Matura rozszerzona z matematyki | Czerwiec 2016

Zadanie 1

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = \big|3 + 5^{3 - x}\big| - 1\) dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \((2, +\infty)\)

B. \(\langle 1, 3 \rangle\)

C. \(\langle -1, +\infty)\)

D. \((0, +\infty)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Wartość wyrażenia \(\sin^2 75 \degree - \cos^2 75 \degree\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(-\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) dane są: \(|AD| = 6\), \(|BC| = 12\), \(|AC| = 10\) oraz \(|\sphericalangle ABC| = |\sphericalangle CAD|\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wówczas długość podstawy \(AB\) tego trapezu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(|AB| = 18\)

B. \(|AB| = 20\)

C. \(|AB| = 22\)

D. \(|AB| = 24\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{1}{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Granica \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{-7n^3 + 3n}{1 + 2n + 3n^2 + 4n^5}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(-\infty\)

B. \(-\frac{7}{4}\)

C. \(0\)

D. \(+\infty\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla \(n \geq 1\), w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(12\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dane są zdarzenia losowe \(A, B \subset \Omega\) takie, że \(P(A) = \frac{2}{7}\) i \(P(A \cup B) = \frac{3}{5}\). Oblicz \(P(B \setminus A)\), gdzie zdarzenie \(B \setminus A\) oznacza różnicę zdarzeń \(B\) i \(A\). Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Wykaż, że dla \(a, b, c, d > 0\) prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{a + b} \cdot \sqrt{c + d} \ge \sqrt{ac} + \sqrt{bd}\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność \(|x^2 - 3x + 2| \geq |x - 1|\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony dla każdej liczby całkowitej \(n \geq 1\), w którym \(a_4 = 4\) oraz dla każdej liczby \(n \geq 1\) prawdziwa jest równość \(a_{n + 1} = a_n + n - 4\). Oblicz pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przez wierzchołki \(A\) i \(C\) oraz środek \(K\) krawędzi \(BF\) poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną \(BH\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że \(|BP| : |HP| = 1 : 3\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Liczba \(m\) jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

\(k^2 x^2 + (k - 1) x + 1 = 0\), gdzie \(k \ne 0\).

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem \(f(x) = 2^m\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Rozwiąż nierówność \((2 \sin x - 3)(2 \sin x + 1) > 0\) w przedziale \(x \in (0, 2 \pi)\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy \(\frac{1}{2}\). Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Punkty \(A = (-7, -2)\) i \(B = (4, -7)\) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego \(ABC\), a wysokość opuszczona z wierzchołka \(A\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x + 19y + 52 = 0\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe \(2 \pi\). Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.