Matura podstawowa matematyka maj 2010 arkusz + PDF

CKE • maj 2010 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Pobierz oficjalne materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 1: Instrukcje dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 20 stron (zadania 1–34). Rozwiązania wpisuj w wyznaczonym miejscu. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1–25) przenieś na kartę odpowiedzi. Pisz tylko długopisem lub piórem z czarnym tuszem. Nie używaj korektora. Możesz korzystać z zestawu wzorów, cyrkla, linijki i kalkulatora. Wpisz numer PESEL na karcie odpowiedzi. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 2: Zadanie 1: wskaż rysunek przedstawiający zbiór rozwiązań nierówności |x+7|>5. Zadanie 2: spodnie po obniżce o 30% kosztują 126 zł, ile kosztowały przed obniżką? Zadanie 3: liczba $\left(\frac{2^{-2} \cdot 3^{-1}}{2^{-1} \cdot 3^{-2}}\right)^0$ jest równa. Zadanie 4: liczba log₄8 + log₄2 jest równa. Zadanie 5: dane są wielomiany W(x)=-2x³+5x²-3 i P(x)=2x³+12x, wyznacz W(x)+P(x).$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 3: Brudnopis, strona zawiera siatkę kratkowaną do robienia notatek i obliczeń pomocniczych.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 4: Zadanie 6: rozwiązaniem równania (3x-1)/(7x+1)=2/5 jest. Zadanie 7: do zbioru rozwiązań nierówności (x-2)(x+3)<0 należy liczba. Zadanie 8: wierzchołek paraboli funkcji kwadratowej f(x)=-3x²+3 jest w punkcie. Zadanie 9: prosta y=-2x+(3m+3) przecina oś Oy w punkcie (0,2), wtedy m. Zadanie 10: wykres funkcji y=f(x), które równanie ma trzy rozwiązania? Zadanie 11: w ciągu arytmetycznym a₃=13, a₅=39, wyraz a₁. Zadanie 12: w ciągu geometrycznym a₁=3, a₄=24, iloraz ciągu.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 5: Brudnopis z siatką do wykonywania obliczeń i notatek pomocniczych. Strona nie zawiera zadań ani treści do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 6: Zadanie 13: liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa A) 7, B) 14, C) 21, D) 28. Zadanie 14: kąt α jest ostry i sin α = 3/4, wartość wyrażenia 2 - cos² α jest równa A) 25/16, B) 3/2, C) 17/16, D) 31/16. Zadanie 15: okrąg opisany na kwadracie ma promień 4, długość boku kwadratu jest równa A) 4√2, B) 2√2, C) 8, D) 4. Zadanie 16: podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, ramię 5, wysokość opuszczona na podstawę ma długość A) 3, B) 4, C) √34, D) √61. Zadanie 17: odcinki AB i DE są równoległe, długości CD, DE, AB to 1, 3, 9, długość AD jest równa A) 2, B) 3, C) 5, D) 6. Zadanie 18: punkty A, B, C na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego, miara kąta środkowego ASB jest równa A) 120°, B) 90°, C) 60°, D) 30°.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 7: Brudnopis z kratkami do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 8: Zadanie 19: latawiec z trójkątem o bokach 80 cm, kąt 30°, powierzchnia zacieniowanego trójkąta. Zadanie 20: współczynnik kierunkowy prostej równoległej do y=-3x+5. Zadanie 21: równanie okręgu o promieniu 6. Zadanie 22: obwód trójkąta równobocznego z wierzchołkami A=(-5,2), B=(3,-2). Zadanie 23: pole powierzchni prostopadłościanu 5x3x4. Zadanie 24: liczba krawędzi ostrosłupa z 18 wierzchołkami. Zadanie 25: średnia arytmetyczna liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 równa 3, znajdź x.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 9: Brudnopis z kratkami, przeznaczony do notatek i obliczeń pomocniczych, bez zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 10: Zadanie 26: Rozwiąż nierówność x² - x - 2 ≤ 0. Zadanie 27: Rozwiąż równanie x³ - 7x² - 4x + 28 = 0.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 11: Zadanie 28: Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone jak na rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykazać, że |AD|=|BE|. Rysunek przedstawia trójkąty ABC i CDE z zaznaczonymi wierzchołkami A, B, C, D, E. Na dole strony tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerami zadań 26, 27, 28 i maksymalną liczbą punktów do zdobycia.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 12: Zadanie 29: Kąt α jest ostry i tgα = 5/12. Oblicz cosα. Zadanie 30: Wykaż, że jeśli a > 0, to (a²+1)/(a+1) ≥ (a+1)/2.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 13: Zadanie 31: W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 14: Zadanie 32: Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktami D, B, C oraz zaznaczoną wysokością AD.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 15: Pusta strona z kratkami przeznaczona na odpowiedź do zadania 32. Na dole strony znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 32, maksymalną liczbą punktów 4 oraz miejscem na wpisanie uzyskanej liczby punktów.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 16: Zadanie 33: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 17: Pusta strona z siatką do rysunków. Na dole tabelka do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 33, maksymalną liczbą punktów 4 i miejscem na wpisanie uzyskanej liczby punktów.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 18: Zadanie 34: W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m². Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m² oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 19: Pusta strona z siatką do rysunków i tabelą na dole do wypełnienia przez egzaminatora. Tabela zawiera: Nr zadania 34, Maks. liczba pkt 5, Uzyskana liczba pkt. Brak treści zadań.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 20: Brudnopis, strona przeznaczona na notatki i obliczenia pomocnicze, bez zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): interpretacja wartości bezwzględnej, odpowiedź C. Zadanie 2 (1 pkt): obliczenia procentowe, odpowiedź B. Zadanie 3 (1 pkt): działania na potęgach, odpowiedź A. Zadanie 4 (1 pkt): suma logarytmów, odpowiedź B. Zadanie 5 (1 pkt): dodawanie wielomianów, odpowiedź A.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 3: Zadanie 6 (1 pkt): rozwiązanie prostego równania wymiernego do równania liniowego, odpowiedź D. Zadanie 7 (1 pkt): sprawdzenie przynależności liczby do zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej, odpowiedź D. Zadanie 8 (1 pkt): odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z funkcji kwadratowej, odpowiedź B. Zadanie 9 (1 pkt): interpretowanie współczynników funkcji liniowej, odpowiedź B. Zadanie 10 (1 pkt): odczytywanie wartości funkcji z wykresu, odpowiedź C. Zadanie 11 (1 pkt): wyznaczanie wyrazów ciągu arytmetycznego, odpowiedź C.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 4: Zadanie 12 (1 pkt): Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego, poprawna odpowiedź B. Zadanie 13 (1 pkt): Obliczanie liczby przekątnych wielokąta, poprawna odpowiedź B. Zadanie 14 (1 pkt): Stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego, poprawna odpowiedź A. Zadanie 15 (1 pkt): Wyznaczanie długości boku kwadratu wpisanego w okrąg, poprawna odpowiedź A. Zadanie 16 (1 pkt): Twierdzenie Pitagorasa do wysokości trójkąta równoramiennego, poprawna odpowiedź B. Zadanie 17 (1 pkt): Własności figur podobnych do obliczania długości odcinków, poprawna odpowiedź A.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 5: Zadanie 18 (1 pkt): wykorzystanie związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta, poprawna odpowiedź A. Zadanie 19 (1 pkt): obliczanie pola figury płaskiej z funkcjami trygonometrycznymi, poprawna odpowiedź C. Zadanie 20 (1 pkt): wskazanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej, poprawna odpowiedź B. Zadanie 21 (1 pkt): wskazanie równania okręgu, poprawna odpowiedź D. Zadanie 22 (1 pkt): obliczanie odległości punktów, poprawna odpowiedź C.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 6: Zadanie 23 (1 pkt): obliczanie pola powierzchni wielościanu, poprawna odpowiedź A. Zadanie 24 (1 pkt): obliczanie liczby krawędzi wielościanu, poprawna odpowiedź D. Zadanie 25 (1 pkt): obliczanie średniej arytmetycznej, poprawna odpowiedź D. Zadanie 26 (0-2 pkt): rozwiązywanie nierówności kwadratowej, obliczanie wyróżnika Δ=9, pierwiastki x₁=-1, x₂=2, zastosowanie wzorów Viète’a, zapis nierówności w postaci (x+1)(x-2)≤0.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 7: Zadanie: rozwiązanie nierówności kwadratowej metodą kanoniczną, przekształcenie do postaci iloczynowej (x+1)(x-2), pierwiastki x₁=-1, x₂=2. Wykres funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Rozwiązanie nierówności: -1 ≤ x ≤ 2. Punktacja: 1 pkt za wyznaczenie pierwiastków lub postaci iloczynowej, 2 pkt za poprawne podanie zbioru rozwiązań lub ilustrację geometryczną.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 8: Zadanie 27 (0-2): Rozwiązanie równania wielomianowego metodą grupowania i dzielenia. I sposób: grupowanie wyrazów, równanie w postaci iloczynowej, rozwiązania x=7, x=-2, x=2. II sposób: dzielenie przez dwumiany, różne warianty, rozwiązania x=7, x=-2, x=2. Schemat oceniania: 1 pkt za poprawne grupowanie, 2 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 9: Zadanie 27 (1-2 pkt): podział wielomianu x³-7x²-4x+28 przez dwumian, różne metody, wynik x²-5x-14 lub x²-9x+14, poprawne rozwiązania x=2, x=-2, x=7. Zadanie 28 (0-2 pkt): dowód geometryczny przystawania trójkątów ACD i BCE, użycie cechy bkb, równość odcinków i kątów, uzasadnienie przystawania, wymagane udowodnienie równości kątów ACD i BCE.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 10: Zadanie 29 (0-2 pkt): I sposób rozwiązania (jedynka trygonometryczna), sin α = 5/12 cos α, 25/144 cos² α + cos² α = 1, cos α = 12/13. II sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny), c² = (12x)² + (5x)², c = 13x, cos α = 12/13. Schemat oceniania: 1 pkt za przekształcenie wyrażenia do postaci zawierającej tylko cos α lub sin α z użyciem jedynki trygonometrycznej i popełnienie błędu w dalszych obliczeniach.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 11: Zadanie 29 (2 pkt): obliczenie wartości kąta α, przekształcenie wyrażenia trygonometrycznego, wynik α ≈ 22° lub α ≈ 23°. Zadanie 30 (0-2): wykazanie prawdziwości nierówności, przekształcenie nierówności a²+1/a+1 ≥ a+1/2, obliczenia prowadzą do (a-1)²/2(a+1) ≥ 0, co kończy dowód.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 12: Zadanie 4: dowód nierówności $(a-1)^2 \geq 0$ dla liczby rzeczywistej $a$. II sposób: przekształcenie nierówności do $(a-1)^2 + (a+1)^2 \geq (a+1)^2$, końcowy wniosek $a^2+1 \geq \frac{a+1}{2}$. III sposób: dowód nie wprost, założenie $\frac{a^2+1}{a+1} < \frac{a+1}{2}$, prowadzące do sprzeczności. Schemat oceniania: 1 pkt za błędne wnioski, 2 pkt za poprawne uzasadnienie nierówności.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 13: Zadanie 31 (0–2 pkt): wykorzystanie związków miarowych w trójkącie prostokątnym i równobocznym, szkic trapezu z wysokością CE, AE=3, CD=3, BC=6, DA=CE=3√3, obwód trapezu 15+3√3. Zadanie 32 (0–4 pkt): obliczanie objętości ostrosłupa, etapy: długość krawędzi AB lub AC, wysokość DE, pole podstawy, objętość ostrosłupa.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 14: Zadanie 1: Obliczenie długości boków trójkąta ABC metodą twierdzenia Pitagorasa, |AB|=5, |AC|=5. Rysunek trójkąta ABC z wysokością AE. Obliczenie wysokości AE: |AE|=4. Pole trójkąta Pₐᵦc=12. Objętość ostrosłupa V=48. Punktacja: 1 pkt za obliczenie długości boków, 2 pkt za wysokość AE, 3 pkt za pole podstawy, 4 pkt za objętość. Uwagi dotyczące poprawności metody i punktacji.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 15: Zadanie (3 pkt): II sposób rozwiązania, obliczenie pola trójkąta ABC metodą cosinusów i sinusa. Trójkąt równoramienny, |AB|=|AC|=5, |BE|=|EC|=3. Sin α=4/5, P_ABC=12. Obliczenie objętości ostrosłupa V=48. Szkic trójkąta ABC z wysokością AE. Punktacja: 1 pkt za długości krawędzi, 2 pkt za istotny postęp obliczeń sin α lub β.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 16: Zadanie 1 (3 pkt): Obliczenie pola podstawy ostrosłupa, Pₐᵦc = 12. Zadanie 2 (4 pkt): Obliczenie objętości ostrosłupa, V = 48. Zadanie 3: III sposób rozwiązania, wzór Herona na pole trójkąta ABC, Pₐᵦc = √8·2·3·3 = 12. Obliczenia długości krawędzi AB, AC = 5. Uwagi dotyczące poprawności metody i punktacji.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 17: Zadanie IV: obliczenie wysokości ściany bocznej BCD ostrosłupa i wysokości AE podstawy trójkąta ABC. Rozwiązanie wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa w trójkątach BED i ADE. Kluczowe kroki: |DE|²=160, |AE|=4, pole Pₐᵦc=12, objętość V=48. Rysunek przedstawia trójkąt BCD z oznaczeniami. Punktacja: 1 pkt za obliczenie |DE|, 2 pkt za |AE|, 3 pkt za pole Pₐᵦc, 4 pkt za objętość V.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 18: Zadanie 33 (0–4 pkt): Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji. Rozwiązanie: Ω to zbiór par (a, b) z {1,2,3,4,5,6}, |Ω|=36. Zdarzenia sprzyjające: (2,6), (4,3), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6), |A|=6. P(A)=|A|/|Ω|=1/6. Schemat oceniania: 1 pkt za minimalny postęp, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pokonanie trudności, 4 pkt za pełne rozwiązanie. Uwagi dotyczą błędów w zapisie zdarzeń.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2010, CKE - strona 19: Zadanie 34 (0–5 pkt): modelowanie matematyczne, rozwiązanie zadania z równaniami kwadratowymi. Układ równań: $x \cdot y = 240$, $(x+5) \cdot (y+2) = 350$. Przekształcenie do równania kwadratowego: $y^2 - 20y + 96 = 0$, rozwiązania: $y_1 = 8$, $y_2 = 12$. Wyniki: dla $y = 8$, $x = 30$; dla $y = 12$, $x = 20$. Schemat oceniania: 1 pkt za wprowadzenie oznaczeń, 2 pkt za zapisanie układu równań, 3 pkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 4 pkt za rozwiązanie równania kwadratowego.$