Matura rozszerzona z matematyki | Marzec 2021

Zadanie 1

Liczba $\log_2 9$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{\log_3 4}$

B. $\log_3 4$

C. $\frac{1}{\log_3 \sqrt{2}}$

D. $\log_3 \sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest $10$ kul: $8$ białych i $2$ czarne, w drugiej jest $8$ kul: $5$ białych i $3$ czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{2}{18}$

B. $\frac{15}{23}$

C. $\frac{8}{23}$

D. $\frac{5}{18}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Prosta dana równaniem $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji $f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + x + 5$ w punkcie

Wybierz odpowiedź:

A. $(-1, 6)$

B. $(0, 5)$

C. $(1, 5)$

D. $(2, 3)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Liczba $x$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym $1$ i ilorazie $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Liczba $y$ jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym $1$ i ilorazie $\Big(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Big)$.

Wynika stąd, że liczba $x - y$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $0$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa $13$ i żadna cyfra nie jest zerem.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od $2$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

$\sin \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) \cdot \cos \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Na przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano kwadrat $ABDE$ (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy $k$.

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa $\frac{1}{2k}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R = 5 \sqrt{2}$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość $10$. Kąty wewnętrzne $BAD$ i $ADC$ czworokąta $ABCD$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\frac{3}{8}$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + bx^3 + cx^2$ przez dwumiany $(x - 2)$ i $(x - 3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x - 4)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $4$, a wysokość graniastosłupa jest równa $6$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz sinus kąta $AFB$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Czterowyrazowy ciąg $(a, b, c, d)$ jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg $(a + 100, b, c)$ jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu $(a, b, c, d)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y = x + b$, $y = x + 2b$, $y = b$, $y = 2$, gdzie liczba rzeczywista $b$ spełnia warunki: $b \neq 2$ i $b \neq 0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, dla których pole tego równoległoboku jest równe $1$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x) = \frac{9}{x^4}$ dla $x \neq 0$. Punkt $C$ ma współrzędne $\big(0, -\frac{1}{3}\big)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $Oy$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $ABC$ jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 1: Strona tytułowa dokumentu z zasadami oceniania rozwiązań zadań. Zawiera informacje o rodzaju dokumentu, poziomie egzaminu, formach arkusza oraz terminie egzaminu i publikacji dokumentu. Brak szczegółowych rozwiązań zadań matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, stosowanie wzoru na logarytm potęgi, odpowiedź C. Zadanie 2 (0–1 pkt): Modelowanie matematyczne, obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego, odpowiedź C. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 3: Zadanie 3 (0–1): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, badanie równoległości i prostopadłości prostych, rozwiązanie C. Zadanie 4 (0–1): Użycie i tworzenie strategii, rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych, rozwiązanie B. Zadanie 5 (0–2): Użycie i tworzenie strategii, wykorzystanie wzorów na permutacje i kombinacje, brak szczegółowych obliczeń.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 4: Zadanie 6 (0-3 pkt): Rozwiązanie nierówności 5x² - 6xy + 3y² - 2x - 4 > 0. Przekształcenie do postaci 3(x-y)² + 2x² - 2x - 4 > 0, a następnie 3(x-y)² + 2(x+1)(x-2) > 0. Wyjaśnienie, że dla x > 2, 2(x+1)(x-2) > 0, co dowodzi dodatniości wyrażenia. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, takich jak (a±b)² i a²-b². Punktacja: 1 pkt za zapisanie nierówności, 2 pkt za przekształcenie, 3 pkt za pełne rozwiązanie.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 5: Zadanie 7 (0-4 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia i tworzenia strategii. Rozwiązanie równań trygonometrycznych z zastosowaniem wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Przekształcenie równań do postaci $2 \sin(x + \frac{1}{4}\pi) \cos(x + \frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\sin(2x + \frac{1}{2}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Rozwiązanie równań: $x = -\frac{1}{8}\pi + k\pi$ lub $x = \frac{1}{8}\pi + k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 6: Zadanie 1: Przekształcanie równania trygonometrycznego 2sin(x+¼π)cos(x+¼π)=√2/2. Sposób 1: Użycie wzoru na sinus podwojonego kąta, otrzymanie równań 2x=¼π+2kπ i 2x=-¼π+2kπ, ostatecznie x=⅛π+kπ i x=-⅛π+kπ. Sposób 2: Wzory na sinus sumy i cosinus sumy kątów, uzyskanie cos(2x)=√2/2, te same końcowe równania dla x.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 7: Zadanie 8 (0-4 pkt): Rozumowanie i argumentacja, wykorzystanie definicji i wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych, stosowanie wzorów na sumę i różnicę kątów, twierdzenie Pitagorasa. Zadanie wymaga zapisania stosunku pól figur lub sumy tangensów kątów ostrych trójkąta ABC. Punktacja: 1 pkt za zapisanie stosunku pól, 2 pkt za sumę tangensów i stosunek pól, 3 pkt za wyrażenie kwadratu długości przeciwprostokątnej, 4 pkt za poprawne obliczenie sumy tangensów.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 8: Zadanie 4: Rozwiązanie zadania z wykorzystaniem trójkąta prostokątnego ABC. Wyznaczenie tangensów kątów α i β, tg α = a/b, tg β = b/a, oraz ich sumy tg α + tg β = (a² + b²)/ab. Trójkąt ABC jest prostokątny, więc a² + b² = c², co prowadzi do tg α + tg β = c²/ab. Z zależności 1/2 ab/c² = k wyznaczono c² = ab/2k. Podstawienie do sumy daje tg α + tg β = 1/2k. Szkic trójkąta z oznaczeniami.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 9: Zadanie 9 (0-4 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące twierdzenia sinusów i czworokątów wpisanych w okrąg. Przykładowe pełne rozwiązanie: obliczenie miary kąta BAD za pomocą twierdzenia sinusów, sin α = |BD|/2R = √2/2, α = 45°. Czworokąt ABCD wpisany w okrąg, kąty wewnętrzne: ∠BAD = 45°, ∠BCD = 135°, ∠CDA = 60°, ∠ABC = 120°. Szkic czworokąta z zaznaczonymi kątami.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 10: Zadanie 10 (0–4 pkt): obliczenia trygonometryczne, sin δ = √3/2, kąty wewnętrzne czworokąta: ∠BAD = 45°, ∠ABC = 120°, ∠BCD = 135°, ∠CDA = 60°. Wymagania egzaminacyjne: użycie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu. Rozwiązanie układu równań z niewiadomymi b i c, przykładowo b = -5, c = 4. Obliczenie reszty z dzielenia wielomianu W(x) = x⁴ - 5x³ + 4x² przez dwumian (x - 4).

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 11: Zadanie 1: Rozwiązanie układu równań z wielomianem W(x) metodą podstawiania i eliminacji. Sposób 1: Ustalono układ równań 8b+4c=-24 i 27b+9c=-99, uproszczono do 2b+c=-6 i 3b+c=-11. Wyznaczono b=-5, c=4. Wielomian W(x)=x⁴-5x³+4x², obliczenia W(4)=0. Sposób 2: Przyjęto P(x)=x²+bx+c, pokazano podzielność przez (x-2)(x-3). Wielomian W(x)=x²·[(x-2)(x-3)-2], obliczenia W(4)=0.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 12: Zadanie 11 (0-4): Wymagania egzaminacyjne 2021, użycie i tworzenie strategii z funkcji trygonometrycznych. Sposób 1: obliczenie długości odcinka FM=4√3 lub AF=2√13 (1 pkt), pole trójkąta ABF z sinusem kąta AFB, P_ABF=26sin|∠AFB| (2 pkt), pole trójkąta P_ABF=8√3 (3 pkt), sinus kąta AFB=4√3/13 (4 pkt). Sposób 2: długość odcinka AF=2√13 (1 pkt), równanie z twierdzenia cosinusów (2 pkt), cosinus kąta AFB=11/13 (3 pkt), sinus kąta AFB=4√3/13 (4 pkt).

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 13: Zadanie 1: obliczenie długości odcinka FM, FM=4√3, oraz AF=2√13, przy użyciu twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CMF. Obliczenie pola trójkąta ABF, P_ABF=8√3, oraz sinus kąta AFB, sin∠AFB=4√3/13. Szkic: trójkąt ABF równoramienny z wysokością FM, trójkąt CMF prostokątny, oznaczone długości boków i kąty. Punktacja: 1-4 punkty za poprawne obliczenia i sinus kąta.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 14: Zadanie 1: Obliczenia związane z trójkątem ABF. Sposób 1: Obliczanie sinusa kąta ∠AFB, wynik sin ∠AFB = 4√3/13. Sposób 2: Obliczanie długości odcinka AF z trójkąta AFD, wynik |AF| = 2√13. Zastosowanie twierdzenia cosinusów, wynik cos ∠AFB = 11/13. Sposób 3: Trójkąt ABF równoramienny, obliczanie |FM|, wynik |FM| = 4√3. Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CMF.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 15: Zadanie 12 (0–5): W trójkącie prostokątnym AFM obliczono sin(α/2) i cos(α/2), następnie użyto wzoru na sinus podwojonego kąta, wynik sin α = 4√3/13. Wymagania egzaminacyjne: użycie strategii, badanie ciągu arytmetycznego lub geometrycznego, stosowanie wzoru na n-ty wyraz. Zasady oceniania: różne równania i obliczenia dla ciągów, wartości a, b, c, d: a = -36, b = 144, c = 324, d = 504.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 16: Przykładowe pełne rozwiązanie zadania dotyczącego ciągu arytmetycznego. Oznaczenie różnicy przez r, wyrażenie a za pomocą r, równanie kwadratowe 5a² + 6ar + r² = 0, rozwiązania a = -1/5r lub a = -r. Analiza przypadku dla a = -r i a = -1/5r, obliczenia dla r = 0 i r = 100, odrzucenie niepasujących rozwiązań. Obliczenia dla ciągu geometrycznego (-36 + 100, 144, 324), końcowe wartości a = -36, b = 144, c = 324, d = 504.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 17: Zadanie 13 (0-5 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące użycia strategii. Sposób 1: obliczenie długości podstawy lub wysokości równoległoboku z użyciem wartości bezwzględnej, wzór na pole P, równanie b(b-2)=-1, rozwiązanie równania, wartości parametru b: 1-√2, 1, 1+√2. Sposób 2 i 3: współrzędne wierzchołków równoległoboku, wzór na pole P, równanie b(b-2)=-1, rozwiązanie równania, wartości parametru b: 1-√2, 1, 1+√2.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 18: Zadanie 1: rozwiązanie zadania dotyczącego pola równoległoboku. Sposób 1: analiza rysunku z oznaczeniami, wyprowadzenie wzoru na pole P=|b|·|b-2|, rozwiązanie równania b·(b-2)=±1, wyniki b=1, b=1±√2. Sposób 2: wyznaczenie punktów przecięcia prostych, obliczenie współrzędnych punktów A, B, C, D, pole równoległoboku ABCD. Elementy wizualne: rysunek równoległoboku z oznaczeniami.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 19: Zadanie 3: Obliczenie pola równoległoboku ABCD. Rozwiązanie pokazuje wyznaczanie współrzędnych punktów A, B, C, i wyliczenie długości odcinka BC jako |b|. Wysokość h równoległoboku jako |b-2|. Pole P=|b||b-2|. Warunki: |b(b-2)|=1, rozwiązania b=1, b=1-√2, b=1+√2. Pole równe 1 dla b∈{1-√2; 1; 1+√2}.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 20: Zadanie 14 (0-5 pkt): Rozwiązanie równania kwadratowego $x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0$ z warunkami na dwa rozwiązania dodatnie. Etap I: Warunki $\Delta > 0$, $x_1 > 0$, $x_2 > 0$ lub wierzchołek paraboli dodatni. Etap II: Rozwiązanie nierówności i wyznaczenie wartości $a$ dla $(x_1 + x_2 > 0)$, $(x_1 \cdot x_2 > 0)$. Punktacja: 1 pkt za etap I, 3 pkt za etap II.$

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 21: Zadanie III: Wyznaczenie wartości parametru $a$ dla równania $x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0$ z dwoma dodatnimi rozwiązaniami. 1) Wyznaczanie dla dodatniego wyróżnika: $\Delta > 0$, $a \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$. 2) Dla sumy $x_1 + x_2 > 0$: $a > 0$. 3) Dla iloczynu $x_1 \cdot x_2 > 0$: $a \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, \infty)$. Ostatecznie: $a \in (\sqrt{2}, 2)$.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 22: Zadanie dotyczące równania kwadratowego x² - 2ax + a³ - 2a = 0. Rozwiązanie metodą analizy warunków dla dwóch rozwiązań dodatnich x₁ i x₂. Warunki: Δ > 0, wierzchołek paraboli z pierwszą współrzędną dodatnią, f(0) > 0. Rozwiązanie obejmuje analizę Δ > 0, a ∈ (-∞, -1) ∪ (0, 2), a > 0, a ∈ (-√2, 0) ∪ (√2, +∞). Ostatecznie a ∈ (√2, 2).

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2021, CKE - strona 24: Zadanie: Wyznaczanie pola trójkąta ABC. Rozwiązanie: P = ½ * 2a * (9/a⁴ + 1/3) = 9/a³ + 1/3 * a dla a > 0. Pochodna: P'(a) = -27/a⁴ + 1/3 = (a⁴ - 81)/(3a⁴). Obliczenia: P'(a) = 0, gdy a = 3. Funkcja P malejąca dla a ∈ (0, 3), rosnąca dla a ∈ (3, +∞). Wartość najmniejsza dla a = 3. Wynik: A = (3, 1/3), B = (-3, 1/3), P(3) = 4/3.

Zadanie 1

Liczba $\log_2 9$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{\log_3 4}$

B. $\log_3 4$

C. $\frac{1}{\log_3 \sqrt{2}}$

D. $\log_3 \sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{2}{18}$

B. $\frac{15}{23}$

C. $\frac{8}{23}$

D. $\frac{5}{18}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Prosta dana równaniem $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji $f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + x + 5$ w punkcie

Wybierz odpowiedź:

A. $(-1, 6)$

B. $(0, 5)$

C. $(1, 5)$

D. $(2, 3)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Wynika stąd, że liczba $x - y$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $0$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

D. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa $13$ i żadna cyfra nie jest zerem.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od $2$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie:

$\sin \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) \cdot \cos \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Na przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano kwadrat $ABDE$ (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy $k$.

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa $\frac{1}{2k}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $4$, a wysokość graniastosłupa jest równa $6$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz sinus kąta $AFB$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka marzec 2021 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka marzec 2021 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie