Dołącz do 59 882 kursantów. 98% z nich poleca nas znajomym.

Matura rozszerzona matematyka grudzień 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Próbny • CKE • grudzień 2022 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Oblicz

\(\frac{\log_3 5 \cdot \log_{25} 27}{\log_7 \sqrt[6]{49}}\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = \big|-\frac{1}{4} x^2 + 3x - 5\big|\) dla każdego \(x \in \R\).

Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja \(g\) przyjmuje w przedziale \([9, 11]\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = \big|-\frac{1}{4} x^2 + 3x - 5\big|\) dla każdego \(x \in \R\).

Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru \(m\), dla których równanie \(g(x) = |m|\) ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), spełniających warunek \(x + y \ge 1\), prawdziwa jest nierówność

\(x^3 + 2xy + y^3 \ge x^2 + xy(x + y) + y^2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona \(200\) g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż \(200\) g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe \(0.1\). Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo \(20\) torebek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych \(20\) losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.

Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie

\(6 \sin x + 2 \sqrt{3} \cos x + 3 \tg x + \sqrt{3} = 0\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki \(BC\), \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta w punktach - odpowiednio - \(K\), \(L\) oraz \(M\). Punkt \(P\) jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach \(CLPK\) oraz \(BKPM\) można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej \(480\) litrów i nie może przekroczyć \(530\) litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji \((480 + x)\) litrów dziennie przeciętny koszt \(K\) (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

\(K(x) = \frac{22x^2 - 621.5x + 23\ 430}{480 + x}\), gdzie \(x \in [0, 50]\).

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność

\(\frac{x - 1}{x^2 - 4} - \frac{1}{2 - x} \ge \frac{3}{2 + x} + 2\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^2 - (m - 4)x + m^2 - 7m + 12 = 0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunek

\(x_1^3 + x_2^3 < 5x_1^2 \cdot x_2 + 5x_1 \cdot x_2^2\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość \(a\). Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \(\alpha\) takim, że \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}\). Przez krawędź \(BC\) podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę \(\pi\) prostopadłą do ściany bocznej \(SAD\).

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę \(\pi\) i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), w którym \(|AB| > |CD|\) oraz ramię \(BC\) ma długość \(6\). Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu \(R = 5\). Miary kątów \(BAC\) i \(ABC\) tego trapezu spełniają warunek

\(\frac{\sin |\measuredangle BAC|}{\sin |\measuredangle ABC|} = \frac{5}{8}\)

Oblicz pole i obwód trapezu \(ABCD\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Prosta \(k\) o równaniu \(x + y - 9 = 0\) przecina parabolę o równaniu \(y = \frac{1}{4} x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Pierwsza współrzędna punktu \(A\) jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu \(B\) jest liczbą ujemną. Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i styczna do danej paraboli w punkcie \(C\).

Oblicz odległość punktu \(C\) od prostej \(k\) oraz pole trójkąta \(ABC\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 1 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 2 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 3 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 4 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 5 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 6 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 7 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 8 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 9 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 10 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 11 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 12 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 13 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 14 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 15 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 16 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 17 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 18 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 19 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 20 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 21 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 22 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 23 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 24 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 25 - Odpowiedzi

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2022, CKE - strona 26 - Odpowiedzi

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Matura rozszerzona matematyka grudzień 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Próbny • CKE • grudzień 2022 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Oblicz

\(\frac{\log_3 5 \cdot \log_{25} 27}{\log_7 \sqrt[6]{49}}\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = \big|-\frac{1}{4} x^2 + 3x - 5\big|\) dla każdego \(x \in \R\).

Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja \(g\) przyjmuje w przedziale \([9, 11]\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = \big|-\frac{1}{4} x^2 + 3x - 5\big|\) dla każdego \(x \in \R\).

Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru \(m\), dla których równanie \(g(x) = |m|\) ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), spełniających warunek \(x + y \ge 1\), prawdziwa jest nierówność

\(x^3 + 2xy + y^3 \ge x^2 + xy(x + y) + y^2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych \(20\) losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.

Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż równanie

\(6 \sin x + 2 \sqrt{3} \cos x + 3 \tg x + \sqrt{3} = 0\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Udowodnij, że trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

\(K(x) = \frac{22x^2 - 621.5x + 23\ 430}{480 + x}\), gdzie \(x \in [0, 50]\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność

\(\frac{x - 1}{x^2 - 4} - \frac{1}{2 - x} \ge \frac{3}{2 + x} + 2\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^2 - (m - 4)x + m^2 - 7m + 12 = 0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunek

\(x_1^3 + x_2^3 < 5x_1^2 \cdot x_2 + 5x_1 \cdot x_2^2\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę \(\pi\) i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

\(\frac{\sin |\measuredangle BAC|}{\sin |\measuredangle ABC|} = \frac{5}{8}\)

Oblicz pole i obwód trapezu \(ABCD\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Oblicz odległość punktu \(C\) od prostej \(k\) oraz pole trójkąta \(ABC\).

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka grudzień 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka grudzień 2022 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie