Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2019 | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Dla dowolnych liczb $x > 0$, $x \neq 1$, $y > 0$, $y \ne 1$ wartość wyrażenia $(\log_{\frac{1}{x}} y) \cdot (\log_{\frac{1}{y}} x)$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $x \cdot y$

B. $\frac{1}{x \cdot y}$

C. $-1$

D. $1$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Liczba $\cos^2 105 \degree - \sin^2 105 \degree$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $y = f(x)$, który jest złożony z dwóch półprostych $AD$ i $CE$ oraz dwóch odcinków $AB$ i $BC$, gdzie $A = (-1, 0)$, $B = (1, 2)$, $C = (3, 0)$, $D = (-4, 3)$, $E = (6, 3)$.

Kliknij, aby powiększyć

Wzór funkcji $f$ to

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = |x + 1| + |x - 1|$

B. $f(x) = \big||x - 1| - 2\big|$

C. $f(x) = \big||x - 1| + 2\big|$

D. $f(x) = |x - 1| + 2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Zdarzenia losowe $A$ i $B$ zawarte w $\Omega$ są takie, że prawdopodobieństwo $P(B')$ zdarzenia $B'$, przeciwnego do zdarzenia $B$, jest równe $\frac{1}{4}$. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe $P(A \big| B) = \frac{1}{5}$. Wynika stąd, że

Wybierz odpowiedź:

A. $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$

B. $P(A \cap B) = \frac{4}{15}$

C. $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$

D. $P(A \cap B) = \frac{4}{5}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz granicę

$\lim\limits_{n \to \infty} \Big(\frac{9n^3 + 11n^2}{7n^3 + 5n^2 + 3n + 1} - \frac{n^2}{3n^2 + 1}\Big)$

Wpisz - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Punkt $P = (10, 2429)$ leży na paraboli o równaniu $y = 2x^2 + x + 2219$. Prosta o równaniu kierunkowym $y = ax + b$ jest styczna do tej paraboli w punkcie $P$. Oblicz współczynnik $b$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x < y$, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$, prawdziwa jest nierówność $\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Na ramieniu $AC$ tego trójkąta wybrano punkt $M$ ($M \ne A$ i $M \neq C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$, w taki sposób, że $|AM| = |CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $|ST| = \frac{1}{2} |AB|$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ oraz $|AC| = 16$, $|AD| = 6$, $|CD| = 14$ i $|BC| = |BD|$.

Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dane są okręgi o równaniach $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0\ $ i $\ x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Trzywyrazowy ciąg $(a, b, c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $\Big(\frac{1}{a}, \frac{2}{3b}, \frac{1}{2a + 2b + c}\Big)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Wielomian określony wzorem $W(x) = 2x^3 + (m^3 + 2) x^2 - 11x - 2(2m + 1)$ jest podzielny przez dwumian $(x - 2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x + 1)$ daje resztę $6$. Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \le 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż równanie $(\cos x) \Big[\sin \big(x - \frac{\pi}{3}\big) + \sin \big(x + \frac{\pi}{3}\big)\Big] = \frac{1}{2} \sin x$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $V = 2$. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi, zawiera informacje o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym, formuła od 2015, oznaczenie arkusza MMA-R1, maj 2019. Brak widocznych rozwiązań zadań lub obliczeń.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1): Wykorzystanie wzoru na logarytm potęgi, poprawna odpowiedź D. Zadanie 2 (0–1): Trygonometria, wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, poprawna odpowiedź A. Zadanie 3 (0–1): Szkicowanie wykresów funkcji, poprawna odpowiedź B. Zadanie 4 (0–1): Obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego, poprawna odpowiedź C. Zadanie 5 (0–2): Obliczanie granic ciągów, schemat punktowania za zakodowanie cyfr.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 3: Zadanie 6 (0–3): Elementy statystyki opisowej i kombinatoryki. Wykorzystanie wzorów na permutacje, kombinacje, wariacje do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych. Schemat punktowania: pełne rozwiązanie 3 pkt, suma liczb 66666600. Pokonanie trudności: 2 pkt, dodanie 120 liczb, każda cyfra 5-cyfrowej liczby z {1,3,5,7,9} pojawia się 24 razy.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 4: Zadanie 4 (1 pkt): opisuje różne metody obliczania sumy liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 3, 5, 7, 9. Rozwiązanie zawiera: zapisanie wszystkich pięciocyfrowych liczb, ustalenie pozycji cyfr, obliczenie sumy pięciu liczb, zauważenie podziału na 4! rozłącznych podzbiorów. Zadanie wymaga zauważenia, że każda cyfra zajmuje dokładnie jedną pozycję w liczbie 277775.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 5: Zadanie 1: Obliczanie sumy permutacji zbioru cyfr 1, 3, 5, 7, 9. I sposób: Obliczenia dla każdej kolumny (jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy) z sumą 6666600. II sposób: Obliczenia dla liczb z cyfrą 1 na pierwszej pozycji, suma 399984. Szczegółowe kroki obliczeń z użyciem permutacji i sumowania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 6: Zadanie 4: Obliczenia sumy liczb spełniających warunki zadania, z podziałem na grupy według pierwszej cyfry. Rozważane są liczby z cyframi 5, 7, 9 na pierwszej pozycji, obliczenia sum dla każdej grupy, końcowe sumy: 866652, 1333320, 1799988, 2266656. Zadanie 5: Permutacje zbioru 5-elementowego, obliczenia sum dla grup z cyframi 1 i 3, 1 i 5, 1 i 7, 1 i 9 na pierwszych pozycjach, sumy: 273324, 404436, 535548, 666660.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 7: Rozwiązanie zadania dotyczącego sumy liczb pięciocyfrowych utworzonych z cyfr 1, 3, 5, 7, 9. Zadanie opisuje różne metody obliczeń: I sposób - sumowanie poszczególnych grup liczb, II sposób - analiza grupowania liczb według pozycji cyfr, III sposób - obliczenia sumy przez przestawianie cyfr. Wynik końcowy dla wszystkich metod to suma 6666600.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 8: Zadanie 7 (0–2 pkt): II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: a=41, pochodna funkcji f(x)=2x²+x+2219, f'(x)=4x+1, f'(10)=41. Równanie stycznej: y-2429=41(x-10). Współczynnik b=2019. Punktacja: 2 pkt za b=2019, 1 pkt za a=41 lub f'(10)=41. Uwagi: 1 pkt za poprawną interpretację przy błędzie w pochodnej.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 9: Zadanie 4: rozwiązanie równania stycznej do paraboli y=2x²+x+2219. Metoda: układ równań y=ax+b i y=2x²+x+2219. Po przekształceniach: 2x²+(1-a)x+2219-b=0. Warunek styczności Δ=0, x₀=10, a=41. Trzy sposoby wyznaczenia b: 1) 2429=41·10+b, b=2019; 2) równanie 2x²-40x+2219-b=0, b=2019; 3) 2·10²-40·10+2219-b=0, b=2019.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 10: Zadanie 8 (0-3 pkt): Rozumowanie i argumentacja, wyrażenia algebraiczne. Zdający zapisuje nierówność w postaci równoważnej, np. $(x-y)^2 + a(y-x) > 0$. Alternatywnie, wykazuje prawdziwość nierówności $\frac{x+a}{y+a} + \frac{y+a}{x+a} > 2$. Analiza funkcji $f(a)$ jako hiperboli, z badaniem asymptot i monotoniczności. Rozwiązanie pełne (3 pkt), pokonanie trudności (2 pkt), istotny postęp (1 pkt).$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 11: Zadanie dotyczące nierówności. Rozwiązanie I sposób: przekształcenie nierówności do postaci równoważnej, analiza wyrażenia $(x-y)^2 + a(y-x) > 0$, uzasadnienie prawdziwości nierówności. Rozwiązanie II sposób: mnożenie przez dodatnią liczbę $(y+a)x$, przekształcenia prowadzące do $(x-y)^2 + a(y-x) > 0$. Dowód kończy się stwierdzeniem prawdziwości nierówności.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 12: Zadanie 3: dowód nierówności z użyciem założeń x < y i a > 0, pokazano trzy sposoby dowodzenia. III sposób: analiza nierówności z ułamkami, wykazanie prawdziwości przez przekształcenia algebraiczne. IV sposób: funkcja f(a) = (x+a)/(y+a) + (y+a)/(x+a) - 2, obliczenie pochodnej f'(a) > 0, funkcja rosnąca. Uwagi: uzasadnienie nierówności przez średnią arytmetyczną i geometryczną.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 13: Zadanie 7: analiza funkcji f(a) z asymptotami poziomą i pionową, wykres hiperboli z asymptotami w układzie współrzędnych, równanie b = y/x - 1, asymptota pionowa a = -y, analiza przedziałów funkcji rosnącej, dowód nierówności f(a) > f(0), wykres hiperboli z zaznaczonymi asymptotami i punktami przecięcia.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 14: Zadanie V: dowód nierówności $\frac{x+a}{y+a} + \frac{y}{x} \geq 2$ poprzez przekształcenie równoważne, mnożenie obustronne przez $x(y+a)$, otrzymanie wyrażenia $x(x+a) + y(y+a) \geq 2x(y+a)$, przekształcenie do $(x-y)^2 a(x-y)$, dowód prawdziwości nierówności przy założeniach $x, y, a > 0$. Końcowy wniosek: nierówność jest prawdziwa.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 15: Zadanie 9 (0–3 pkt): Planimetria, rozpoznawanie trójkątów podobnych i przystających. Zapis proporcji z podobieństwa trójkątów, np. $\frac{P}{x}=\frac{a}{b}$ lub z twierdzenia Talesa. Zależności między długościami odcinków, np. $|AB|=2(x+y)\cdot\cos\alpha$. Rysunek odcinka $MZ$ równoległego do $BC$. Punktacja: pełne rozwiązanie 3 pkt, częściowe 2 pkt, niewielki postęp 1 pkt.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 16: Zadanie dotyczące przystawania trójkątów. Rozwiązanie opisuje sposób I, w którym P jest środkiem podstawy AB trójkąta. Przez punkty M i N poprowadzono proste równoległe do podstawy, a punkty przecięcia oznaczono jako K i L. Oznaczenia: x=|AM|=|CM|, y=|MC|, p=|AS|, q=|MK|. Trójkąty ASM i NLC są przystające. Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny ABC z oznaczeniami odcinków i kątów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 17: Zadanie 2: Analiza przystawania trójkątów i podobieństwa. Rozwiązanie obejmuje dwa sposoby: przystawanie trójkątów i podobieństwo trójkątów. W pierwszym sposobie wykorzystano przystawanie trójkątów ASM i NLC oraz równość odcinków. W drugim sposobie zastosowano podobieństwo trójkątów ASM i APC, co prowadzi do wyrażenia p = ax/b. Szkice trójkątów z oznaczeniami odcinków i kątów.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 18: Zadanie 4: Dowód podobieństwa trójkątów na podstawie cechy kkk, z wykorzystaniem twierdzenia Talesa. Rozwiązanie pokazuje proporcje boków i obliczenia: $|BT|=\frac{a(b-x)}{b}$, $|PT|=\frac{ax}{b}$. Szkic trójkąta równoramiennego z zaznaczonymi punktami i odcinkami: $A, B, C, M, N, P, S, T$. Końcowy wynik: $|ST|=a-\frac{ax}{b}+\frac{ax}{b}=\frac{1}{2}|AB|$. To kończy dowód.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 19: Zadanie 5: Rozwiązanie zadania z wykorzystaniem trygonometrii. Oznaczenia kątów i odcinków w trójkącie ABC. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów do obliczenia |AB|²=4(x+y)²·cos²α. Obliczenia prowadzą do |AB|=2(x+y)·cosα. Wykorzystanie trójkątów podobnych do wyprowadzenia zależności |AS|=x·cosα, |BT|=y·cosα. Końcowy dowód: |ST|=½|AB|. Zadanie 6: Szkic trójkąta równoramiennego z odcinkiem MZ równoległym do BC.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 20: Dowód geometryczny dotyczący trójkątów równoramiennych i równoległoboków. Wykazano, że kąty AZM i ABC są równe, co oznacza, że trójkąt AZM jest równoramienny. Następnie pokazano, że czworokąt MZNC jest równoległobokiem, a trójkąt ZBN jest równoramienny. Obliczenia obejmują wyrażenie długości odcinków w zależności od p i q oraz końcowy wniosek, że suma odcinków ST, SP i PT wynosi ½|AB|.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 21: Zadanie 10 (0–4): obliczenie obwodu trójkąta ABC, Lₐᵦc=120. Rozwiązanie pełne (4 pkt): zastosowanie twierdzenia cosinusów, równanie a²=16²+(a+6)²-2·16·(a+6)·cosα. Pokonanie trudności (3 pkt): równania wymierne z jedną niewiadomą a, np. a²=256+a²+12a+36-2·16·(a+6)·½. Istotny postęp (2 pkt): obliczenie cosα=½, różne metody obliczeń, w tym dla trójkąta BCD.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 22: Zadanie 1: oblicz długości odcinków oraz pola trójkątów w zależności od a, np. |AF|=8, |CF|=8√3, Pₐₑₑ=24√3. Zadanie 2: równanie pierwiastkowe z niewiadomą a, a=7/√(1-49/a²). Zadanie 3: układ równań z dwiema niewiadomymi a i cos β, 16²=(a+6)²+a²-2(a+6)cos β. Zadanie 4: oblicz cos α=1/2. Zadanie 5: twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABC, a²=16²+(a+6)²-2·16·(a+6)cos α.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 23: Zadanie 1: oblicz pole trójkąta ADC i BCD w zależności od a, P_ADC=24√3, P_BCD=7√(a²-49). Zadanie 2: oblicz pole ADC i ABC w zależności od a i sin β, P_ADC=24√3, P_ABC=½(a+6)·a·sin β. Zadanie 3: oblicz pole ADC i wysokość CF, P_ADC=24√3, |CF|=8√3. Zadanie 4: zapisz równanie z twierdzenia cosinusów dla BCD, 14²=a²+a²-2·a·a·cos β. Uwagi dotyczące punktacji i strategii rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 24: Zadanie 1: Rozwiązanie z użyciem twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC, obliczenia: $14^2 = 16^2 + 6^2 - 2 \cdot 16 \cdot 6 \cdot \cos \alpha$, $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\alpha = 60^\circ$. Dla trójkąta ABC: $a^2 = 256 + a^2 + 12a + 36 - 2 \cdot 16 \cdot (a + 6) \cdot \frac{1}{2}$, $a = 49$, obwód $L_{ABC} = 120$. Szkic trójkąta z oznaczeniami.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 25: Zadanie dotyczące obliczenia obwodu trójkąta ABC. