Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2012 arkusz + PDF

Dodatkowy • CKE • czerwiec 2012 • formuła 2002

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Zawiera instrukcje dla zdających, takie jak: sprawdzenie liczby stron arkusza, wpisanie rozwiązań w odpowiednim miejscu, używanie długopisu z czarnym tuszem, unikanie korektora, możliwość korzystania z kalkulatora, wpisanie numeru PESEL i przyklejenie naklejki z kodem. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 2: Zadanie 1: Rozwiąż nierówność |x−2|+|x+1|≥3x−3.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 3: Strona zawiera pustą kratkowaną siatkę bez widocznych zadań lub treści. Przestrzeń przeznaczona na rozwiązania zadań lub rysunki. Na dole strony znajduje się miejsce na odpowiedź.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 4: Zadanie 2: Wielomian $ W(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 24x + 9 $ jest kwadratem wielomianu $ P(x) = x^2 + cx + d $. Oblicz $ a $ oraz $ b $.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 5: Zadanie 3: Kąt α jest taki, że cos α + sin α = 4/3. Oblicz wartość wyrażenia |cos α - sin α|.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 6: Zadanie 4: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2x² + (3 - 2m)x - m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ takie, że |x₁ - x₂| = 3.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 7: Pusta strona z siatką do rysunków matematycznych. Brak widocznych zadań, tylko miejsce na odpowiedź.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 8: Zadanie 5: W ciągu arytmetycznym (an), dla n ≥ 1, dane są a1 = -2 oraz różnica r = 3. Oblicz największe n takie, że a1 + a2 + ... + an < 2012.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 9: Zadanie 6: Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność ac + bd ≤ √(a² + b²) * √(c² + d²).

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 10: Zadanie 7: Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0, 2) i B = (2, 0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (1, a), gdzie a > 1. Wyznacz równanie prostej l.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 11: Pusta strona z siatką do rysunków i obliczeń, brak widocznych zadań. Miejsce na odpowiedź.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 12: Zadanie 8: W czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB| = 24, |CD| = 15, |AD| = 7. Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 13: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń, brak widocznych zadań. Na dole strony miejsce na odpowiedź.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 14: Zadanie 9: Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 15: Zadanie 10: Na płaszczyźnie dane są punkty A=(3,-2) i B=(11,4). Na prostej o równaniu y=8x+10 znajdź punkt P, dla którego suma |AP|² + |BP|² jest najmniejsza.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 16: Zadanie 11: Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AB|=30, |BC|=|AC|=39, a środek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 17: Strona zawiera pustą siatkę do rysowania i miejsce na odpowiedź. Brak widocznych zadań lub treści do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 18: Zadanie 12: Zdarzenia losowe A, B są zawarte w Ω oraz P(A ∩ B') = 0,1 i P(A' ∩ B) = 0,2. Wykaż, że P(A ∩ B) ≤ 0,7 (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Strona zawiera siatkę do pracy.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 19: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń. Brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 20: Brudnopis. Strona przeznaczona do notatek i obliczeń pomocniczych, bez zadań do rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0-4 pkt): Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. Wyróżnienie przedziałów: $(-∞, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, ∞)$. Rozwiązanie w przedziale $(-∞, -1)$: $x < -1$, w przedziale $(-1, 2)$: $-1 ≤ x < 2$, w przedziale $(2, ∞)$: $x = 2$. Ostateczny zbiór rozwiązań: $(-∞, 2)$. Punktacja: 1 pkt za wyróżnienie przedziałów, 2 pkt za zapisanie nierówności, 3 pkt za poprawne rozwiązanie z błędami rachunkowymi.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 3: Zadanie 4 (4 pkt): rozwiązanie nierówności x ∈ (-∞, 2) lub x ≤ 2. II sposób rozwiązania: zapisanie czterech przypadków nierówności, analiza każdego przypadku, końcowe rozwiązanie x ≤ 2. Schemat oceniania: istotny postęp w rozwiązaniu (1 pkt). Uwaga: błędne zapisanie któregokolwiek przypadku skutkuje 0 punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 4: Zadanie 3 (4 pkt): rozwiązanie układu nierówności, przypadki dla x: x ∈ (-∞, -1), x ∈ ⟨-1, 2), x ∈ ⟨2, ∞), funkcja f(x) = |x-2| + |x+1|, prosta y = 3x-3, przekształcenie wzoru funkcji w przedziałach, wyniki: x ∈ (-∞, 2) lub x ≤ 2. Graficzne przedstawienie funkcji i prostej, podział osi liczbowej na przedziały, wzory funkcji w przedziałach.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 5: Zadanie 4: rysunek przedstawia wykres funkcji f i prostą y=3x-3, punkt przecięcia x=2. Rozwiązanie: określenie przedziałów dla f(x)≥3x-3, x∈(-∞,2). Schemat oceniania: 1 pkt za wyznaczenie przedziałów (-∞,-1), ⟨-1,2⟩, ⟨2,∞⟩; 2 pkt za poprawne wzory funkcji f w przedziałach: f(x)=-2x+1 dla x∈(-∞,-1), f(x)=3 dla x∈⟨-1,2⟩, f(x)=2x-1 dla x∈⟨2,∞⟩.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 6: Zadanie 4 (3 pkt): narysowanie wykresu funkcji f(x)=|x-2|+|x+1|-3x+3 i prostej y=3x-3. Rozwiązanie pełne (4 pkt): zapisanie przedziałów x∈(-∞,2) lub x≤2, rozróżnienie przedziałów liczbowych, przekształcenie wzoru funkcji w postaci f(x)=ax+b, szkic wykresu funkcji z zaznaczonymi przedziałami.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 7: Zadanie 4: rozwiązanie nierówności z funkcją f(x), wyznaczenie przedziałów: (-∞, -1), ⟨-1, 2⟩, (2, ∞). Zapis wzoru funkcji w przedziałach: f(x)=-5x+4 dla x∈(-∞,-1), f(x)=-3x+6 dla x∈⟨-1,2⟩, f(x)=-x+2 dla x∈(2,∞). Wykres funkcji f. Zapis przedziału: x∈(-∞,2) lub x≤2. Punktacja: 1 pkt za wyznaczenie przedziałów, 2 pkt za zapis wzoru funkcji, 3 pkt za wykres, 4 pkt za pełne rozwiązanie.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 8: Zadanie 2 (0-4 pkt): porównanie współczynników wielomianów. Rozwiązanie: zapisanie wielomianu W w postaci kwadratu wielomianu P: $W(x) = (x^2 + cx + d)^2$, przekształcenie i porządkowanie wyrazów, porównanie współczynników, układ równań: $2c = a$, $2d + c^2 = b$, $2cd = -24$, $d^2 = 9$. Obliczenie a oraz b: $a = -8, b = 22$ lub $a = 8, b = 10$. Punktacja: 1-4 pkt w zależności od stopnia rozwiązania.$

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 9: Zadanie 3 (0-5 pkt): Rozwiązanie równania trygonometrycznego. Wyznaczenie jednej funkcji trygonometrycznej z równania $ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{4}{3} $. Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej $ \sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{3} - \sin \alpha\right)^2 = 1 $. Rozwiązanie równania kwadratowego dla $ \sin \alpha $, wyniki: $ \sin \alpha = \frac{4-\sqrt{2}}{6} $ lub $ \sin \alpha = \frac{4+\sqrt{2}}{6} $. Wartość $ |\cos \alpha - \sin \alpha| = \frac{\sqrt{2}}{3} $.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 10: Zadanie: Obliczenie wartości sin α lub cos α, rozwiązanie z użyciem wzorów trygonometrycznych, sin α = (4-√2)/6 lub (4+√2)/6, cos α = (4+√2)/6 lub (4-√2)/6, 3 pkt. Rozwiązanie zadania prawie do końca: obliczenie wartości drugiej funkcji trygonometrycznej, zapisanie |cos α - sin α|, 4 pkt. Rozwiązanie pełne: obliczenie |cos α - sin α| = √2/3, 5 pkt. II sposób: podniesienie do kwadratu, obliczenia z cos²α + sin²α = 1, 2 pkt.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 11: Rozwiązanie zadania prawie do końca (4 pkt): obliczenie wartości $2\cos\alpha\sin\alpha = \frac{7}{9}$ oraz zapisanie wyrażenia $|\cos\alpha - \sin\alpha|$ w postaci $\sqrt{1-2\cos\alpha\sin\alpha}$. Rozwiązanie pełne (5 pkt): obliczenie wartości wyrażenia $|\cos\alpha - \sin\alpha| = \frac{\sqrt{2}}{3}$. Zadanie 4 (0-5 pkt): rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, użycie wzorów Viète’a, dyskusja i wnioski, warianty rozwiązania, $\Delta = (3-2m)^2 - 4 \cdot 2$, $m = \frac{4 \pm 24}{8}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 12: Zadanie (brak numeru): rozwiązanie równania kwadratowego metodą wzorów Viète’a, obliczenia prowadzą do wartości m = 7/2 lub m = -5/2. Drugi sposób: wyznaczenie Δ, analiza nierówności Δ > 0, obliczenia prowadzą do tych samych wartości m. Brak elementów graficznych. Punktacja: 1 punkt za poprawne rozwiązanie części A, 0 punktów jeśli Δ ≥ 0.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 13: Rozwiązanie części b) równania |x₁ - x₂| = 3, m = -5/2 lub m = 7/2, 3 pkt. Etapy: zapis równania (x₁ - x₂)² = 9, obliczenie x₁, x₂, zapis alternatywny x₁ - x₂ = 3 lub x₁ - x₂ = -3. Pokonanie trudności: doprowadzenie (x₁ - x₂)² = 9 do 4m² - 4m - 35 = 0, 2 pkt. Rozwiązanie pełne: m = -5/2 lub m = 7/2, 3 pkt. Uwagi dotyczące błędów rachunkowych i punktacji.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 14: Zadanie 4 (5 pkt): rozwiązanie równania 2x² + (3 - 2m)x - m + 1 = 0 przez rozkład na czynniki, x₁ = 1/2, x₂ = m - 1, warunek |x₁ - x₂| = 3, m = 3 1/2 lub m = -2 1/2. Zadanie 5 (0-5): zastosowanie własności ciągu arytmetycznego, suma n wyrazów Sn < 2012, wzór Sn = 2a₁ + (n-1)r/2 * n, nierówność 2(-2) + (n-1) * 3/2 * n < 2012.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 15: Zadanie 4: rozwiązanie nierówności kwadratowej $3n^2 - 7n - 4024 < 0$, miejsca zerowe trójmianu $n_1 = \frac{7 - \sqrt{48337}}{6}$, $n_2 = \frac{7 + \sqrt{48337}}{6}$, przybliżona wartość $n_2 \approx 37,81$, szukana wartość $n = 37$. Schemat oceniania: 1-5 pkt za różne etapy rozwiązania, w tym pełne rozwiązanie za 5 pkt.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 16: Zadanie 6 (0-3 pkt): Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej, przekształcenie nierówności do postaci równoważnej, dowód dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b, c, d. Zadanie 7 (0-4 pkt): Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu, obliczenie współrzędnych środka okręgu i promienia, równanie okręgu, obliczenie współczynnika kierunkowego prostej, wyznaczenie równania prostej.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 17: Zadanie 4 (4 pkt): wyznaczenie równania prostej l w postaci kierunkowej y=(√3/3)x+2(1+√3/3) oraz ogólnej x-√3y+2√3+2=0. Obliczenie współrzędnych punktu C: (1, 2+√3), wektora CS=[1, -√3], współczynnika kierunkowego m=-√3. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie równania okręgu, 2 pkt za obliczenie współrzędnych punktu C, 3 pkt za obliczenie współczynnika kierunkowego, 4 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 18: Zadanie 8 (0-5 pkt): Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii. Rozwiązanie obejmuje twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów BAD i BCD, obliczenia długości BD=25 i BC=20. Obliczenie pola P_ABCD=234. Wariant I: zastosowanie twierdzenia sinusów, wynik |AC|=20. Wariant II: twierdzenie cosinusów, potwierdzenie |AC|=20. Szkic czworokąta ABCD z zaznaczonymi długościami boków.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 19: Zadanie 8 (5 pkt): zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza do obliczenia długości przekątnej AC w czworokącie, obliczenia: |AC|=20. Zadanie 9 (0-3 pkt): użycie wzoru na liczebność permutacji, kombinacji i wariacji, obliczenia zbiorów liczb podzielnych przez 6, 15 i 30, zastosowanie reguły dodawania, obliczenia: |A₆∪A₁₅|=|A₆|+|A₁₅|-|A₃₀|.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 20: Zadanie 10 (0-4): użycie i tworzenie strategii, znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji. Rozwiązanie: punkt P na prostej y=8x+10, współrzędne (x, 8x+10). Wyznaczenie funkcji f(x) opisującej sumę |AP|²+|BP|²: f(x)=(3-x)²+(12+8x)²+(11-x)²+(6+8x)², f(x)=130x²+260x+310. Diagram Venna dla zbiorów, liczby podzielne przez 6, 15, 30. Wynik: 180.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 21: Zadanie 10 (4 pkt): wyznaczenie współrzędnych punktu P na paraboli, x=-1, P=(-1,2), funkcja f(x)=130x²+260x+310, minimalizacja sumy kwadratów odległości. Zadanie 11 (5 pkt): znalezienie związków miarowych w ostrosłupie, szkic ostrosłupa z podstawą ABC, wysokość h, obliczenie h_AB=√(39²-15²)=36, twierdzenie Pitagorasa.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2012, CKE - strona 22: Zadanie 11 (5 pkt): obliczenie pola trójkąta ABC, $ P_{ABC} = 540 $, promień okręgu wpisanego $ r = 10 $, wysokość ostrosłupa $ H = 24 $, objętość ostrosłupa $ V = 4320 $. Zadanie 12 (0-3 pkt): rozumowanie i argumentacja, wykorzystanie własności prawdopodobieństwa, zdarzenia rozłączne, diagram Venna.$