Matura podstawowa matematyka czerwiec 2012 arkusz + PDF

Dodatkowy • CKE • czerwiec 2012 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Instrukcje dla zdającego: sprawdzenie liczby stron, sposób zaznaczania odpowiedzi, użycie czarnego długopisu lub pióra, zakaz używania korektora, możliwość korzystania z zestawu wzorów, wpisanie numeru PESEL i naklejki z kodem. Czas pracy: 170 minut, liczba punktów do uzyskania: 50.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 2: Zadanie 1: Ułamek √5+2/√5-2 jest równy. Zadanie 2: Liczbami spełniającymi równanie |2x+3|=5 są. Zadanie 3: Równanie (x+5)(x-3)(x²+1)=0 ma. Zadanie 4: Marża 1,5% kwoty pożyczonego kapitału wynosi 3000 zł. Ile pożyczono? Zadanie 5: Na jednym z rysunków przedstawiono wykres funkcji y=x²+2x-3. Wskaż rysunek.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 3: Brudnopis, strona zawiera kratkowany arkusz do notatek i obliczeń pomocniczych, brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 4: Zadanie 6: wierzchołkiem paraboli funkcji f(x)=x²-4x+4 jest punkt o współrzędnych. Zadanie 7: jeden kąt trójkąta ma miarę 54°, z pozostałych kątów jeden jest 6 razy większy od drugiego, miary pozostałych kątów są równe. Zadanie 8: krótszy bok prostokąta ma długość 6, kąt między przekątną a dłuższym bokiem ma miarę 30°, długość dłuższego boku. Zadanie 9: cięciwa okręgu długości 8 cm, oddalona od środka o 3 cm, promień okręgu. Zadanie 10: punkt O jest środkiem okręgu, kąt wpisany BAD. Zadanie 11: pięciokąt ABCDE foremny, wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 5: Brudnopis, strona zawiera siatkę kratkowaną do wykonywania obliczeń pomocniczych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 6: Zadanie 12: Punkt O jest środkiem okręgu na rysunku. Równanie okręgu to: A. (x-2)²+(y-1)²=9, B. (x-2)²+(y-1)²=3, C. (x+2)²+(y+1)²=9, D. (x+2)²+(y+1)²=3. Zadanie 13: Wyrażenie (3x+1)/(x-2) - (2x-1)/(x+3) jest równe: A. (x²+15x+1)/(x-2)(x+3), B. (x+2)/(x-2)(x+3), C. x/(x-2)(x+3), D. (x+2)/-5. Zadanie 14: Ciąg (aₙ) określony wzorem aₙ=√2n+4 dla n≥1. Wówczas A. a₅=2√5, B. a₅=8, C. a₅=5√2, D. a₅=√12. Zadanie 15: Ciąg (2√2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas A. a=8√2, B. a=4√2, C. a=8-2√2, D. a=8+2√2. Zadanie 16: Kąt α jest ostry i tgα=1. Wówczas A. α<30°, B. α=30°, C. α=45°, D. α>45°. Zadanie 17: Dziedzina funkcji f(x)=(x-7)/(2x+a) to (-∞,2)∪(2,+∞). Wówczas A. a=2, B. a=-2, C. a=4, D. a=-4.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 7: Brudnopis, strona zawiera kratkowany obszar do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 8: Zadanie 18: Wskaż wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b, gdzie a>0 i b<0. Zadanie 19: Punkt S=(2,7) jest środkiem odcinka AB, A=(-1,3), wskaż współrzędne B. Zadanie 20: Mediana wyników 6, 3, 1, 2, 5, 5. Zadanie 21: Równość (a+2√2)²=a²+28√2+8, znajdź a. Zadanie 22: Objętość stożka z trójkąta prostokątnego 4 i 6. Zadanie 23: P(A)=0,3, P(B')=0,4, A∩B=∅, znajdź P(A∪B). Zadanie 24: Przekrój osiowy walca, bok kwadratu a, znajdź r i h.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 9: Brudnopis z kratkowanym tłem, przeznaczony do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 10: Zadanie 25: rozwiąż nierówność x² - 3x - 10 < 0. Zadanie 26: średnia wieku w grupie studentów wynosi 23 lata, a średnia wieku studentów i opiekuna to 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 11: Zadanie 27: Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10, a tangens kąta ostrego wynosi 3. Oblicz pole trapezu. Zadanie 28: Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin⁴α + cos²α = sin²α + cos⁴α.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 12: Zadanie 29: Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Zadanie 30: Suma $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ początkowych $n$ wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest określona wzorem $S_n = n^2 - 2n$ dla $n \geq 1$. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 13: Zadanie 31: Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu. Strona zawiera siatkę do rysunków.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 14: Zadanie 32: Punkty A = (2,11), B = (8,23), C = (6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 15: Zadanie 33: oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 16: Zadanie 34: Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF oraz krawędziach bocznych AD, BE i CF. Długość krawędzi podstawy AB wynosi 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Rysunek przedstawia graniastosłup z oznaczeniami wierzchołków.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 17: Strona zawiera pustą kratkowaną przestrzeń przeznaczoną na rozwiązanie zadań. Brak widocznych treści zadań.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 18: Brudnopis. Strona przeznaczona do notatek i obliczeń pomocniczych, bez zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): Usuwanie niewymierności z mianownika, odpowiedź D. Zadanie 2 (1 pkt): Wartość bezwzględna w równaniu, odpowiedź A. Zadanie 3 (1 pkt): Odczytanie z postaci iloczynowej, odpowiedź A. Zadanie 4 (1 pkt): Obliczenia procentowe, odpowiedź C. Zadanie 5 (1 pkt): Wykres funkcji kwadratowej, odpowiedź A. Zadanie 6 (1 pkt): Współrzędne wierzchołka paraboli, odpowiedź D. Zadanie 7 (1 pkt): Związki miarowe w trójkącie, odpowiedź C. Zadanie 8 (1 pkt): Związki miarowe i funkcje trygonometryczne, odpowiedź C.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 3: Zadanie 9: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, odpowiedź C. Zadanie 10: Związki między kątem wpisanym i środkowym, odpowiedź D. Zadanie 11: Wskazanie trójkąta przystającego, odpowiedź B. Zadanie 12: Równanie okręgu, odpowiedź A. Zadanie 13: Różnica wyrażeń wymiernych, odpowiedź A. Zadanie 14: Wyraz ciągu liczbowego, odpowiedź A. Zadanie 15: Wyraz ciągu geometrycznego, odpowiedź B. Zadanie 16: Miara kąta ostrego, odpowiedź C. Zadanie 17: Wzór funkcji, odpowiedź D.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 4: Zadanie 18: Interpretacja znaków współczynników a i b we wzorze funkcji liniowej, odpowiedź C. Zadanie 19: Wykorzystanie współrzędnych środka odcinka, odpowiedź A. Zadanie 20: Wyznaczenie mediany zbioru danych, odpowiedź C. Zadanie 21: Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia, odpowiedź C. Zadanie 22: Obliczenie objętości stożka, odpowiedź C. Zadanie 23: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, odpowiedź D. Zadanie 24: Wyznaczenie związków miarowych w walcu, odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 5: Zadanie 25 (0–2 pkt): Rozwiązanie nierówności kwadratowej x²-3x-10. Metody: obliczenie pierwiastków x₁=-2, x₂=5, rozkład na czynniki (x+2)(x-5)<0, przekształcenie nierówności do postaci |x-3/2|<7/2. Wynik: zbiór rozwiązań -2<x<5, ilustracja na osi liczbowej z przedziałem (-2,5). Punktacja: 1 pkt za poprawne obliczenia, 2 pkt za podanie zbioru rozwiązań lub ilustrację.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 6: Zadanie 26 (0-2 pkt): Modelowanie matematyczne, zastosowanie definicji średniej arytmetycznej. I sposób: równanie 23x+39/x+1=24, rozwiązanie x=15, odpowiedź: 15 studentów. II sposób: układ równań S/x=23, S+39/x+1=24, rozwiązanie x=15, odpowiedź: 15 studentów. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie średniej, 2 pkt za obliczenie liczby studentów.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 7: Zadanie 27 (0–2): Obliczenie pola trapezu prostokątnego. Zastosowanie funkcji trygonometrycznych. Obliczamy wysokość trapezu $h$, korzystając z tangensa kąta ostrego: $\frac{h}{4} = 3$, więc $h = 12$. Pole trapezu: $\frac{(6+10) \cdot 12}{2} = 96$. Szkic trapezu z zaznaczoną wysokością $h$ i kątem $\alpha$. Punktacja: 1 pkt za obliczenie $h$, 2 pkt za poprawne pole $P = 96$.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 8: Zadanie 28 (0-2 pkt): Rozumowanie i argumentacja, uzasadnienie tożsamości trygonometrycznej z zastosowaniem prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego. I sposób: sin⁴α - sin²α = cos⁴α - cos²α, przekształcenie do sin²α(sin²α-1) = cos²α(cos²α-1), L = P. II sposób: sin⁴α - cos⁴α = sin²α - cos²α, L = P. III sposób: L = sin⁴α + cos⁴α = P. Każdy sposób oceniany na 1 lub 2 pkt w zależności od poprawności.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 9: Zadanie IV: przekształcenie wyrażenia trygonometrycznego sin²α·sin²α+cos²α=sin²α+cos⁴α, zastosowanie tożsamości trygonometrycznych, końcowy wynik L=P. Zadanie V: przekształcenie sin⁴α−cos⁴α=sin²α−cos²α, uproszczenie do 1−2cos²α+cos⁴α−cos⁴α=1−2cos²α, wynik L=P. Schematy oceniania: 1 pkt za uproszczenie do jednej funkcji, 2 pkt za pełne rozumowanie i uzasadnienie tożsamości.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 10: Zadanie 29 (0–2 pkt): Przeprowadzenie dowodu algebraicznego. I sposób: trzy liczby całkowite n-1, n, n+1, suma kwadratów (n-1)²+n²+(n+1)²=3n²+2, reszta z dzielenia przez 3 równa 2. II sposób: liczby n, n+1, n+2, suma kwadratów n²+(n+1)²+(n+2)²=3n²+6n+5, reszta z dzielenia przez 3 równa 2. Uwagi o kongruencjach: a≡0, b≡1, c≡2 (mod 3), a²+b²+c²≡5≡2 (mod 3).

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 11: Zadanie 30 (0–2 pkt): Modelowanie matematyczne, zastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego. I sposób: obliczenia sum częściowych S₁=-1, S₂=0, wyprowadzenie wzoru aₙ=2n-3. II sposób: różnica sum Sₙ-Sₙ₋₁, obliczenia prowadzą do aₙ=2n-3. Schemat oceniania: 1 pkt za obliczenie sum częściowych, 2 pkt za poprawne wyznaczenie wzoru aₙ=2n-3. Uwagi dotyczące alternatywnych zapisów układów równań.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2012, CKE - strona 12: Zadanie 31 (0–2 pkt): wykorzystanie związków miarowych w figurach płaskich. Rozwiązanie obejmuje układ równań z warunków zadania: $a \cdot h = 50\sqrt{2}$ i $\frac{h}{a} = \sin 45^\circ$. Obliczenia prowadzą do $h = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ oraz $a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} a = 50\sqrt{2}$. Szkic trapezu z kątem 45° i oznaczeniami $a$ oraz $h$.$