczenia stosunku długości $|BD|$ do $|CD|$, z rysunkiem trójkąta z zaznaczonymi odcinkami i kątem.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 8: Zadanie 7: Rozwiązanie z wykorzystaniem własności trójkąta 30°, 60°, 90° oraz twierdzenia o dwusiecznej. Obliczenia długości odcinków |DE|, |EC|, |AE|, |CD|, |BD| z wyrażeniami algebraicznymi. Wykorzystanie proporcji pól trójkątów ABD i ADC. Szkic trójkąta ABC z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, F oraz długościami odcinków. Obliczenia kątów ∠DAF, ∠BAF, ∠DAC z wynikami 15°, 30°, 45°.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 9: Zadanie 4: Rozwiązanie z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów i sinusów. Trójkąt ABC z oznaczeniami: |BD|=(√3-1)m, |CD|=2m, |AB|=|BC|=|CA|=(√3+1)m. Stosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC: b²=|AC|²+|CD|²-2·|AC|·|CD|·cos60°, b=√6m. Twierdzenie sinusów: b/sin60°=2m/sinα, sinα=√2/2, ∠DAC=45°. Szkic trójkąta z oznaczeniami kątów i boków.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 10: Zadanie 4: Rozwiązanie z twierdzeniem Stewarta, oznaczenia: a, b, x, y, α. Obliczenia: x=(√3-1)m, y=2m, a=(√3+1)m, b=√6m. Zastosowanie twierdzenia cosinusów: y²=b²+a²-2ab·cosα, końcowy wynik: |∠DAC|=45°. Rysunek: trójkąt ABC z zaznaczonymi odcinkami i kątem α.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 11: Zadanie 6: obliczenie kąta α w trójkącie za pomocą wzoru na cosinus, wynik α=45°. Sposób VI (analitycznie): umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych, obliczenia proporcji boków trójkątów ABD i ACD, zastosowanie twierdzenia Talesa. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z zaznaczonymi punktami C, D, M, N, K, L oraz kątami α, β.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 12: Zadanie 4 (0-3 pkt): obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego, zastosowanie wzoru na tangens różnicy kątów, końcowy wynik α=45°. Wymagania: interpretowanie reprezentacji, tworzenie modeli matematycznych. Zasady oceniania: 3 pkt za poprawną metodę i wynik 9/25 (lub 54/150), 2 pkt za wyznaczenie mocy zdarzeń B oraz A ∩ B, 1 pkt za wyznaczenie mocy zdarzenia B.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 13: Zadanie 5 (0–4 pkt): Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną. Zasady oceniania: 4 pkt za poprawną metodę i wynik $ x \in (-\infty, -10) \cup \left(-\frac{2}{3}, +\infty\right) $. 3 pkt za zapisanie przedziałów: $(-∞, -3)$, $[-3, 2)$, $[2, +∞)$ i rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 14: Zadanie 1: zapisanie przypadków nierówności x+3<0 i x-2≥0, analiza trzech przypadków, zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji, odczytanie wykresów funkcji f(x)=|x-2| i g(x)=2·|x+3|-2, wyznaczenie punktów przecięcia x=-2/3, x=-10, zapisanie przedziałów (-∞,-3), [-3,2), [2,+∞], 2 pkt za zapisanie przedziałów, 1 pkt za zapisanie jednego przedziału i rozwiązanie nierówności w tym przedziale.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 15: Zadanie z nierównościami. Rozwiązanie obejmuje zapisanie przypadków nierówności oraz wyznaczenie przedziałów liczbowych. Przypadek 1: $x \in (-\infty, -3)$, nierówność $-x + 2 + 2(x + 3) < -2$, wynik $x < -10$. Przypadek 2: $x \in [-3, 2)$, wynik $x \in \left(-\frac{2}{3}, 2\right)$. Przypadek 3: $x \in [2, +\infty)$, wynik $x \in [2, +\infty)$. Zawiera uwagi dotyczące oceniania rozwiązań.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 16: Zadanie 6 (0–4 pkt): Rozwiązanie nierówności |x - 2| - 2 · |x + 3| < -2. Przekształcenie nierówności z wykorzystaniem równoważności wartości bezwzględnej. Kluczowe kroki: x - 2 < -2 + 2 · |x + 3|, x - 2 > -(-2 + 2 · |x + 3|), rozwiązanie każdej z nierówności, x > -6 lub x < -2, x > -2/3 lub x < -10. Wynik: x ∈ (-∞, -10) ∪ (-2/3, +∞). Sposób II: koniunkcja nierówności. Wynik końcowy: (-∞, -10) ∪ (-2/3, +∞).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 17: Zadanie 1 (3 pkt): obliczenie par (a₁, q) dla szeregu geometrycznego, np. (18, 1/3), (2, 3), suma S=27/2. Zadanie 2 (2 pkt): obliczenie a₁=2, a₁=18, q²=9, q²=1/9, równania alternatywne -6/q-6q=20. Zadanie 3 (1 pkt): zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. a₁²+(20-a₁)²+a₃²=328. Zadanie 4 (0 pkt): niepoprawna metoda lub brak rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 18: Zadanie 1: analiza warunków dla wartości q = 3 oraz q = -3, obliczenia sumy szeregu geometrycznego, różne przypadki punktacji w zależności od poprawności obliczeń. Przykładowe pełne rozwiązania: Sposób I, równania a₁ + a₃ = 20 i a₁² + a₃² = 328, obliczenia prowadzą do równań kwadratowych, wyniki a₁ = 2 lub a₁ = 18.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 19: Zadanie 1: analiza ciągu geometrycznego z ilorazem q, wyznaczenie q²=9 lub q²=1/9, obliczenia dla q=-3, q=3, q=1/3, suma S ciągu geometrycznego, S=27/2 dla q=-1/3, S=27 dla q=1/3. Sposób II: równania z a₁+a₃=20, a₁²+(a₁q²)²=328, obliczenia z Δ=6400, q²=1/9 lub q²=9, q=-1/3, q=1/3, q=-3, q=3, suma S=27 dla q=1/3.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 20: Zadanie dotyczące ciągu geometrycznego. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie ilorazu ciągu $ q = \frac{1}{3} $ oraz obliczenie sumy $ S = \frac{a_1}{1-q} = 27 $. Metoda obejmuje równania $ a_1 + a_3 = 20 $ i $ a_1^2 + a_3^2 = 328 $, prowadzące do $ a_2 = 6 $ lub $ a_2 = -6 $. Obliczenia pokazują przypadki zbieżności i rozbieżności ciągu.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 21: Przypadek 2: obliczanie ilorazu ciągu, równanie kwadratowe $6q^2 - 20q + 6 = 0$, rozwiązania $q = \frac{1}{3}$ i $q = 3$, suma ciągu geometrycznego $S = 27$. Zadanie 7 (0–4 pkt): wymagania ogólne i szczegółowe, zasady oceniania, równania dla trapezu, np. $\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2}$, różne sposoby spełnienia warunków, punktacja za poprawne przekształcenia i rozumowanie.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 22: Zadanie 4: zapisanie równania trapezu z warunkami na 1 pkt, różne warianty zapisu proporcji pól trapezów i trójkątów. Uwagi dotyczące błędnych założeń i punktacji. Zasady oceniania dla sposobu II: 4 pkt za pełne rozumowanie, 3 pkt za stosunek pól trójkątów, 2 pkt za zapisanie pól trapezów, 1 pkt za zależności między polami trójkątów. Przykładowe rozwiązanie z oznaczeniami długości podstaw i wysokości trapezu.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 23: Zadanie 1a: analiza trapezów EFCD i ABFE, wykazanie równości wysokości i stosunku pól trapezów. Obliczenia: $d = \frac{a+b}{2}$, $2d + 2b = a + d$, końcowy wynik $\frac{b}{a} = \frac{1}{5}$. Zadanie 1b: oznaczenia dla długości podstaw i wysokości trapezu, stosunek pól trapezów EFCD do ABCD wynosi $\frac{1}{3}$. Obliczenia z użyciem wzorów na pole trapezu.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 24: Zadanie 1: wyprowadzenie zależności d = a - 2b z równania trapezu, obliczenia prowadzą do a = 5b, b/a = 1/5. Zadanie 2: metoda pól trójkątów podobnych, oznaczenia dla trapezu, podobieństwo trójkątów ACD i AKE oraz ABC i KFC, skala podobieństwa 2, obliczenia pól P_ACD = 4n, P_ABC = 4m, rysunek trapezu z zaznaczonymi trójkątami i punktami E, F, K.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 25: Zadanie 8 (0-5 pkt): rozwiązanie obejmuje proporcje pól trójkątów i wyprowadzenie równania 5n=m, co prowadzi do b/a=1/5. Zadanie wymaga znajomości wektorów i obliczeń współrzędnych punktów A=(16/5, -13/5), B=(-1, -2), M=(2/5, -11/5). Zasady oceniania uwzględniają poprawność metody i wyników, z podziałem punktów za różne etapy rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 26: Zadanie 3 (3 pkt): obliczenie współrzędnych punktów A i B, zapisanie równań z jedną niewiadomą, np. $(-7y-15)^2+(y-4)^2=45$, zapisanie równości $x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B$, $y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B$. Zadanie 4 (2 pkt): wyznaczenie równania prostej AB, np. $2x+14y=-30$, zapisanie współrzędnych punktu B i sprawdzenie rachunkowe. Uwagi dotyczą błędów rachunkowych i identyfikacji punktów.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 27: Zadanie: Obliczanie współrzędnych punktów A i B, gdzie przecinają się okręgi O₁ i O₂. Rozwiązanie układu równań kwadratowych, przekształcenia algebraiczne, uproszczenie do postaci liniowej. Kluczowe kroki: wyznaczenie y=-13/5 lub y=-2, obliczenie x dla obu przypadków. Wynik: A=(16/5, -13/5), B=(-1, -2). Elementy wizualne: brak. Punktacja: brak widocznej punktacji.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 28: Zadanie 9 (0–5 pkt): rozwiązanie równań trygonometrycznych. Zastosowanie metody i poprawny wynik: $(- \frac{2\pi}{3}), (-\frac{\pi}{6}), \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}$. Alternatywne równania: $\tan x = \sqrt{3}$ lub $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Rozwiązania w przedziale $[-π, π]$. Uzasadnienie dla liczby postaci $\frac{\pi}{2} + n\pi$, gdzie $n \in \mathbb{Z}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 29: Zadanie 1 (3 pkt): zapisanie założeń i rozwiązanie równań alternatywnych tg x = √3 lub tg x = -√3/3, przekształcenie równań i uzasadnienie dla różnych sposobów, wyniki w postaci x = π/3 + πk lub x = -π/6 + πk. Zadanie 2 (2 pkt): przekształcenie równań do postaci alternatywnych, uzasadnienie dla liczb postaci π/2 + πk. Zadanie 3 (1 pkt): przekształcenie równań i zastosowanie wzorów trygonometrycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 30: Zasady oceniania dla sposobów IV-V. 5 pkt za poprawną metodę i wynik: (-2π/3), (-π/6), 5π/6. 4 pkt za rozwiązanie równań trygonometrycznych w zbiorze R, np. sin(π/3 + 2x) = 0, cos(π/6 - 2x) = 0, z przekształceniem do postaci alternatywnej. 3 pkt za przekształcenie równań do postaci sin(π/3 + 2x) = 0 lub cos(π/6 - 2x) = 0. Rozwiązania obejmują przekształcenia i zastosowanie odpowiednich metod w przedziale [-π, π].

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 31: Zadanie 1: przekształcenie równania do postaci alternatywnej, rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych. Zadanie 2 (2 pkt): przekształcenie równania z zastosowaniem wzorów trygonometrycznych. Zadanie 3 (1 pkt): zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta, obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego. Uwagi dotyczące błędów w zastosowaniu wzorów trygonometrycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 32: Zadanie 2: Rozwiązanie równania 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0 metodą sinus podwojonego kąta i tangens. Przekształcenie równania do postaci 3cos²x + 2√3sinxcosx - 3sin²x = 0. Dwa przypadki: tgx = √3 oraz tgx = -√3/3. Obliczenia: Δ = 48, rozwiązania w przedziale [-π, π]: π/3 + πk, -2π/3, π/3, -π/6, 5π/6.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 33: Zadanie: rozwiązanie równania trygonometrycznego 3cos²x + 2√3sinxcosx - 3sin²x = 0. Przypadek 1: transformacja równania, użycie tożsamości trygonometrycznych, końcowe rozwiązania: -2π/3, -π/6, π/3, 5π/6. Przypadek 2: analiza dla x = π/2 + πk, brak rozwiązań. Sposób II: użycie wzorów na cosinus podwójnego kąta i tangens, końcowe rozwiązania w przedziale [-π, π].

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 34: Zadanie 7: rozwiązanie równania trygonometrycznego 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0. Metoda: przekształcenie równania, zastosowanie wzorów trygonometrycznych. Kluczowe kroki: wyznaczenie sin(x) i cos(x), rozdzielenie na przypadki tg(x) = √3 i tg(x) = -√3/3. Rozwiązania: liczby w przedziale [-π, π] to (-2π/3), (-π/6), π/3, 5π/6.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 35: Zadanie 2: analiza przypadku $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, gdzie $n \in \mathbb{Z}$, zastosowanie jedynki trygonometrycznej, rozwiązanie równania $3\cos^2x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2x = 0$ w przedziale $[-π, π]$, wyniki: $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}$. Sposób IV: przekształcenie równania z użyciem wzorów na cosinus podwójnego kąta i sinus sumy kątów.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 36: Zadanie 5: przekształcenie równania $3\cos^2x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2x = 0$ przy użyciu wzorów trygonometrycznych. Rozwiązanie: $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = 0$ oraz $ \sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0$. Kluczowe kroki: dzielenie przez współczynniki, przekształcenie do postaci $ \cos(\frac{\pi}{6} + x) = 0$, rozwiązania w przedziale $[-π, π]$: $-\frac{2\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$, $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 37: Zadanie 10 (0–5 pkt): rozwiązanie równania 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0 w przedziale [-π, π], rozwiązania: (-2π/3), (-π/6), π/3, 5π/6. Zasady oceniania: 5 pkt za poprawną metodę i wynik 918, 4 pkt za obliczenie długości krawędzi SC i BE, różne metody obliczeń z użyciem podobieństwa trójkątów. 3 pkt za obliczenie długości odcinka CE: |CE| = 9.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 38: Zadanie 1: podobieństwo trójkątów ESB i EBC, zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, równanie z jedną niewiadomą, obliczenie długości odcinka BE, x=15, długości odcinka EO, y=6√2, spełnienie warunków trigonometrycznych, zastosowanie twierdzenia cosinusów, twierdzenia Pitagorasa, podobieństwo trójkątów, 2 pkt za obliczenia, 1 pkt za spełnienie warunków, 0 pkt za niepoprawną metodę.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 39: Zadanie z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Rozwiązanie przez interpretację kąta między ścianami bocznymi BCS i CDS, użycie twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDE. Obliczenia: |BD|²=x²+x²-2x·x·cosβ, x=15. Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta BEC: |CE|²=|BC|²-|BE|², |CE|=9. Szkic ostrosłupa z zaznaczonymi odcinkami i kątem β.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 40: Zadanie dotyczące trójkątów prostokątnych i podobieństwa trójkątów. Obliczenia wykorzystują twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia długości odcinka AS: |AS| = 4√34. Obliczono pole powierzchni bocznej ostrosłupa Pb = 918. Rysunek przedstawia ostrosłup z zaznaczonymi odcinkami i kątami, w tym wysokość ściany bocznej BCS i spodek E.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 41: Zadanie 1: Stosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie BED, obliczenia prowadzą do x=15. Zadanie 2: Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta BEC, obliczenie CE=9. Zadanie 3: Podobieństwo trójkątów BCS i BCE, obliczenie BS=5√34. Zadanie 4: Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABS, obliczenie AS=4√34. Zadanie 5: Obliczenie pola Pb powierzchni bocznej ostrosłupa, Pb=918. Elementy wizualne: brak.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 42: Zadanie 7: Obliczanie sinus i cosinus kąta ostrego BEO. cos β = -9/25, sin²(β/2) = 17/25, cos²(β/2) = 2√2/5. Obliczanie tangensa kąta ostrego BEO: tg(β/2) = √34/4. Obliczanie długości odcinka EO: y = 6√2. Szkic ostrosłupa z trójkątami przystającymi, oznaczenia punktów i odcinków, kąty zaznaczone na rysunku.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 43: Zadanie 11 (0–6): obliczenia geometryczne z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów ACS i ABS, obliczanie długości krawędzi AS i BS, AS=4√34, BS=5√34, obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa Pb=918. Tabela z wymaganiami ogólnymi i szczegółowymi dotyczącymi wykorzystania reprezentacji i tworzenia modeli matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 44: Zasady oceniania dla zadania z czterema etapami. Pierwszy etap: rozwiązanie nierówności Δ > 0, m ∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞), 1 pkt. Drugi etap: m ∈ (-8, 2), 1 pkt. Trzeci etap: (x₁-x₂)² ≤ 180, m ∈ (-∞, 3/2] ∪ [13/4, +∞), 3 pkt. Czwarty etap: m = 2 oraz m ∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) oraz m ∈ (-8, 2), m ∈ (-∞, 3/2] ∪ [13/4, +∞), 1 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 45: Zadanie: wyznaczenie wartości parametru m dla funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi. Rozwiązanie: analiza warunku Δ>0 dla funkcji f(x)=(2−m)x²−2(2m+1)x+m+8. Obliczenia: przekształcenie nierówności −2(2m+1)²−4·(2−m)(m+8)>0 do postaci 20(m−1)(m+3)>0. Wynik: m∈(−∞,−3)∪(1,+∞). Brak elementów graficznych.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 46: Zadanie 7: Rozwiązanie nierówności z wykorzystaniem wzorów Viete’a. Przekształcenie nierówności $(x_1 - x_2)^2 \leq 180$ do postaci umożliwiającej zastosowanie wzorów Viete’a. Obliczenia obejmują przekształcenia algebraiczne, wyznaczenie wartości parametru $m$ oraz określenie przedziałów dla $m$, w tym $m \in (-8, -3) \cup (1, \frac{3}{2})$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 47: Zadanie 12.1 (0-2 pkt): obliczanie objętości stożka, wymaganie IV: rozumowanie i argumentacja. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne przekształcenia, 1 pkt za zapisanie związku między promieniem podstawy a wysokością stożka. Przykładowe rozwiązanie: rozpatrzenie trójkąta ABC jako przekroju osiowego stożka, zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, rysunek trójkąta z zaznaczonymi wysokościami i promieniem.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 48: Zadanie 12.2 (0–4 pkt): wyznaczenie objętości stożka V dla h=5√3, obliczenia: V(5√3)=125√3π/2. Rozwiązanie równania: 1/2rh=1/2√h²+r²·5, r²h²=25h²+25r², r²=25h²/(h²-25). Wykazano objętość V=1/3πr²h=π/3·25h³/(h²-25). Zasady oceniania: 4 pkt za uzasadnienie minimalnej wartości V, 3 pkt za badanie monotoniczności, 2 pkt za obliczenie miejsca zerowego, 1 pkt za wyznaczenie pochodnej V'.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 49: Zadanie 2: analiza poprawności wyznaczania pochodnej funkcji 25h³ oraz h²−25, błędy w obliczeniach pochodnej, wzory na pochodną ilorazu funkcji, warunki uzyskania punktów za rozwiązanie. Zadanie 3: uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, badanie znaku pochodnej, opis graficzny i słowny. Zadanie 4-6: warunki uzyskania punktów za uzasadnienie i obliczenia najmniejszej wartości funkcji. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2025, CKE - strona 50: Zadanie: Obliczanie argumentu, dla którego funkcja V osiąga wartość najmniejszą. Wyznaczanie pochodnej V'(h) i obliczanie miejsc zerowych. Badanie znaku pochodnej, funkcja malejąca w przedziale (5, 5√3] i rosnąca w [5√3, +∞). Funkcja osiąga wartość najmniejszą dla h = 5√3. Obliczenia prowadzą do wyniku V(5√3) = 125√3π/2. Uwagi dotyczące ciągłości i różniczkowalności funkcji.

Matura rozszerzona matematyka maj 2025 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi