Matura podstawowa matematyka czerwiec 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Dodatkowy • CKE • czerwiec 2024 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

B. $(-4)$

C. $2$

A. $(-16)$

D. $4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_3(\frac{3}{2}) + \log_3(\frac{2}{9})$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $(-1)$

A. $\log_3\frac{31}{18}$

D. $\frac{1}{3}$

B. $\log_3\frac{5}{11}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(2\sqrt{10} + \sqrt{2})^2$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

B. $42$

D. $42 + 8\sqrt{5}$

C. $42 + 4\sqrt{5}$

A. $22$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości $K_o$ zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględnienia podatków) jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. $K_o \cdot 1.18$

A. $K_o \cdot (1.06)^3$

B. $K_o \cdot (1.02)^3$

C. $K_o \cdot (1.03)^6$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $5n^3 - 5n$ jest podzielna przez $30$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności

$\frac{3x - 5}{12} < \frac{1}{3}$

jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. $6$

C. $5$

A. $2$

B. $3$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ -4x + 8y = -12 \end{cases}$

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązań.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od: $(-1)$, $0$ i $1$, wartość wyrażenia $\frac{2x^2}{x^2 - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

D. $\frac{2x^3 + 1}{x^3 - 1}$

A. $2x + 2$

C. $\frac{2x}{x^2 - 1}$

B. $\frac{2x}{x - 1}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Wielomian $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ jest iloczynem wielomianów $F(x) = (2 - 3x)^2$ oraz $G(x) = 3x - 2$.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $a + b + c + d$ współczynników wielomianu $W$ jest równa $......$.

Wpisz odpowiedź:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie

$4x^3 - 12x^2 - x + 3 = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Na rysunku $1$., w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z prostą o równaniu $y = 2$ ma obie współrzędne całkowite.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) \le 2$ jest przedział $...........................$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Kliknij, aby powiększyć

Na rysunku $2$., w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, przedstawiono wykres funkcji $g$, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $Ox$ o $4$ jednostki w lewo.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź $1$. albo $2$.

Funkcje $f$ i $g$ są powiązane zależnością

Wybierz odpowiedź:

A. $g(x) = f(x + 4)$

B. $g(x) = f(x - 4)$

C. $g(x) = f(x) - 4$

oraz mają takie same

Wybierz odpowiedź:

1. dziedziny.

2. zbiory wartości.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcja $y = f(x)$ jest określona za pomocą tabeli

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Prawda

Fałsz

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ jest symetryczny względem osi $Oy$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x) = (3 - m)x + 4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $m$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

B. $3$

A. $0$

D. $5$

C. $4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ dokładnie dwa punkty wspólne: $M = (0, 18)$ oraz $N = (3, 0)$.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x + 1)^2 + 4$.

Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, fragment wykresu funkcji $y = f(x)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji $y = f(x)$ przedstawiono na rysunku

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x + 1)^2 + 4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ w punkcie o współrzędnych $(0, 4)$.

Prawda

Fałsz

Miejsca zerowe funkcji $f$ są równe: $(-3)$ oraz $1$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1} + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. $100$

B. $7$

A. $3$

C. $50$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1} + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest malejący.

Prawda

Fałsz

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, dane są wyrazy: $a_1 = 7$ oraz $a_2 = 13$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz $a_{10}$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

C. $61$

A. $(-47)$

B. $52$

D. $67$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Trzywyrazowy ciąg $(-1, 2, x)$ jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg $(-1, 2, y)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Wybierz odpowiedź:

D. $x < 0$ i $y < 0$

C. $x < 0$ i $y > 0$

B. $x > 0$ i $y < 0$

A. $x > 0$ i $y > 0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $1 + \cos^227\degree$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2 - \sin^227\degree$

D. $2$

B. $\sin^227\degree$

C. $2+ \sin^227\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB| = 8$ oraz $|CD| = 5$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $45\degree$

B. $30\degree$

A. $15\degree$

D. $60\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Długość łuku $AB$, na którym jest oparty kąt wpisany $ACB$, jest równa $\frac{1}{5}$ długości okręgu (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ACB$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $18\degree$

C. $36\degree$

B. $30\degree$

D. $72\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość równą $12$. Punkt $S$ jest środkiem boku $BC$ tego kwadratu. Na odcinku $AS$ leży punkt $P$ taki, że odcinek $BP$ jest prostopadły do odcinka $AS$.

Oblicz długość odcinka $BP$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Do okręgu $\mathcal{O}$ należy punkt o współrzędnych $(-1, -3)$.

Prawda

Fałsz

Promień okręgu $\mathcal{O}$ jest równy $5$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$

Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

B. $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$

A. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$

D. $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

C. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (2, 8)$ oraz $B = (10, 2)$. Symetralna odcinka $AB$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punkcie $P$.

Oblicz współrzędne punktu $P$ oraz długość odcinka $AP$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Ostrosłup prawidłowy ma $2024$ ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. $4052$

B. $2026$

C. $4048$

A. $2025$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Przekątna ściany sześcianu ma długość $2\sqrt{2}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

Wybierz odpowiedź:

B. $24$

A. $8$

D. $16\sqrt{2}$

C. $\frac{16\sqrt{6}}{9}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\tg\alpha = 2$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

C. $8\sqrt{2}$

B. $8$

D. $16\sqrt{2}$

A. $2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wybierz odpowiedź:

D. $4.1(6)$

C. $3.5$

A. $3$

B. $3.12$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $2$, $4$, $7$ (np.: $7272$, $2222$, $7244$), jest

Wybierz odpowiedź:

A. $16$

D. $81$

C. $54$

B. $27$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe $\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Wybierz odpowiedź:

D. $30$

C. $15$

A. $9$

B. $12$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 36

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym. Formy arkusza: MMAP-P0-100, MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-400, MMAP-P0-Q00. Termin egzaminu: 4 czerwca 2024 r. Data publikacji dokumentu: 28 czerwca 2024 r. Brak szczegółowych rozwiązań zadań na tej stronie.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 2: Uwagi ogólne dotyczące oceniania rozwiązań. Zadanie 1 (0–1): Wymagania egzaminacyjne 2024 dotyczące sprawności rachunkowej, w tym wykonywania działań na liczbach rzeczywistych i stosowania praw działań matematycznych. Rozwiązanie: D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0–1): Wymagania dotyczące logarytmowania, rozwiązanie C, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 3 (0–1): Wymagania dotyczące sprawności rachunkowej i stosowania wzorów skróconego mnożenia, rozwiązanie D, 1 pkt za poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 4: Zadanie 4 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące wykorzystania języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych i uzasadniania wniosków. Wymaganie szczegółowe: wykorzystanie własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak. Rozwiązanie: A.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 5: Zadanie 5 (0–2 pkt): przekształcenie wyrażenia $5n^3 - 5n$ do postaci iloczynowej $5n(n-1)(n+1)$. Pełne rozwiązanie: rozkład na czynniki, dowód podzielności przez 5, 2 i 3, liczba $5n(n-1)(n+1)$ podzielna przez 30. Uwagi: 0 pkt za sprawdzanie tylko dla wybranych $n$. Zasady oceniania: 2 pkt za pełne przekształcenie i dowód, 1 pkt za przekształcenie bez dowodu, 0 pkt za niepoprawną metodę.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 6: Zadanie 6 (0–1 pkt): rozwiązanie nierówności liniowej z jedną niewiadomą, odpowiedź A. Zadanie 7 (0–1 pkt): rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi, odpowiedź D. Każde zadanie oceniane na 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 7: Zadanie 8 (1 pkt): wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, odpowiedź B. Zadanie 9 (1 pkt): mnożenie wielomianów, obliczanie wartości funkcji, odpowiedź 1.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 8: Zadanie 10 (0–3 pkt): rozwiązanie równania wielomianowego W(x)=4x³-12x²-x+3=0 metodą grupowania. Kluczowe kroki: przekształcenie równania do postaci iloczynowej (x-3)(4x²-1), wyznaczenie pierwiastków x=3, x=-1/2, x=1/2. Punktacja: 3 pkt za pełne rozwiązanie, 2 pkt za częściowe przekształcenie, 1 pkt za zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 9: Zadanie dotyczące przekształcenia równania 4x³ - 12x² - x + 3 = 0. Opisano różne metody przekształcenia, w tym zapisanie równania jako (x - 3)(4x² - 1) = 0 oraz alternatywy. Wskazówki dotyczą punktacji za poprawne rozwiązania, uwzględniając różne przypadki przekształceń i błędów. Brak elementów graficznych, skupienie na metodach algebraicznych i punktacji.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 10: Zadanie 5.2: rozwiązanie równania 4x² - 1 = 0, x = ±1/2, 1 punkt. Zadanie 5.3: zapisanie równania (x + 3)(4x² - 1) = 0, x = 3, x = ±1/2, 1 punkt. Zadanie 6: przekształcenie równania 4x³ - 12x² - x + 3 = 0, błędne znaki, 1 punkt. Zadanie 7: dzielenie równania przez (x - 3), x = ±1/2, 2 punkty. Zadanie 8: dzielenie równania przez (x - 3) bez założenia, x = ±1/2, 1 punkt. Przykładowe rozwiązania: metoda grupowania, x = 3, ±1/2.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 11: Zadanie 4: rozwiązanie równania 4x³ - 12x² - x + 3 = 0. Sposób III: obliczanie pierwiastków wielomianu poprzez dzielenie przez dwumian (x - 3), uzyskanie równań (x - 3)(2x - 1)(2x + 1) = 0, rozwiązania: x = 3, x = 1/2, x = -1/2. Sposób IV: potwierdzenie pierwiastków 3, 1/2, -1/2 poprzez obliczenia wartości W(x). Rozwiązania: (-1/2), 1/2, 3.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 12: Zadanie 11.1 (0–1 pkt): Wymaganie interpretacji danych z wykresu funkcji, ocena 1 pkt za poprawną odpowiedź, 0 pkt za brak lub błędną odpowiedź. Rozwiązanie: [0, 4]. Zadanie 11.2 (0–1 pkt): Interpretacja i szkicowanie wykresów funkcji, ocena 1 pkt za poprawną odpowiedź, 0 pkt za brak lub błędną odpowiedź. Rozwiązanie: A2.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 13: Zadanie 12 (0–1 pkt): interpretacja wartości funkcji z tabel, rozwiązanie: FF. Zadanie 13 (0–1 pkt): wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej własnościach, rozwiązanie: D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub niepoprawną albo brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 14: Zadanie 14 (0–2): Wymagania egzaminacyjne dotyczące wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i zapisanie wzoru funkcji z poprawnymi współczynnikami. Przykładowe rozwiązanie: zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej f(x) = a(x-3)², gdzie a ≠ 0. Obliczenia: f(0) = 18, a(0-3)² = 18, 9a = 18, a = 2. Końcowy wynik: f(x) = 2(x-3)².

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 15: Zadanie 7: wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c, gdzie punkt M=(0,18) leży na wykresie, więc c=18. Punkt N=(3,0) to miejsce zerowe, więc Δ=b²-4ac=0, x₀=-b/2a=3. Obliczenia: b=-6a, 36a(a-2)=0, a=2, b=-12. Funkcja f(x)=2x²-12x+18.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 16: Zadanie 15.1 (0–1 pkt): Wymagania obejmują szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej. Rozwiązanie: B. Zadanie 15.2 (0–1 pkt): Obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym i interpretacja współczynników we wzorze funkcji kwadratowej. Rozwiązanie: FP. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepełną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 17: Zadanie 16.1 (1 pkt): obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, rozwiązanie C. Zadanie 16.2 (1 pkt): badanie, czy ciąg jest rosnący, malejący lub geometryczny, rozwiązanie FF. Brak elementów wizualnych. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 18: Zadanie 17 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące wykorzystania wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Rozwiązanie: C. Zadanie 18 (0–1 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące wykorzystania własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych do rozwiązywania zadań. Rozwiązanie: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 19: Zadanie 19 (1 pkt): wykorzystanie wzorów trygonometrycznych, sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα, odpowiedź A. Zadanie 20 (1 pkt): obliczanie kątów trójkąta, zastosowanie strategii w sytuacjach nietypowych, odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 20: Zadanie 21 (0–1 pkt): Rozumowanie i argumentacja, wymagania egzaminacyjne 2024, zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: C.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 21: Zadanie 22 (0–2 pkt): Wymagania egzaminacyjne dotyczące rozumowania i argumentacji oraz korzystania z cech podobieństwa trójkątów. Obliczenie długości odcinka BP: $ |BP| = \frac{12\sqrt{5}}{5} $. Obliczenie długości AS: $ |AS| = 6\sqrt{5} $. Szkic trójkąta prostokątnego ABS z wysokością BP na przeciwprostokątną AS. Punkt S jest środkiem odcinka BC, $ |BS| = 6 $.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 22: Zadanie 1: Obliczanie długości odcinka AS z twierdzenia Pitagorasa, |AS|²=12²+6²=180, |AS|=√180=6√5. Zadanie 2: Obliczanie długości odcinka BP jako wysokości trójkąta prostokątnego, |BP|=12√5/5. Zadanie 3: Pole trójkąta ABS, Pₐₛ=½·6√5·|BP| oraz Pₐₛ=½·12·6=36. Rysunek przedstawiający trójkąt prostokątny ABS z zaznaczonymi odcinkami i kątami.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 23: Zadanie 7: obliczenie długości odcinka BP w trójkącie prostokątnym ABS, gdzie BS=6. Rozwiązanie metodą podobieństwa trójkątów, cecha kąt-kąt-kąt. Kluczowe kroki: 1/2·6√5·|BP|=36, |BP|=12√5/5. Szkic trójkąta ABS z zaznaczonymi kątami α i β, oraz odcinkiem BP jako wysokością.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 24: Zadanie (3 pkt): obliczenie długości odcinka BP w trójkącie prostokątnym ABS. tg α = 1/2, |BP| = 2x, |AP| = 4x, |AS| = 5x. Z twierdzenia Pitagorasa: |AS| = 6√5, x = 6√5/5, |BP| = 12√5/5. Szkic trójkąta prostokątnego z zaznaczonymi kątami i odcinkami. Trójkąty ABS i BPS są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 25: Zadanie 5: obliczenie długości odcinka BP w trójkącie prostokątnym ABS. Oznaczenia: x=|BP|, α=|∠BAP|=|∠PBS|, β=90°-α=|∠ABP|=|∠BSP|. tg α=1/2, |PS|=1/2x. Z twierdzenia Pitagorasa: |BP|²+|PS|²=6², 5/4x²=36, x²=144/5, x=12√5/5. Długość BP=12√5/5. Sposób V: punkt S środkiem odcinka BC, |BS|=6. Trójkąty ABS, AMP, PMB podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 26: Zadanie 7: Obliczenie długości odcinka BP w trójkącie MBP. Oznaczenia: x=|MB|, α=∠BAP=∠BPM, β=90°−α. Dane: tgα=1/2, |MP|=2x, |AM|=4x, |AB|=5x=12, x=12/5. Z twierdzenia Pitagorasa: |BP|²=|MB|²+|MP|², |BP|²=(12/5)²+(24/5)²=720/25, |BP|=√(720/25)=12√5/5. Długość odcinka BP wynosi 12√5/5. Szkic trójkąta z oznaczeniami kątów i długości.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 27: Zadanie 6: rozwiązanie zadania z geometrii dotyczącego trójkąta prostokątnego ABS, gdzie punkt S jest środkiem odcinka BC. Obliczenia obejmują wykorzystanie funkcji trygonometrycznych i tożsamości sin²α + cos²α = 1. Kluczowe kroki: tgα=1/2, sinα=1/√5, długość odcinka BP=12√5/5. Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny z zaznaczonymi kątami i odcinkiem BP jako wysokością.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 28: Zadanie 23.1 (1 pkt): wykorzystanie równania okręgu (x-a)²+(y-b)²=r², odpowiedź PF. Zadanie 23.2 (1 pkt): wyznaczanie obrazu okręgów w symetrii środkowej, odpowiedź D. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub niepoprawną.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 29: Zadanie 24 (0–4): Wymagania egzaminacyjne 2024, rozumowanie i argumentacja. 4 pkt: obliczenie współrzędnych punktu P oraz długości odcinka AP, wyniki: P=(9/4,0), |AP|=5√41/4. 3 pkt: obliczenie współrzędnych punktu P. 2 pkt: wyznaczenie równania symetralnej odcinka AB: y=4/3x−3. 1 pkt: współrzędne środka M odcinka AB: M=(6,5), współczynnik kierunkowy a_AB=−3/4.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 30: Wytyczne dotyczące oceniania zadań związanych z rozważaniem punktu P na osi Ox. Zawiera zasady przyznawania punktów za poprawność rozumowania i błędy rachunkowe. Opisuje sytuacje, w których zdający może otrzymać 0, 1, 2 lub 3 punkty, w zależności od poprawności zastosowanych metod i wniosków. Wymienia błędy, takie jak niepoprawne wzory na współczynniki kierunkowe, odległości czy symetralne.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 31: Zadanie 1: Obliczanie współczynnika kierunkowego prostej AB, a_AB = -3/4. Współczynnik symetralnej k odcinka AB, a_k = 4/3. Środek M odcinka AB, M = (6, 5). Równanie prostej k: y = (4/3)x - 3. Punkt P przecięcia symetralnej z osią OX, P = (9/4, 0). Obliczanie długości odcinka AP, wynik: 5√41/4.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 32: Zadanie 7: Rozwiązanie zadania dotyczącego współrzędnych punktu P na osi Ox, gdzie P=(xp,0). Wyznaczenie xp z równania odległości między punktami, otrzymano xp=9/4. Obliczanie długości odcinka AP, wynik |AP|=5√41/4. Wykorzystano wzory na odległość między punktami i symetrię odcinka. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 33: Zadanie 3: Obliczanie współrzędnych punktu P na osi Ox, środek odcinka M(6,5), wektory MA i MP, równanie prostopadłości wektorów, rozwiązanie równania -4(xp-6)+3(-5)=0, xp=9/4, współrzędne P=(9/4,0). Obliczanie długości odcinka AP, wynik |AP|=5√41/4.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 34: Zadanie 25 (1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, zadanie zliczające obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, poprawna odpowiedź C. Zadanie 26 (1 pkt): Obliczanie objętości graniastosłupów, poprawna odpowiedź A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 35: Zadanie 27 (0–1 pkt): Wymagania ogólne dotyczą wykorzystania i interpretowania reprezentacji, rozwiązanie C. Zadanie 28 (0–1 pkt): Wymagania ogólne obejmują sprawność rachunkową, rozwiązanie B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 36: Zadanie 29 (1 pkt): Wymagania ogólne obejmują wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji oraz dobieranie modeli matematycznych. Rozwiązanie: C. Zadanie 30 (1 pkt): Obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym. Rozwiązanie: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 37: Zadanie 31 (0–2 pkt): obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A w modelu klasycznym. 2 pkt: poprawna metoda i wynik P(A) = 15/36. 1 pkt: wypisanie zdarzeń elementarnych, tabela 36 pól, drzewo stochastyczne, prawdopodobieństwo jednego zdarzenia 1/36. 0 pkt: niepoprawna metoda. Uwagi dotyczące punktacji za zapisanie liczb bez kontekstu.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 38: Zadanie 1: Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A. Sposób I: Tabela z zaznaczonymi zdarzeniami sprzyjającymi, moc zbioru Ω=36, zdarzeń sprzyjających=15, prawdopodobieństwo=15/36=5/12. Sposób II: Drzewo stochastyczne, obliczenia prawdopodobieństwa poprzez sumowanie gałęzi, wynik=5/12. Elementy wizualne: tabela i drzewo stochastyczne.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 39: Zadanie 32 (0-2 pkt): Wymagania egzaminacyjne 2024 dotyczące wykorzystania i interpretowania reprezentacji oraz tworzenia modeli matematycznych. Zasady oceniania: 2 pkt za dwie poprawne odpowiedzi, 1 pkt za jedną poprawną, 0 pkt za brak lub błędną. Rozwiązanie: 32.1. A, 32.2. E.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 40: Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych, uwzględniające błędy takie jak błędne przepisanie, przestawienie cyfr, zapisanie innej cyfry, przestawienie przecinka i znaku liczby. Zasady przyznawania punktów za poprawne metody rozwiązań, nawet przy nieprecyzyjnych zapisach. Szczegółowe zasady dotyczące wyznaczania pierwiastków i rozwiązywania nierówności kwadratowych oraz stosowania własności funkcji kwadratowej.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 41: Zadanie 5 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia $5n^3 - 5n$ do postaci $5n(n^2 - 1)$. Zadanie 9: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 10 (1 pkt): przekształcenie wielomianu $4x^3 - 12x^2 - x + 3$ do postaci $4x^2(x - 3) - (x - 3)$ lub $x(4x^2 - 1) - 3(4x^2 - 1)$, zapisanie jednego z rozwiązań równania $4x^3 - 12x^2 - x + 3 = 0$.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2024, CKE - strona 42: Zadanie 11.1: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 14: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 22: 1 pkt za zapisanie podobieństwa trójkątów ABS i APB lub innych kombinacji. Zadanie 24: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 31: 1 pkt za zapisanie liczby 36 jako liczby zdarzeń elementarnych. Uwagi dotyczące oceniania dla zdających z dyskalkulią i błędów w zliczeniach.

Matura podstawowa matematyka czerwiec 2024 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie