Matura rozszerzona z matematyki | Listopad 2018

Zadanie 1

Jeżeli $(a_n)$ jest nieskończonym i niemonotonicznym ciągiem geometrycznym, w którym $a_1 = 16\ $ i $\ a_3 = 1$, to suma wszystkich jego wyrazów wynosi:

Wybierz odpowiedź:

A. $21 \frac{1}{3}$

B. $12.8$

C. $0.8$

D. $5 \frac{1}{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dziedziną funkcji $f(x) = \log_{x + 1} (4 - x^2)$ jest:

Wybierz odpowiedź:

A. $(-2, 0) \cup (0, 2)$

B. $(-2, -1) \cup (-1, 2)$

C. $(-1, 0) \cup (0, 2)$

D. $(-1, 2)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Równanie $\left|3 - \frac{1}{x}\right| = m$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:

Wybierz odpowiedź:

A. $m \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$

B. $m \in (0, 3)$

C. $m \in (3, +\infty)$

D. $m \in (0, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Funkcja $f(x) = \frac{x + 3}{(x - 2)^2}$:

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma ekstremów lokalnych

B. ma dwa ekstrema lokalne w punktach $x_1 = -8\ $ i $\ x_2 = 2$

C. ma dwa ekstrema lokalne w punktach $x_1 = -2\ $ i $\ x_2 = 8$

D. ma jedno ekstremum lokalne w punkcie $x_1 = -8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Czworokąt $ABCD$ przedstawiony na rysunku jest wpisany w okrąg. Miara kąta $\alpha$ jest równa:

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. $85 \degree$

B. $90 \degree$

C. $75 \degree$

D. $55 \degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz granicę $\lim\limits_{x \to -2} \left(\frac{x - 3}{x + 2} - \frac{x^3 - 52}{x^3 + 8}\right)$. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż nierówność $3x - |2x - 7| < 11$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos x = \frac{3}{2}$ w przedziale $\langle 0; 2 \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Trapez prostokątny jest opisany na okręgu o promieniu $5$. Kąt ostry trapezu ma miarę $45\degree$. Oblicz długości odcinków, na które punkt styczności okręgu podzielił ramię pochyłe trapezu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

W trójkącie $ABC$: $|AB| = c$, $|AC| = b$, $|BC| = a$ oraz $|\angle BAC| = \alpha$ i $|\angle ABC| = \beta$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $\alpha = 2 \beta$, to $a^2 - b^2 = bc$.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Wielomian $W(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ jest podzielny przez trójmian $x^2 + x - 6$, a przy dzieleniu przez dwumian $x + 1$ daje resztę $6$. Wyznacz wartości współczynników $a$, $b$ i $c$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych od $30$ losujemy kolejno $2$ razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy w ten sposób parę liczb, których iloczyn jest mniejszy od $30$ pod warunkiem, że pierwsza wylosowana liczba jest mniejsza od drugiej wylosowanej liczby.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których dwa różne rozwiązania $x_1$ i $x_2$ równania $(m + 1)x^2 + 2 \sqrt{2} x - m^2 + 2 = 0$ spełniają warunek $x_1^2 + x_2^2 \ge m - x_1 x_2$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Liczbę $272$ przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o $48$ większy od pierwszego.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Napisz równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do paraboli o równaniu $y = \frac{1}{4} x^2 - 1$ i do okręgu o równaniu $x^2 + (y + 6)^2 = 8$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości trzech różnych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $S$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości jednej z jego krawędzi i podaj dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 1: Zadanie 1: q²=1/16, q=-1/4, S=16/1+1/4=12,8. Zadanie 2: x+1>0, x+1=√1, D=(-1,0)∪(0,2). Zadanie 3: wykres funkcji f(x)=3-1/x, rozwiązania dla m∈(0,3). Zadanie 4: f'(x)=(-x²-6x+16)/(x-2)², zmiana znaku w x=-8. Zadanie 5: ∠ADC=125°, ∠ABC=55°, α=85°. Zadanie 6 (0-2 pkt): lim x→2 (x-3)(x²-2x-4)-x⁵+52)/(x²+8)=2,5.

$Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 2: Zadanie 7: Rozpatrzenie dwóch przypadków i zapisanie układów nierówności: $2x-7>0$, $3x-(2x-7)<11$ lub $2x-7\leq0$, $3x-(2x-7)<11$. Rozwiązanie przynajmniej jednego układu: $x \in \left(\frac{7}{2}, 4\right]$ lub $x \in \left(-\infty, \frac{7}{2}\right)$. Rozwiązanie bezbłędne: $x \in (-\infty, 4)$. Uwagi dotyczące rozpatrzenia przypadków. Punktacja: 1-3 pkt.$

