Tablice maturalne z matematyki - karty wzorów CKE

Przeglądaj tablice maturalne z matematyki bezpośrednio w przeglądarce. Poziom podstawowy z usuniętymi niepotrzebnymi wzorami i rozszerzony z dopisanymi brakującymi wzorami. Pobierz PDF lub drukuj bezpośrednio.

Czym jest karta wzorów CKE

„Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki” to broszura Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Zdający korzysta z niej podczas matury z matematyki w formule 2023, na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Oficjalny plik PDF (36 stron) jest na stronie CKE.

Działy karty wzorów CKE

Wartość bezwzględna liczby
Potęgi i pierwiastki
Logarytmy
Silnia. Współczynnik dwumianowy
Wzór dwumianowy Newtona
Wzory skróconego mnożenia
Funkcja kwadratowa
Ciągi
Trygonometria
Planimetria
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
Stereometria
Kombinatoryka
Rachunek prawdopodobieństwa
Parametry danych statystycznych
Pochodna funkcji
Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

Podgląd tablic maturalnych

Wybierz poziom, aby zobaczyć zawartość tablic. Możesz przeglądać, powiększać i drukować tablice bezpośrednio w przeglądarce.

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 1

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 2

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 3

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 4

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 5

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 6

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 7

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 8

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 9

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 10

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 11

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 12

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 13

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 14

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 15

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 16

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 17

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 18

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 19

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 20

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 21

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 22

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 23

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 24

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 25

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 26

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 27

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 28

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 29

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 30

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 31

Tablice matematyczne, matura podstawowa - strona 32

Tablice maturalne - poziom podstawowy

Pobierz PDF (32 str.)

Bez podawania maila. Chcesz powtórzyć materiał przed maturą?

Zapisz się na bezpłatne szkolenie

Tablice maturalne - poziom rozszerzony

Pobierz PDF (40 str.)

Bez podawania maila. Chcesz powtórzyć materiał przed maturą?

Zapisz się na bezpłatne szkolenie

Wzory maturalne z matematyki

Wzory z karty CKE przepisane jako tekst, w kolejności działów broszury. Na egzaminie korzystasz z wersji drukowanej, którą dostajesz na sali.

1. Wartość bezwzględna liczby

$Definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej x$
$\displaystyle |x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$
$Dla dowolnej liczby x$
$\displaystyle |x| \ge 0$ $\displaystyle |x| = 0 \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } x = 0$ $\displaystyle |-x| = |x|$
$Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y$
$\displaystyle |x+y| \le |x| + |y|$ $\displaystyle |x-y| \le |x| + |y|$ $\displaystyle |x \cdot y| = |x| \cdot |y|$
$Dla y \neq 0$
$\displaystyle \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$
$Dla dowolnych liczb rzeczywistych a oraz r \geq 0$
$\displaystyle |x-a| \le r \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a-r \le x \le a+r$
$Dla dowolnych liczb rzeczywistych a oraz r \geq 0$
$\displaystyle |x-a| \ge r \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } x \le a-r \text{ lub } x \ge a+r$

2. Potęgi i pierwiastki

$n-ta potęga liczby a, dla n całkowitego dodatniego$
$\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ razy}}$
$Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z a \geq 0 to liczba b \geq 0, dla której zachodzi$
$\displaystyle \sqrt[n]{a} = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } b^n = a$
$Dla każdej liczby rzeczywistej a$
$\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|$
$Dla a < 0 i n nieparzystego pierwiastek to liczba b < 0, dla której$
$\displaystyle b^n = a$
$Dla a \neq 0, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią$
$\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a^0 = 1$
$Dla a \geq 0, gdzie m, n są liczbami całkowitymi dodatnimi$
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
$Dla a > 0, gdzie m, n są liczbami całkowitymi dodatnimi$
$\displaystyle a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
$Dla a > 0, b > 0 i dowolnych r, s (dla wykładników całkowitych: a \neq 0, b \neq 0)$
$\displaystyle a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ $\displaystyle (a^r)^s = a^{r \cdot s}$ $\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
$Dla a > 0, b > 0 i dowolnego r (dla wykładników całkowitych: a \neq 0, b \neq 0)$
$\displaystyle (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$ $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$
$Dla a \in (0, 1) i dowolnych x, y$
$\displaystyle a^x < a^y \iff x > y$
$Dla a \in (1, +\infty) i dowolnych x, y$
$\displaystyle a^x < a^y \iff x < y$

3. Logarytmy

$Definicja logarytmu: dla a > 0, a \neq 1 i b > 0$
$\displaystyle \log_a b = c \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^c = b$
$Równoważnie$
$\displaystyle a^{\log_a b} = b$
$Dla x > 0, y > 0 i dowolnego r$
$\displaystyle \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ $\displaystyle \log_a x^r = r \cdot \log_a x$
$Dla x > 0, y > 0$
$\displaystyle \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$Zamiana podstawy: dla a > 0, a \neq 1, b > 0, b \neq 1 i c > 0$
$\displaystyle \log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$
$W szczególności$
$\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
$Oznaczenie logarytmu dziesiętnego$
$\displaystyle \log x = \lg x = \log_{10} x$

4. Silnia. Współczynnik dwumianowy

$Silnia liczby całkowitej dodatniej n$
$\displaystyle n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$
$Umowa$
$\displaystyle 0! = 1$
$Dla dowolnej liczby całkowitej n \geq 0$
$\displaystyle (n+1)! = n! \cdot (n+1)$
$Współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) dla liczb całkowitych 0 \leq k \leq n$
$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$
$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}$
$\displaystyle \binom{n}{0} = 1$ $\displaystyle \binom{n}{1} = n$ $\displaystyle \binom{n}{n-1} = n$ $\displaystyle \binom{n}{n} = 1$
$\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ $\displaystyle \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

5. Wzór dwumianowy Newtona

$Dla całkowitego dodatniego n i dowolnych liczb rzeczywistych a, b$
$\displaystyle (a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots + \binom{n}{k}a^{n-k}b^k + \ldots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$
$Dla całkowitego dodatniego n i dowolnych liczb rzeczywistych a, b$
$\displaystyle (a-b)^n = \binom{n}{0}a^n - \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots + (-1)^k\binom{n}{k}a^{n-k}b^k + \ldots + (-1)^n\binom{n}{n}b^n$

6. Wzory skróconego mnożenia

$Kwadrat sumy i różnicy$
$\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $\displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$Sześcian sumy i różnicy$
$\displaystyle (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $\displaystyle (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$Dla całkowitego dodatniego n$
$\displaystyle a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + a^{n-k}b^{k-1} + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$
$Różnica kwadratów$
$\displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ $\displaystyle a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$
$Różnica sześcianów$
$\displaystyle a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ $\displaystyle a^3 - 1 = (a-1)(a^2 + a + 1)$
$Suma sześcianów$
$\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $\displaystyle a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$
$\displaystyle a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + a + 1)$

7. Funkcja kwadratowa

$Wyróżnik trójmianu kwadratowego ax² + bx + c, gdzie a \neq 0$
$\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$
$Postać ogólna funkcji kwadratowej$
$\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c,\ a \ne 0,\ b, c \in \mathbb{R},\ x \in \mathbb{R}$
$Wierzchołek paraboli; dla a < 0 ramiona w dół, dla a > 0 w górę$
$\displaystyle W = (p, q) \quad \text{gdzie} \quad p = -\frac{b}{2a},$ $\displaystyle q = -\frac{\Delta}{4a}$
$Dla Δ > 0: dwa miejsca zerowe$
$\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$Dla Δ = 0: jedno miejsce zerowe; dla Δ < 0 brak miejsc zerowych$
$\displaystyle x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
$Postać kanoniczna$
$\displaystyle f(x) = a(x-p)^2 + q$
$Postać iloczynowa, dla Δ \geq 0$
$\displaystyle f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
$Wzory Viète’a, dla Δ \geq 0$
$\displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $\displaystyle x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

8. Ciągi

$n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r$
$\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)r$
$Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego$
$\displaystyle S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ $\displaystyle S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$
$Sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego$
$\displaystyle a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \text{dla } n \ge 2$
$n-ty wyraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q$
$\displaystyle a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \quad \text{dla } n \ge 2$
$Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego$
$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \quad \text{dla } q \ne 1$ $\displaystyle S_n = n \cdot a_1 \quad \text{dla } q = 1$
$Sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego$
$\displaystyle (a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad \text{dla } n \ge 2$
$Suma nieskończonego ciągu geometrycznego, dla |q| < 1$
$\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q}$
$Granice ciągów zbieżnych, gdy lim aₙ = a i lim bₙ = b$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = a + b$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = a - b$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n) = a \cdot b$
$Granica ilorazu, gdy ponadto bₙ \neq 0 dla n \geq 1 oraz b \neq 0$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{a}{b}$
$Twierdzenie o trzech ciągach: gdy aₙ \leq bₙ \leq cₙ dla n \geq 1 i lim aₙ = lim cₙ = g$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = g$
$Procent składany: kapitał końcowy po n latach przy oprocentowaniu p% rocznie$
$\displaystyle K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$
$Wybrane granice$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1$
$Dla każdego a > 0$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1$
$Dla każdego q \in (-1, 1)$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = 0$
$Dla każdego k > 0$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^k} = 0$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^k = +\infty$

9. Trygonometria

$Kąt ostry α w trójkącie prostokątnym: a - przyprostokątna naprzeciw α, b - przy α, c - przeciwprostokątna$
$\displaystyle \sin\alpha = \frac{a}{c}$ $\displaystyle \cos\alpha = \frac{b}{c}$ $\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha = \frac{a}{b}$
$Dowolny kąt α, punkt M(x, y) na ramieniu kąta, r = |OM|$
$\displaystyle \sin\alpha = \frac{y}{r}$ $\displaystyle \cos\alpha = \frac{x}{r}$ $\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha = \frac{y}{x},\ \text{o ile } x \ne 0$ $\displaystyle r = |OM| = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$
$Jedynka trygonometryczna$
$\displaystyle \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
$Tangens jako iloraz$
$\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad \text{dla } \alpha \ne \frac{1}{2}\pi + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$
$Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów$
$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ & 0 & \frac{1}{6}\pi & \frac{1}{4}\pi & \frac{1}{3}\pi & \frac{1}{2}\pi \\ \hline \sin\alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \cos\alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \operatorname{tg}\,\alpha & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{nie istnieje} \end{array}$
$Sinus sumy i różnicy kątów$
$\displaystyle \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
$Cosinus sumy i różnicy kątów$
$\displaystyle \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
$Tangens sumy kątów$
$\displaystyle \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\beta}{1 - \operatorname{tg}\,\alpha \cdot \operatorname{tg}\,\beta} \quad \text{gdy } \alpha, \beta, \alpha+\beta \ne \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$
$Tangens różnicy kątów$
$\displaystyle \operatorname{tg}(\alpha-\beta) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\beta}{1 + \operatorname{tg}\,\alpha \cdot \operatorname{tg}\,\beta} \quad \text{gdy } \alpha, \beta, \alpha-\beta \ne \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$
$Sinus podwojonego kąta$
$\displaystyle \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$Cosinus podwojonego kąta$
$\displaystyle \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
$Tangens podwojonego kąta, o ile tg α istnieje i tg² α \neq 1$
$\displaystyle \operatorname{tg}\,2\alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$
$Wzory redukcyjne dla 90°$
$\displaystyle \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ $\displaystyle \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ $\displaystyle \sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ $\displaystyle \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$
$Wzory redukcyjne dla 180° - α$
$\displaystyle \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ $\displaystyle \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ $\displaystyle \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\,\alpha$
$Wzory redukcyjne dla 180° + α$
$\displaystyle \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$ $\displaystyle \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$ $\displaystyle \operatorname{tg}(180^\circ + \alpha) = \operatorname{tg}\,\alpha$
$Suma i różnica sinusów$
$\displaystyle \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\displaystyle \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$Suma i różnica cosinusów$
$\displaystyle \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\displaystyle \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$Iloczyn sinusów$
$\displaystyle \sin\alpha \cdot \sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]$
$Iloczyn cosinusów$
$\displaystyle \cos\alpha \cdot \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$
$Iloczyn sinusa i cosinusa$
$\displaystyle \sin\alpha \cdot \cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
$Okresowość: dla każdego kąta α i liczby całkowitej k$
$\displaystyle \sin(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin\alpha$ $\displaystyle \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos\alpha$
$Okresowość tangensa, gdy α \neq 90° + m \cdot 180°, m \in Z$
$\displaystyle \operatorname{tg}(\alpha + k \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg}\,\alpha$

10. Planimetria

$Połowa obwodu trójkąta ABC o bokach a, b, c$
$\displaystyle p = \frac{a+b+c}{2}$
$Twierdzenie Pitagorasa: kąt γ przy wierzchołku C jest prosty (c - przeciwprostokątna)$
$\displaystyle a^2 + b^2 = c^2$
$Twierdzenie sinusów (R - promień okręgu opisanego; α, β, γ - kąty przy A, B, C)$
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = 2R$ $\displaystyle \frac{b}{\sin\beta} = 2R$ $\displaystyle \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$
$Twierdzenie cosinusów$
$\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$ $\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$ $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$
$Pole trójkąta: bok i wysokość opuszczona na ten bok$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$
$Pole trójkąta: dwa boki i sinus kąta między nimi$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} ab \cdot \sin\gamma = \frac{1}{2} bc \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} ca \cdot \sin\beta$
$Pole trójkąta: boki i promień R okręgu opisanego; połowa obwodu p i promień r okręgu wpisanego$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R}$ $\displaystyle P_{\Delta ABC} = p \cdot r$
$Wzór Herona (p - połowa obwodu)$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$Pole trójkąta: bok i sinusy kątów$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sin\beta \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{1}{2} b^2 \cdot \frac{\sin\gamma \cdot \sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{\sin\alpha \cdot \sin\beta}{\sin\gamma}$
$Pole trójkąta: promień R okręgu opisanego i sinusy kątów$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = 2R^2 \cdot \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \sin\gamma$
$h_c$
$\displaystyle h_c = \sqrt{|AD| \cdot |DB|}$ $\displaystyle h_c = \frac{ab}{c}$
$Trójkąt prostokątny: promienie okręgu wpisanego r i opisanego R (c - przeciwprostokątna)$
$\displaystyle r = \frac{a+b-c}{2}$ $\displaystyle R = \frac{1}{2} c$
$Trójkąt prostokątny: przyprostokątna a naprzeciw kąta α przy A, β - kąt przy B$
$\displaystyle a = c \cdot \sin\alpha = c \cdot \cos\beta = b \cdot \operatorname{tg}\alpha = b \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}\beta}$
$Trójkąt równoboczny o boku a: wysokość h i pole$
$\displaystyle h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle P_{\Delta} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
$Trójkąt równoboczny: promienie okręgu wpisanego r i opisanego R$
$\displaystyle r = \frac{1}{3} h$ $\displaystyle R = \frac{2}{3} h$
$Cecha przystawania trójkątów ABC i KLM „bok-bok-bok” (przykład)$
$\displaystyle |AB| = |KL|,\ |BC| = |KM|,\ |CA| = |ML|$
$Cecha przystawania „bok-kąt-bok”: dwa boki i kąt między nimi (przykład)$
$\displaystyle |AB| = |KL|,\ |BC| = |KM| \ \text{ i } \ |\sphericalangle ABC| = |\sphericalangle LKM|$
$Cecha przystawania „kąt-bok-kąt”: bok i dwa kąty do niego przyległe (przykład)$
$\displaystyle |AB| = |KL| \ \text{ oraz } \ |\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle KLM| \ \text{ i } \ |\sphericalangle ABC| = |\sphericalangle LKM|$
$Cecha podobieństwa trójkątów ABC i KLM „bok-bok-bok” (przykład)$
$\displaystyle \frac{|AB|}{|KL|} = \frac{|BC|}{|LM|} = \frac{|CA|}{|MK|}$
$Cecha podobieństwa „bok-kąt-bok”: dwa boki proporcjonalne i kąt między nimi (przykład)$
$\displaystyle \frac{|AB|}{|KL|} = \frac{|AC|}{|KM|} \ \text{ i } \ |\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle LKM|$
$Cecha podobieństwa „kąt-kąt-kąt” (przykład)$
$\displaystyle |\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle LKM| \ \text{ i } \ |\sphericalangle ABC| = |\sphericalangle KLM| \ \text{ i } \ |\sphericalangle ACB| = |\sphericalangle KML|$
$Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego (zewnętrznego) z C, przecinającej prostą AB w D$
$\displaystyle \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BC|}$
$Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: różne proste AB i CD przecinają się w P, a punkty A i C leżą oba wewnątrz odcinków PB i PD albo oba na zewnątrz; jeżeli zachodzi równość, to AC ∥ BD$
$\displaystyle \frac{|AB|}{|PA|} = \frac{|CD|}{|PC|}$
$Twierdzenie Talesa: przy tych samych założeniach o punktach, jeżeli proste AC i BD są równoległe, to$
$\displaystyle \frac{|AB|}{|PA|} = \frac{|CD|}{|PC|}$
$Pole koła o promieniu r$
$\displaystyle P = \pi r^2$
$Obwód koła o promieniu r$
$\displaystyle L = 2\pi r$
$Pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α w stopniach$
$\displaystyle P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$
$Długość łuku AB wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α w stopniach$
$\displaystyle L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$
$Kąt między styczną AC a cięciwą AB (P na okręgu poza kątem CAB, O - środek okręgu)$
$\displaystyle |\sphericalangle APB| = |\sphericalangle CAB| \quad \text{i} \quad |\sphericalangle AOB| = 2 \cdot |\sphericalangle CAB|$
$Odcinki styczne: styczne w punktach A i B przecinają się w punkcie P$
$\displaystyle |PA| = |PB|$
$Sieczna przez A i B oraz styczna w punkcie C przecinają się w punkcie P$
$\displaystyle |PA| \cdot |PB| = |PC|^2$
$Pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h$
$\displaystyle P = \frac{a+b}{2} \cdot h$
$Pole równoległoboku: bok a, wysokość h, boki a i b z kątem α, przekątne AC i BD z kątem γ$
$\displaystyle P = ah$ $\displaystyle P = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ $\displaystyle P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin\gamma$
$Pole rombu o boku a: wysokość h, kąt ostry α, przekątne AC i BD$
$\displaystyle P = ah$ $\displaystyle P = a^2 \cdot \sin\alpha$ $\displaystyle P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD|$
$Pole deltoidu o przekątnych AC i BD$
$\displaystyle P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD|$
$Okrąg opisany na czworokącie: kąty α, β, γ, δ kolejno, α i γ oraz β i δ przeciwległe$
$\displaystyle \alpha + \gamma = \beta + \delta$ $\displaystyle \alpha + \gamma = 180^\circ$ $\displaystyle \beta + \delta = 180^\circ$
$Okrąg wpisany w czworokąt wypukły: boki a, b, c, d kolejno, a i c oraz b i d przeciwległe$
$\displaystyle a + c = b + d$
$Pola figur podobnych: figura B podobna do figury A w skali k$
$\displaystyle \frac{P_{\mathcal{B}}}{P_{\mathcal{A}}} = k^2$

11. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

$A = (x_A, y_A)$
$\displaystyle |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
$S = (x_S, y_S)$
$\displaystyle x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$ $\displaystyle y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$
$Równanie kierunkowe prostej nierównoległej do osi Oy; przecina oś Oy w punkcie (0, b)$
$\displaystyle y = ax + b$
$Współczynnik kierunkowy prostej (α - kąt nachylenia prostej do osi Ox)$
$\displaystyle a = \operatorname{tg}\alpha$
$P = (x_0, y_0)$
$\displaystyle y = a(x - x_0) + y_0$
$A = (x_A, y_A)$
$\displaystyle y - y_A = a(x - x_A) \quad \text{gdzie} \quad a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad \text{gdy} \quad x_B \neq x_A$
$Równanie ogólne prostej (A = 0: równoległa do Ox; B = 0: do Oy; C = 0: przez początek układu)$
$\displaystyle Ax + By + C = 0, \quad \text{gdzie} \quad A, B, C \in \mathbb{R} \ \text{i} \ A^2 + B^2 \neq 0$
$A = (x_A, y_A)$
$\displaystyle (y - y_A)(x_B - x_A) - (y_B - y_A)(x - x_A) = 0$
$Proste y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy$
$\displaystyle a_1 = a_2$
$Proste A₁x + B₁y + C₁ = 0 i A₂x + B₂y + C₂ = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy$
$\displaystyle A_1 \cdot B_2 - A_2 \cdot B_1 = 0$
$Proste y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy$
$\displaystyle a_1 \cdot a_2 = -1$
$Proste A₁x + B₁y + C₁ = 0 i A₂x + B₂y + C₂ = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy$
$\displaystyle A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = 0$
$P = (x_0, y_0)$
$\displaystyle d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 w postaci kanonicznej$
$\displaystyle (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
$Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 w postaci ogólnej$
$\displaystyle x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0, \quad \text{gdzie} \quad c = a^2 + b^2 - r^2$
$A = (x_A, y_A)$
$\displaystyle \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$
$Suma wektorów u = [u₁, u₂] i v = [v₁, v₂] oraz iloczyn wektora przez liczbę a$
$\displaystyle \vec{u} + \vec{v} = [u_1 + v_1, u_2 + v_2]$ $\displaystyle a \cdot \vec{u} = [a \cdot u_1, a \cdot u_2]$
$Długość wektora u = [u₁, u₂]$
$\displaystyle |\vec{u}| = \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2}$
$Przesunięcie o wektor u = [a, b] przekształca punkt P = (x, y) na punkt$
$\displaystyle P' = (x + a, y + b)$
$Symetria osiowa względem osi Ox przekształca punkt P = (x, y) na punkt$
$\displaystyle P' = (x, -y)$
$Symetria osiowa względem osi Oy przekształca punkt P = (x, y) na punkt$
$\displaystyle P' = (-x, y)$
$Symetria środkowa względem punktu K = (a, b) przekształca punkt P = (x, y) na punkt$
$\displaystyle P' = (2a - x, 2b - y)$
$Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca P = (x, y) na$
$\displaystyle P' = (-x, -y)$
$A = (x_A, y_A)$
$\displaystyle P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|$

12. Stereometria

$Prostopadłościan o krawędziach a, b, c: pole powierzchni całkowitej$
$\displaystyle P_c = 2(ab + bc + ca)$
$Prostopadłościan o krawędziach a, b, c: objętość$
$\displaystyle V = abc$
$Graniastosłup prosty: pole powierzchni bocznej (Ob to obwód podstawy, h to wysokość)$
$\displaystyle P_b = Ob \cdot h$
$Graniastosłup prosty: objętość (Pp to pole podstawy, h to wysokość)$
$\displaystyle V = P_p \cdot h$
$Ostrosłup: objętość (Pp to pole podstawy, h to wysokość ostrosłupa)$
$\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h$
$Walec o promieniu podstawy r i wysokości h: pole powierzchni bocznej$
$\displaystyle P_b = 2\pi rh$
$Walec o promieniu podstawy r i wysokości h: pole powierzchni całkowitej$
$\displaystyle P_c = 2\pi r(r + h)$
$Walec o promieniu podstawy r i wysokości h: objętość$
$\displaystyle V = \pi r^2 h$
$Stożek o promieniu podstawy r i tworzącej l: pole powierzchni bocznej$
$\displaystyle P_b = \pi rl$
$Stożek o promieniu podstawy r i tworzącej l: pole powierzchni całkowitej$
$\displaystyle P_c = \pi r(r + l)$
$Stożek o promieniu podstawy r i wysokości h: objętość$
$\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$Kula o promieniu r: pole powierzchni$
$\displaystyle P_c = 4\pi r^2$
$Kula o promieniu r: objętość$
$\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$

13. Kombinatoryka

$Permutacje: liczba sposobów ustawienia n różnych elementów w ciąg$
$\displaystyle n!$
$Kombinacje: liczba sposobów wyboru k z n różnych elementów$
$\displaystyle \binom{n}{k}$ $\displaystyle (0 \le k \le n)$
$Wariacje z powtórzeniami: liczba k-wyrazowych ciągów z n różnych elementów$
$\displaystyle n^k$
$Wariacje bez powtórzeń: liczba k-wyrazowych ciągów o różnych wyrazach z n elementów$
$\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$ $\displaystyle (1 \le k \le n)$

14. Rachunek prawdopodobieństwa

$Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A zawartego w Ω$
$\displaystyle 0 \le P(A) \le 1$ $\displaystyle \text{dla każdego zdarzenia } A \subset \Omega$
$Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego i pewnego$
$\displaystyle P(\emptyset) = 0$ $\displaystyle P(\Omega) = 1$
$Monotoniczność prawdopodobieństwa$
$\displaystyle P(A) \le P(B)$ $\displaystyle \text{dla każdych zdarzeń } A \text{ oraz } B \text{ takich, że } A \subset B \subset \Omega$
$Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A'$
$\displaystyle P(A') = 1 - P(A)$ $\displaystyle \text{gdzie } A' \text{ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia } A \subset \Omega$
$Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń$
$\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $\displaystyle \text{dla każdych zdarzeń } A, B \subset \Omega$
$Oszacowanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń$
$\displaystyle P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$ $\displaystyle \text{dla każdych zdarzeń } A, B \subset \Omega$
$Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: Ω to niepusty skończony zbiór zdarzeń elementarnych, wszystkie jednakowo prawdopodobne (|A| to liczba zdarzeń sprzyjających, |Ω| to liczba wszystkich)$
$\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
$Schemat Bernoullego: prawdopodobieństwo porażki przy prawdopodobieństwie sukcesu p$
$\displaystyle q = 1 - p$
$Schemat Bernoullego: prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach$
$\displaystyle P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ $\displaystyle (0 \le k \le n)$
$Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem B, gdy P(B) > 0$
$\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (B1, \dots, Bn parami rozłączne, suma to Ω, P(Bi) > 0)$
$\displaystyle P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)$
$Twierdzenie Bayesa (te same założenia o B1, \dots, Bn oraz P(A) > 0, 1 \leq k \leq n)$
$\displaystyle P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)}$
$Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o wartościach x1, \dots, xn z prawdopodobieństwami p1, \dots, pn$
$\displaystyle \mathbb{E}(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n$

15. Parametry danych statystycznych

$Średnia arytmetyczna liczb a1, \dots, an$
$\displaystyle \overline{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$
$Średnia geometryczna liczb nieujemnych a1, \dots, an$
$\displaystyle \overline{g} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}$
$Średnia kwadratowa liczb a1, \dots, an$
$\displaystyle \overline{k} = \sqrt{\frac{(a_1)^2 + (a_2)^2 + \ldots + (a_n)^2}{n}}$
$Nierówności między średnimi liczb nieujemnych (równość wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są równe)$
$\displaystyle \overline{k} \ge \overline{a} \ge \overline{g}$
$Średnia ważona liczb a1, \dots, an z dodatnimi wagami w1, \dots, wn$
$\displaystyle \overline{s} = \frac{w_1 \cdot a_1 + w_2 \cdot a_2 + \ldots + w_n \cdot a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$
$Mediana uporządkowanych niemalejąco danych a1, \dots, an, gdy n jest nieparzyste (środkowy wyraz)$
$\displaystyle a_{\frac{n+1}{2}}$
$Mediana uporządkowanych niemalejąco danych a1, \dots, an, gdy n jest parzyste (średnia dwóch środkowych)$
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left(a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2}+1}\right)$
$Wariancja danych a1, \dots, an o średniej arytmetycznej ā$
$\displaystyle \sigma^2 = \frac{(a_1 - \overline{a})^2 + (a_2 - \overline{a})^2 + \ldots + (a_n - \overline{a})^2}{n}$
$Wariancja: równoważny wzór$
$\displaystyle \sigma^2 = \frac{(a_1)^2 + (a_2)^2 + \ldots + (a_n)^2}{n} - (\overline{a})^2$
$Odchylenie standardowe (pierwiastek kwadratowy z wariancji)$
$\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{(a_1 - \overline{a})^2 + (a_2 - \overline{a})^2 + \ldots + (a_n - \overline{a})^2}{n}}$

16. Pochodna funkcji

$Pochodna iloczynu funkcji przez stałą$
$\displaystyle [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x)$ $\displaystyle \text{dla } c \in \mathbb{R}$
$Pochodna sumy funkcji$
$\displaystyle [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)$
$Pochodna różnicy funkcji$
$\displaystyle [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)$
$Pochodna iloczynu funkcji$
$\displaystyle [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$Pochodna ilorazu funkcji$
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$ $\displaystyle \text{gdy } g(x) \ne 0$
$Pochodna funkcji złożonej$
$\displaystyle \left[g\big(f(x)\big)\right]' = g'\big(f(x)\big) \cdot f'(x)$
$Pochodna funkcji stałej (a, b, c, r to dowolne liczby rzeczywiste)$
$\displaystyle f(x) = c$ $\displaystyle f'(x) = 0$
$Pochodna funkcji liniowej$
$\displaystyle f(x) = ax + b$ $\displaystyle f'(x) = a$
$Pochodna funkcji kwadratowej$
$\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$ $\displaystyle f'(x) = 2ax + b$
$Pochodna funkcji potęgowej$
$\displaystyle f(x) = x^r$ $\displaystyle f'(x) = r \cdot x^{r-1}$
$Pochodna funkcji a/x$
$\displaystyle f(x) = \frac{a}{x}$ $\displaystyle f'(x) = -\frac{a}{x^2}$
$Pochodna pierwiastka kwadratowego$
$\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$ $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$Pochodna sinusa$
$\displaystyle f(x) = \sin x$ $\displaystyle f'(x) = \cos x$
$Pochodna cosinusa$
$\displaystyle f(x) = \cos x$ $\displaystyle f'(x) = -\sin x$
$Pochodna tangensa$
$\displaystyle f(x) = \operatorname{tg} x$ $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(\cos x)^2}$
$Pochodna funkcji wykładniczej o podstawie e (liczba Eulera)$
$\displaystyle f(x) = e^x$ $\displaystyle f'(x) = e^x$
$Liczba Eulera$
$\displaystyle e \approx 2{,}72$
$Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)), gdzie a = f'(x0)$
$\displaystyle y = a(x - x_0) + f(x_0)$ $\displaystyle a = f'(x_0)$