Przedziały na osi liczbowej

Działania na przedziałach - suma, iloczyn i różnica

Kluczowym elementem w pracy z przedziałami jest umiejętność przeprowadzania na nich podstawowych operacji, czyli obliczania sumy ($\cup$), iloczynu ($\cap$) oraz różnicy ($\setminus$) zbiorów. Jest to niezbędne w matematyce, szczególnie podczas rozwiązywania złożonych nierówności, gdzie zbiorem rozwiązań jest często kombinacja kilku przedziałów.

1. Suma przedziałów ($\cup$) – łączenie zbiorów

Definicja: Suma dwóch przedziałów $A$ i $B$ (oznaczana jako $A \cup B$) to zbiór wszystkich liczb, które należą do przynajmniej jednego z tych przedziałów (albo do $A$, albo do $B$, albo do obu).

• Interpretacja: Jest to połączenie elementów obu przedziałów w jeden większy zbiór.
• Przykład:
• Jeżeli $A = \langle 1, 5)$ i $B = (3, 7\rangle$, to suma $A \cup B$ obejmuje wszystkie liczby od $1$ do $7$ (włącznie), zatem $A \cup B = \langle 1, 7\rangle$.
• Jeżeli $A = \langle - \infty, 0)$ i $B = \langle 1, \infty)$, to $A \cup B$ to $\langle - \infty, 0) \cup \langle 1, \infty)$ (przedziały są rozłączne, więc zostają zapisane obok siebie ze znakiem sumy).

2. Iloczyn przedziałów ($\cap$) – część wspólna

Definicja: Iloczyn (lub część wspólna) dwóch przedziałów $A$ i $B$ (oznaczany jako $A \cap B$) to zbiór wszystkich liczb, które należą do obu przedziałów jednocześnie.

• Interpretacja: Jest to zbiór „nakładania się” obu przedziałów.
• Przykład:
• Jeżeli $A = \langle 1, 5)$ i $B = (3, 7\rangle$, to liczby należące jednocześnie do obu zbiorów to te większe niż $3$ i mniejsze niż $5$. Zatem $A \cap B = (3, 5)$.
• Jeżeli przedziały są rozłączne (np. $A = \langle 1, 3\rangle$ i $B = \langle 5, 7\rangle$), to ich iloczyn jest zbiorem pustym ($\emptyset$).

3. Różnica przedziałów ($\setminus$) – wykluczenie elementów

Definicja: Różnica przedziałów $A$ i $B$ (oznaczana jako $A \setminus B$) to zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału $A$, ale nie należą do przedziału $B$.

• Interpretacja: Usuwamy z pierwszego przedziału $A$ wszystkie elementy, które są wspólne z przedziałem $B$.
• Przykład:
• Jeżeli $A = \langle 0, 10\rangle$ i $B = (3, 7)$, to chcemy ze zbioru $A$ usunąć przedział otwarty $(3, 7)$. Otrzymujemy: $A \setminus B = \langle 0, 3\rangle \cup \langle 7, 10\rangle$. Zauważ, że z $B$ usuwamy liczby $3$ i $7$, więc w różnicy muszą się one pojawić jako domknięte końce.
• Jeżeli $A = \langle 5, 10\rangle$ i $B = \langle 1, 6\rangle$, to $A \setminus B$ usuwa z $A$ część wspólną $\langle 5, 6\rangle$. Wynik to: $(6, 10\rangle$. (Liczba $6$ została usunięta z $A$, bo należała do $B$, więc w różnicy jest otwarta).

💡 Warto zapamiętać

Przy wykonywaniu działań na przedziałach zawsze pomagaj sobie rysunkiem na osi liczbowej. Wizualizacja, gdzie przedziały się pokrywają (iloczyn), a gdzie się kończą i zaczynają (suma), znacząco ułatwia poprawne określenie końców nowego przedziału, zwłaszcza przy nawiasach domkniętych i otwartych.