Matura podstawowa matematyka sierpień 2011 arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2011 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Sprawdź odpowiedzi i rozwiązania, aby skutecznie przygotować się do egzaminu.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Zawiera instrukcje dla zdającego, takie jak: sprawdzenie liczby stron, sposób wpisywania odpowiedzi, użycie długopisu lub pióra z czarnym tuszem, zakaz używania korektora, możliwość korzystania z zestawu wzorów, cyrkla, linijki i kalkulatora. Czas pracy wynosi 170 minut, a maksymalna liczba punktów do uzyskania to 50. Miejsce na wpisanie kodu i numeru PESEL zdającego oraz na naklejkę z kodem.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1: Rozwiązaniem równania 3(2-3x)=x-4 jest. Zadanie 2: Suma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest. Zadanie 3: Rozwiązaniem układu równań x+3y=5, 2x-y=3 jest. Zadanie 4: Funkcja liniowa f(x)=(m-2)x-11 jest rosnąca dla. Zadanie 5: Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A=(1,2) i B=(-2,5). Funkcja f ma wzór. Zadanie 6: Punkt A=(0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y=x+1. Prosta k ma równanie. Zadanie 7: Dla pewnych liczb a i b zachodzą równości: a²-b²=200 i a+b=8. Dla tych liczb a i b wartość wyrażenia a-b jest równa. Zadanie 8: Liczba |5-2|+|1-6| jest równa.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 3: Brudnopis, strona zawiera kratkowany arkusz do notatek, bez widocznych zadań egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 4: Zadanie 9: liczba log₂4 + 2log₃1 jest równa. Zadanie 10: zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x²-4 jest. Zadanie 11: dane są wielomiany W(x)=x³+3x²+x-11 i V(x)=x³+3x²+1, stopień wielomianu W(x)-V(x) jest równy. Zadanie 12: w ciągu geometrycznym (aₙ) mamy a₃=5 i a₄=15, wyraz a₅ jest równy. Zadanie 13: ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2? Zadanie 14: dane są punkty A=(1,-4) i B=(2,3), odcinek AB ma długość. Zadanie 15: kąt α jest ostry oraz sin α = cos 47°, miara kąta α jest równa. Zadanie 16: ile wyrazów ujemnych ma ciąg (aₙ) określony wzorem aₙ=2n²-9 dla n≥1? Zadanie 17: krawędź sześcianu ma długość 9, długość przekątnej tego sześcianu jest równa; rysunek sześcianu.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 5: Brudnopis z siatką kratkowaną do notatek i obliczeń pomocniczych. Strona nie zawiera zadań ani poleceń do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 6: Zadanie 18: Średnia arytmetyczna liczb 3, 1, 1, 0, x, 2 wynosi 2. Liczba x jest równa. Zadanie 19: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby dwucyfrowej podzielnej przez 30. Zadanie 20: Objętość walca o przekroju osiowym będącym kwadratem o boku 6. Zadanie 21: Pole rombu o boku 4 i kącie 60°. Zadanie 22: Promień kuli o objętości 288π. Zadanie 23: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o sumie krawędzi 90.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 7: Brudnopis, strona zawiera siatkę kwadratową do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań ani treści egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 8: Zadanie 24: rozwiąż nierówność x² - 3x + 2 < 0. Zadanie 25: udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1·2·3·...·16, jest podzielny przez 2¹⁵.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 9: Zadanie 26: Kąt α jest ostry i sin α = 1/4. Oblicz 3 + 2 tg²α. Zadanie 27: Liczby 2x + 1, 6, 16x + 2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 10: Zadanie 28: Na bokach trójkąta równobocznego ABC zbudowano kwadraty ABDE, CBGH i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny. Zadanie 29: Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 11: Zadanie 30: Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 12: Zadanie 31: Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 13: Zadanie 32: Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki: (1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, (2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, (3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, (4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 14: Zadanie 33: Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają długości: |AW|=6, |BW|=9, |CW|=7. Oblicz objętość ostrosłupa. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczonymi wierzchołkami A, B, C, D i W oraz krawędziami.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 15: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń, brak widocznych zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 16: Brudnopis z siatką kwadratową do wykonywania obliczeń i szkiców pomocniczych. Strona nie zawiera zadań egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 17: Strona zawiera tabelę odpowiedzi dla zadań zamkniętych od 1 do 23, z czterema opcjami odpowiedzi A, B, C, D dla każdego zadania. Obok znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z miejscem na sumę punktów za zadania otwarte od 0 do 27. Na dole miejsce na kod zdającego i kod egzaminatora. Strona nie zawiera treści zadań.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 1: Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania, poziom podstawowy. Strona tytułowa dokumentu z informacją o zawartości arkusza odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 2: Zadanie 24 (2 punkty): Rozwiąż nierówność x²-3x+2<0. I sposób rozwiązania: obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego Δ=1, pierwiastki x₁=1, x₂=2. Stosujemy wzory Viète’a: x₁+x₂=3, x₁·x₂=2. Rozwiązanie nierówności: 1<x<2. Wizualizacja: fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 3: Zadanie 1: rozwiązanie nierówności kwadratowej metodą przekształceń, zapisanie nierówności w postaci $(\frac{x-3}{2})^2 < \frac{1}{4}$, stąd $|\frac{x-3}{2}| < \frac{1}{2}$, wynik $1 < x < 2$. Elementy wizualne: oś liczbową z zaznaczonym przedziałem $1 < x < 2$. Punktacja: 1 pkt za doprowadzenie nierówności do postaci $|\frac{x-3}{2}| < \frac{1}{2}$, 2 pkt za poprawne rozwiązanie i przedstawienie graficzne. Uwagi dotyczą punktacji za błędy rachunkowe.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 4: Zadanie 25 (2 pkt): udowodnienie podzielności iloczynu liczb 1 do 16 przez 2¹⁵, rozkład na czynniki pierwsze liczby 16!, łącznie 15 dwójek, liczba podzielna przez 2¹⁵. Zadanie 26 (2 pkt): kąt α, sin α = 1/4, oblicz 3 + 2tg²α, obliczenia cos²α = 15/16, tg α = 1/√15, wynik 47/15. Punktacja: 1 pkt za częściowe, 2 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 5: Zadanie 7: Rysunek trójkąta prostokątnego z oznaczeniem przyprostokątnej x i przeciwprostokątnej 4x, kąt ostry α z sin α = 1/4. Z twierdzenia Pitagorasa: długość drugiej przyprostokątnej to x√15. Obliczanie tg α = 1/√15, wynik 3 + 2tg²α = 47/15. Punktacja: 1 pkt za wyznaczenie długości przyprostokątnej, 2 pkt za obliczenie wartości wyrażenia.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 6: Zadanie 27 (2 punkty): liczby 2x+1, 6, 16x+2 są wyrazami ciągu arytmetycznego. I sposób: średnia arytmetyczna, równanie (2x+1)+(16x+2)/2=6, x=1/2. II sposób: układ równań 2x+1+r=6, 2x+1+2r=16x+2, x=1/2. Punktacja: 1 pkt za zapisanie równania lub układu, 2 pkt za obliczenie x=1/2.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 7: Zadanie 28 (2 pkt): dowód, że trójkąt KGE jest równoboczny. Rysunek z kwadratami na bokach trójkąta równobocznego ABC. Rozwiązanie: rysowanie odcinków KG, CG, GE, BE, KE i KA. Wyjaśnienie, że odcinki są bokami i przekątnymi kwadratów, co prowadzi do równości długości. Obliczenia kątów: ∠GCK=165°, ∠GBE=∠EAK=165°. Wykorzystanie cechy przystawania trójkątów (bok, kąt, bok). Punktacja: 1 pkt za przystawanie, 2 pkt za pełny dowód.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 8: Zadanie 29 (2 punkty): obliczenie miary kąta środkowego opartego na krótszym łuku okręgu. Krótszy łuk to 5/12 okręgu, więc kąt środkowy to 5/12 kąta pełnego, czyli 150°. Rysunek przedstawia okrąg z zaznaczonymi punktami A, B i środkiem O. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie proporcji łuku lub układu równań, 2 pkt za poprawne obliczenie kąta 150°.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 9: Zadanie 30 (2 punkty): obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia, że numer kuli z czerwonego pudełka jest mniejszy niż z niebieskiego. I sposób rozwiązania (model klasyczny): zdarzenia elementarne jako pary liczb (a, b), obliczenia liczby par |A|=45, P(A)=9/20. II sposób rozwiązania (metoda tabeli): wypisanie par w formie tabeli, zaznaczenie par spełniających warunek.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 10: Zadanie 1: obliczenie liczby zdarzeń elementarnych w modelu klasycznym, tabela 10x10 z zaznaczonymi parami liczb, obliczenie |Ω|=100, liczba par A=45, prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=0,45. Schemat oceniania: 1 pkt za obliczenie |Ω|=100 lub |A|=45, 2 pkt za obliczenie P(A)=0,45. Uwagi dotyczące punktacji za błędne wyniki.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 11: Zadanie 31 (5 punktów): rozwiązanie układu równań dla długości i szerokości boisk. Oznaczenie długości przez a i szerokości przez b. Układ równań: a²+b²=65² i (a+4)²+(b-8)²=65². Przekształcenie do: a²+b²=65² i a²+8a+16+b²-16b+64=65². Rozwiązanie kwadratowe: b²-8b-825=0, Δ=3364, √Δ=58, b=33, a=56. Boisko w pierwszej szkole: 33 m szerokości, 56 m długości; w drugiej: 25 m szerokości, 60 m długości.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 12: Rozwiązanie zadania z układem równań z niewiadomymi a i b, np. $a^2 + b^2 = 65^2$, pokonanie trudności poprzez zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. $(2b-10)^2 + b^2 = 65^2$, rozwiązanie pełne obliczeń wymiarów boisk: pierwsza szkoła 33 m szerokości, 56 m długości; druga szkoła 25 m szerokości, 60 m długości. Punktacja: istotny postęp 2 pkt, pokonanie trudności 3 pkt, rozwiązanie z usterkami 4 pkt, pełne rozwiązanie 5 pkt.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 13: Zadanie 32 (4 punkty): obliczenie liczby pięciocyfrowych liczb spełniających warunki parzystości i porządku cyfr, z wykluczeniem cyfry 9. Rozwiązanie obejmuje ustawienie trzech cyfr parzystych w porządku malejącym (10 możliwości), wybór pierwszej cyfry (8 możliwości) i drugiej cyfry (9 możliwości). Wynik końcowy: 720 możliwości. Schemat oceniania: 1 punkt za każdy etap obliczeń, łącznie 4 punkty.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 14: Zadanie 33 (4 punkty): obliczenie objętości ostrosłupa z podstawą prostokątną ABCD i wysokością DW. Krawędzie boczne AW=6, BW=9, CW=7. Rozwiązanie wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa do obliczenia a=4√2, b=3√5, h=2. Objętość V=8√10. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami krawędzi. Punktacja: 1 pkt za minimalny postęp, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pokonanie trudności, 4 pkt za pełne rozwiązanie.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 15: Zadanie dotyczące obliczania objętości ostrosłupa. Rozwiązanie obejmuje zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych ADW, CDW, BDW i BAD. Układ równań: $a^2 + h^2 = 36$, $b^2 + h^2 = 49$, $a^2 + b^2 + h^2 = 81$. Obliczenia prowadzą do $h = 2$, $a = 4\sqrt{2}$, $b = 3\sqrt{5}$. Objętość ostrosłupa: $V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h = 8\sqrt{10}$. Szkic ostrosłupa z zaznaczonymi długościami krawędzi. Punktacja: 1 pkt za niewielki postęp, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pełne rozwiązanie.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2011, CKE - strona 16: Zadanie 4 (4 pkt): obliczenie objętości ostrosłupa, V = 8√10. Uwaga dotycząca błędów w oznaczeniu długości krawędzi na rysunku i interpretacji treści zadania, np. a² + 9² = 7², skutkujących 0 punktów za całe rozwiązanie.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Matura podstawowa matematyka sierpień 2011 arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2011 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Sprawdź odpowiedzi i rozwiązania, aby skutecznie przygotować się do egzaminu.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!