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 3: Zadanie 8: Przekształcenie równania trygonometrycznego, dwie metody. I metoda: przekształcenie lewej strony równania do postaci z sin i cos, kluczowe kroki obejmują przekształcenie do jednej z postaci i uwzględnienie dziedziny. II metoda: zapisanie równania i doprowadzenie do najprostszej postaci. Rozwiązanie bezbłędne: podanie poprawnych rozwiązań x. Uwagi dotyczące punktacji i interpretacji.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 4: Zadanie 9: Wykorzystanie rysunku trapezu z okręgiem. I metoda: Obliczenie długości ramion trapezu, równania x+y=10√2, wynik |CF|=x=5√2-5, |FB|=y=5√2+5. II metoda: Twierdzenie o czworokącie opisanym, równanie 10+10√2=20+2x, wynik |CF|=x=5√2-5, |FB|=5√2+5. III metoda: Podobieństwo trójkątów, równanie 25-y+x=10√2, wynik |CF|=x=5√2-5, |FB|=5√2+5. Uwagi dotyczą uzasadnienia podobieństwa.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 5: Zadanie 10 (1 pkt): wykorzystanie twierdzenia sinusów, zapisanie równań bez funkcji cosinus, przekształcenie do a²-b²=bc. Zadanie 11 (1 pkt): zapisanie warunku W(-1)=6, podzielenie wielomianu, zapisanie układu równań, rozwiązanie a=3, b=-11, c=-6. Zadanie 11 (2 pkt): zapisanie układu równań, przekształcenie do równania z jedną niewiadomą. Zadanie 11 (3 pkt): podanie rozwiązania, uwagi dotyczące błędów rachunkowych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 6: Zadanie 12 (1 pkt): obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A∩B, wyliczenie |A∩B|=49, pokonanie trudności: |B|=435, P(A|B)=49/435. Zadanie 13: Etap I (1 pkt): obliczenie wyróżnika Δ=4m²+4m²-8m, Δ>0, rozwiązanie nierówności. Etap II (1 pkt): zapisanie warunku x₁²+x₂²≥m-x₁x₂, przekształcenie nierówności. Etap III (1 pkt): rozwiązanie bezbłędne. Uwagi dotyczące punktacji i błędów rachunkowych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2018, Operon - strona 7: Zadanie 13 (3 pkt): Rozwiązanie nierówności m²+3m−6≤0 z założeniem m≠−1, m∈[-3-√33/2, -3+√33/2]∪{-1}. Zadanie 14: Zapisanie układu równań, przekształcenie równań do postaci wielomianowej, wyznaczenie q=4 lub q=5/3, sprawdzenie warunków, wynik 272=27+45+75+125. Punktacja: 1 pkt za zapisanie układu, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za przekształcenie, 4 pkt za rozwiązanie, 5 pkt za pełne rozwiązanie.

Zadanie 1

Jeżeli $(a_n)$ jest nieskończonym i niemonotonicznym ciągiem geometrycznym, w którym $a_1 = 16\ $ i $\ a_3 = 1$, to suma wszystkich jego wyrazów wynosi:

Wybierz odpowiedź:

A. $21 \frac{1}{3}$

B. $12.8$

C. $0.8$

D. $5 \frac{1}{3}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dziedziną funkcji $f(x) = \log_{x + 1} (4 - x^2)$ jest:

Wybierz odpowiedź:

A. $(-2, 0) \cup (0, 2)$

B. $(-2, -1) \cup (-1, 2)$

C. $(-1, 0) \cup (0, 2)$

D. $(-1, 2)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Równanie $\left|3 - \frac{1}{x}\right| = m$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:

Wybierz odpowiedź:

A. $m \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$

B. $m \in (0, 3)$

C. $m \in (3, +\infty)$

D. $m \in (0, +\infty)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Funkcja $f(x) = \frac{x + 3}{(x - 2)^2}$:

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma ekstremów lokalnych

B. ma dwa ekstrema lokalne w punktach $x_1 = -8\ $ i $\ x_2 = 2$

C. ma dwa ekstrema lokalne w punktach $x_1 = -2\ $ i $\ x_2 = 8$

D. ma jedno ekstremum lokalne w punkcie $x_1 = -8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Czworokąt $ABCD$ przedstawiony na rysunku jest wpisany w okrąg. Miara kąta $\alpha$ jest równa:

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. $85 \degree$

B. $90 \degree$

C. $75 \degree$

D. $55 \degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż nierówność $3x - |2x - 7| < 11$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż równanie $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos x = \frac{3}{2}$ w przedziale $\langle 0; 2 \pi \rangle$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

W trójkącie $ABC$: $|AB| = c$, $|AC| = b$, $|BC| = a$ oraz $|\angle BAC| = \alpha$ i $|\angle ABC| = \beta$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $\alpha = 2 \beta$, to $a^2 - b^2 = bc$.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Liczbę $272$ przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o $48$ większy od pierwszego.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Napisz równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do paraboli o równaniu $y = \frac{1}{4} x^2 - 1$ i do okręgu o równaniu $x^2 + (y + 6)^2 = 8$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka listopad 2018 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka listopad 2018 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie