Matura rozszerzona matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Próbny • CKE • marzec 2022 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dane są liczby $a = \log_2 3$ oraz $b = \log_3 7$.

Wyraź $\log_4 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (-3, -3)$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $7$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $8$.

Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność

$|\frac{S - S_n}{S_n}| < 0,001$

gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dane jest równanie

$(x - 6) \cdot [(m - 2)x^2 - 4(m + 3)x + m + 1] = 0$

z niewiadomą $x$ i parametrem $m \in R$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez $4$ jest liczbą podzielną przez $36$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek).

Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x) = x^2$ oraz $g(x) = -\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2 + 4$.

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P = (−1, 1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Niech $R$ będzie punktem leżącym na wykresie funkcji $g$.

Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x) = x^2$ oraz $g(x) = -\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2 + 4$.

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P = (−1, 1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$ była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie

$\sin (3x) = 2 \sin x$

w zbiorze $[0, \pi]$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o obwodzie $l$ i podstawach $AB$ oraz $CD$ takich, że $|AB| > |CD|$. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna $AC$ trapezu ma długość $d$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ jest równy $\frac{d \cdot l}{2 \sqrt{16d^2 - l^2}}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $A = (9, 12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$. Prosta $k$ o równaniu $y = \frac{1}{2} x$ zawiera dwusieczną kąta $ABC$ tego trójkąta. Okrąg $O$ o równaniu $(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = 16$ jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $O$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2 \alpha$.

Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k \cdot P^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos (2 \alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik $k$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Egzamin składa się z $15$ zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej $11$ zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 1: Dokument zawiera zasady oceniania rozwiązań zadań dla egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym. Wskazano formy arkusza: MMAP-R0-100, MMAP-R0-200, MMAP-R0-300, MMAP-R0-400, MMAP-R0-660, MMAP-R0-700, MMAP-R0-Q00. Data publikacji: 4 marca 2022 r. Brak szczegółowych rozwiązań zadań na tej stronie.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–3 pkt): przekształcanie log₄ 49 przy użyciu wzoru na logarytm potęgi i zamianę podstawy logarytmu. Kluczowe kroki: log₄ 49 = a · b, zastosowanie wzoru na zamianę podstawy log₄ 49 = log₃ 49 / log₃ 4, przekształcenie log₃ 4 do 2 / log₂ 3. Końcowy wynik: log₄ 49 = 2 · log₃ 7 / log₃ 4. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za częściowe przekształcenie, 1 pkt za zamianę podstawy, 0 pkt za błędne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 3: Zadanie 1: obliczenie logarytmu log₄49 przy użyciu wzorów logarytmicznych. Rozpoczęcie od log₄49 = 2·log₄7, przekształcenie do postaci log₃7/log₃4, dalej do log₃7/log₂4, a następnie do log₂3/log₂4. Ostateczne przekształcenie do postaci 2·b·a/2 = a·b. Wynik: log₄49 = a·b.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 4: Zadanie 2 (0-3 pkt): wyznaczanie równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie P=(-3,-3). Rozwiązanie obejmuje obliczenie pochodnej funkcji f: f'(x)=(x²-2x-3)/(x-1)², następnie obliczenie współczynnika kierunkowego f'(-3)=3/4 oraz równania stycznej y=3/4x-3/4. Zasady oceniania: 3 pkt za poprawną metodę i wynik, 2 pkt za interpretację współczynnika, 1 pkt za wyznaczenie pochodnej.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 5: Zadanie 3 (0-4 pkt): analiza wymagań ogólnych i szczegółowych dla rozwiązań z ciągów geometrycznych. Opisano metody wyznaczania ilorazu ciągu i przekształcania nierówności. Wymieniono kryteria punktacji: 4 pkt za poprawne wyznaczenie ilorazu i rozwiązanie nierówności, 3 pkt za przekształcenie nierówności, 2 pkt za obliczenie ilorazu, 1 pkt za użycie wzorów na sumę n wyrazów. Przykładowe rozwiązanie z warunkiem |q| < 1.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 6: Zadanie 4: obliczanie ilorazu q ciągu geometrycznego, q=1/2, oraz sumy początkowych wyrazów ciągu, S=2a₁. Rozwiązanie nierówności |S-Sₙ|/Sₙ<0,001, przekształcenie do postaci (1/2)ⁿ/(1-(1/2)ⁿ)<0,001, 2ⁿ>1001, n>9. Końcowy wynik: rozwiązaniem są liczby naturalne większe od 9.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 7: Zadanie 4 (0-5 pkt): analiza równań i nierówności liniowych z parametrami, wyznaczanie liczby rozwiązań w zależności od parametrów. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie wspólnej części rozwiązań warunków (W1)-(W5) oraz podanie poprawnego wyniku dla m. Kluczowe kroki obejmują analizę warunków m ≠ 2 oraz m ≠ 11, z uwzględnieniem zakresów wartości m. Brak elementów wizualnych.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 8: Zadanie 1: analiza równania kwadratowego z parametrem m, warunki na m dla trzech różnych rozwiązań rzeczywistych. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie warunków (W1)-(W5), w tym nierówności Δ>0, oraz zastosowanie wzorów Viète’a. Obliczenia prowadzą do określenia przedziałów dla m: m ∈ (-∞, -19/3) ∪ (-2, +∞). Brak elementów graficznych. Punktacja nie jest widoczna.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 9: Zadanie 4: rozwiązanie nierówności wymiernej $-\frac{4(m+3)}{m-2} > 0$, przekształcenie do $(m+3)(m-2)>0$, $m\neq2$, zbiór rozwiązań $m \in (-\infty,-3) \cup (2,+\infty)$. Rozwiązanie warunku (W5): $(m-2)\cdot 6^2 - 4\cdot (m+3)\cdot 6 + m + 1 \neq 0$, $m \neq 11$. Wynik końcowy: $m \in (-\infty,-\frac{19}{3}) \cup (2,11) \cup (11,+\infty)$.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 10: Zadanie 5 (0–3 pkt): Wymaganie ogólne - rozumowanie i argumentacja. Przykładowe pełne rozwiązania: Sposób 1 - przekształcenie wyrażenia (a-1)³+a³+(a+1)³ do postaci 3a(a²+2), gdzie a jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4. Sposób 2 - przekształcenie (4k+1)³+(4k+2)³+(4k+3)³ do 36·P(k)+12·Q(k), gdzie P i Q to wielomiany. Zasady oceniania: 3 pkt za pełny dowód, 2 pkt za przekształcenie, 1 pkt za zapisanie sumy.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 11: Zadanie 4: dowód podzielności sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 i 9. Rozwiązanie pokazuje dwie metody: pierwsza opiera się na algebraicznym przekształceniu wyrażeń, druga na analizie podzielności przez 3. Kluczowe kroki obejmują przekształcenia algebraiczne i dowody podzielności. Brak szkiców i wykresów.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 12: Zadanie 6.1 (0–2 pkt): wymagania dotyczące stosowania wzorów skróconego mnożenia i obliczania odległości punktów. Przykładowe rozwiązanie: wyrażenie określające długość odcinka PR, zastosowanie wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, rozwinięcie wyrażenia, końcowy wynik: $|PR| = \sqrt{x^4 + 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}} + 9$.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 13: Zadanie 6.2 (0–6 pkt): obliczenie wartości wyrażenia |PR| z wielomianem stopnia czwartego, uzasadnienie przynależności punktu K do wykresu funkcji g, obliczenia współrzędnych i długości |PK|, analiza wartości funkcji dla x=3/2, obliczenia miejsc zerowych pochodnej k'(x), przedstawienie wymagań ogólnych i szczegółowych dla zadania, tabela z zasadami oceniania.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 14: Zadanie 1: uzasadnienie, że punkt K musi należeć do wykresu funkcji g i określenie dziedziny funkcji d: x ∈ [1−√94/6, 1+√94/6]. Wyznaczenie pochodnej funkcji k: k'(x) = x³ - 3/2x² - 13/4x² + 39/8. Przykładowe pełne rozwiązanie: optymalna lokalizacja końca toru regatowego na linii brzegowej funkcji g. Wykres pokazuje funkcje f(x) i g(x) z punktami A, B, P. Nierówności dla punktu C na paraboli.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 15: Zadanie 1: obliczanie punktów przecięcia wykresów funkcji f i g, równanie kwadratowe 12x²-4x-31=0, rozwiązania x₁≈-1,45, x₂≈1,78. Zadanie 2: funkcja pomocnicza k(x), pochodna k'(x)=x³-3/2x²-13/4x²+39/8, miejsca zerowe pochodnej x=-√13/2, x=√13/2, x=3/2, tylko x=3/2 w przedziale [1-√94/6, 1+√94/6].

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 16: Zadanie 7: analiza funkcji k, gdzie k'(x) > 0 dla x ∈ [1-√94/6, 3/2) oraz k'(x) < 0 dla x ∈ (3/2, 1+√94/6], funkcja k rosnąca i malejąca w podanych przedziałach. Funkcja k osiąga wartość największą dla x = 3/2. Obliczenie współrzędnych punktu K oraz |PK|, gdzie K = (3/2, 7/2) i |PK| = 5√2/2. Największa możliwa długość toru regatowego to 5√2/2 jednostek.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 17: Zadanie 7 (0-4 pkt): rozwiązanie równania trygonometrycznego sin(3x) = 2sinx w zbiorze [0, π]. Przykładowe pełne rozwiązanie: przekształcenie równania do postaci z jedną funkcją trygonometryczną, użycie wzorów na sinus sumy kątów i cosinus podwojonego kąta. Kluczowe kroki: sin(2x + x) = 2sinx, przekształcenie do -4sin³x + sinx = 0. Wynik: x = 0, x = 1/6π, x = 5/6π, x = π.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 18: Zadanie 1: rozwiązanie równania trygonometrycznego $(-4\sin^2x + 1)\sin x = 0$, przekształcone do $-4\sin^2x + 1 = 0$ lub $\sin x = 0$. Rozwiązania: $\sin x = \frac{1}{2}$ daje $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$; $\sin x = 0$ daje $x = 0, \pi$. Równanie $\sin(3x) = 2\sin x$ w zbiorze $[0, \pi]$ ma rozwiązania: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 19: Zadanie 8 (0-4 pkt): zastosowanie twierdzeń geometrycznych w trapezie ABCD wpisanym w okrąg. Rozwiązanie obejmuje obliczenie promienia R okręgu, zastosowanie twierdzenia sinusów, obliczenie wysokości h trapezu, oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. Kluczowe wzory: $ R = \frac{d \cdot l}{2 \sqrt{16d^2 - l^2}} $, $ h = \sqrt{\frac{16d^2 - l^2}{4}} $. Ilustracja trapezu z zaznaczonymi elementami.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 20: Zadanie dotyczące trapezu ABCD i trójkąta ABC. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie promienia R okręgu opisanego na trójkącie, stosując twierdzenie sinusów. Obliczenia zawierają wzory na wysokość h i sinus kąta α z trójkąta prostokątnego BEC. Końcowy wynik: R = (d * l) / (2√(16d² - l²)). Dowód zakończony.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 21: Zadanie 9 (0–6 pkt): wyznaczenie równania prostej BC i obliczenie współrzędnych punktu styczności prostej BC z okręgiem O: y=0 i (8,0). Uzasadnienie, że prosta o równaniu y=-12/5x+168/5 nie przechodzi przez punkt B i obliczenie współrzędnych punktu B: B=(0,0). Wyznaczenie równań prostych stycznych do okręgu O i przechodzących przez punkt A. Zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej. Przykładowe pełne rozwiązanie z równaniem prostej l.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 22: Zadanie 4: rozwiązanie równania prostej stycznej do okręgu, przekształcenia równoważne, równanie kwadratowe 15a²+16a-48=0, rozwiązania a=4/3 i a=-12/5. Rozważanie przypadku a=4/3, równanie prostej y=4/3x, punkt przecięcia B=(0,0). Rozważanie przypadku a=-12/5, równanie prostej y=-12/5x+168/5, analiza kątów α i β, niemożliwość spełnienia warunków |∠ABS|=1/2|∠ABC|.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 23: Zadanie 10 (0–6 pkt): obliczenie objętości ostrosłupa, zastosowanie wzoru na objętość V, współczynnik k=√2/36. Obliczenie wysokości H ostrosłupa, H=P·cos(2α)/√4√2·sinα. Obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy a²=√2P·sinα i wysokości ściany bocznej h²=P/4√2·sinα. Zastosowanie definicji sinusa w trójkącie EGS, zapisanie równań z niewiadomą a, np. a√2/2a=sinα. Punktacja za poprawne zastosowanie wzorów i obliczenia.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 24: Zadanie 1 (1 pkt): przypisanie wielkościom P i α wartości liczbowych, wyznaczenie wysokości h ściany bocznej w zależności od długości a krawędzi podstawy ostrosłupa. Zadanie 2 (6 pkt): zastosowanie wzoru na objętość V ostrosłupa, obliczenie współczynnika k, obliczenie wysokości H ostrosłupa. Zadanie 3 (4 pkt): obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy oraz wysokości ściany bocznej. Zadanie 4 (2 pkt): zastosowanie definicji sinusa w trójkącie EGS, zapisanie równania z jedną niewiadomą.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 25: Zadanie 1: Obliczenie objętości ostrosłupa prawidłowego o polu powierzchni bocznej $ P = \sqrt{2} $, przy kącie $\alpha = 30^\circ$. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie wysokości $ h $ ściany bocznej ostrosłupa $ ABCDS $ z wierzchołka $ S $ oraz zastosowanie wzoru na wysokość $ h = \frac{\sqrt{2}}{2a} $. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami krawędzi i wysokości.$

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 26: Zadanie 7: Obliczanie wysokości ostrosłupa ABCDS za pomocą twierdzenia Pitagorasa, $ H^2 = h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 $, $ H = \frac{1}{2} $. Obliczanie objętości $ V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{6} $. Porównanie wartości objętości do wzoru $ V = \sqrt{k} \cdot P^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos(2\alpha) $, obliczenie współczynnika $ k = \frac{\sqrt{2}}{36} $. Brak elementów graficznych.$

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 27: Zadanie dotyczące wyznaczania wysokości $ h $ ściany bocznej ostrosłupa $ ABCDS $. Rozwiązanie obejmuje rysunek ostrosłupa z oznaczeniami $ S, A, B, C, D, E, F, G, O $ oraz kątem $ 2\alpha $. Obliczenia: pole podstawy $ P = 4 \cdot \frac{1}{2}ah $, wysokość $ h = \frac{P}{2a} $, relacja $ |EG| = \frac{a\sqrt{2}}{4} $. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta $ FOS $ dla wysokości $ H $ ostrosłupa.$

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 28: Zadanie 7: Obliczanie wysokości ostrosłupa ABCDS, wzór $H^2 = \frac{P}{4\sqrt{2} \cdot \sin \alpha} - \frac{\sqrt{2}P \cdot \sin \alpha}{4}$, przekształcenie do $H = \frac{P \cdot \cos(2\alpha)}{4\sqrt{2} \cdot \sin \alpha}$. Obliczanie objętości $V = \frac{1}{3}a^2H = \frac{\sqrt{2}}{36}P^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos(2\alpha)$. Końcowy wynik: $k = \frac{\sqrt{2}}{36}$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2022, CKE - strona 29: Zadanie 11 (0–4): obliczenie prawdopodobieństwa zaliczenia egzaminu metodą schematu Bernoulliego. Kluczowe kroki: wyznaczenie zdarzenia $ S_k^{15} $, zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sukcesu i porażki, obliczenia z wykorzystaniem kombinacji i prawdopodobieństwa rozłącznych zdarzeń. Końcowy wynik: $\frac{123841}{4^{15}}$. Punktacja: 4 pkt za poprawną metodę i wynik.$

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Matura rozszerzona matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Próbny • CKE • marzec 2022 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dane są liczby $a = \log_2 3$ oraz $b = \log_3 7$.

Wyraź $\log_4 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (-3, -3)$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność

$|\frac{S - S_n}{S_n}| < 0,001$

gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dane jest równanie

$(x - 6) \cdot [(m - 2)x^2 - 4(m + 3)x + m + 1] = 0$

z niewiadomą $x$ i parametrem $m \in R$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez $4$ jest liczbą podzielną przez $36$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x) = x^2$ oraz $g(x) = -\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2 + 4$.

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P = (−1, 1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Niech $R$ będzie punktem leżącym na wykresie funkcji $g$.

Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x) = x^2$ oraz $g(x) = -\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2 + 4$.

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P = (−1, 1)$.

Kliknij, aby powiększyć

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie

$\sin (3x) = 2 \sin x$

w zbiorze $[0, \pi]$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ jest równy $\frac{d \cdot l}{2 \sqrt{16d^2 - l^2}}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $O$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k \cdot P^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos (2 \alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik $k$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka marzec 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi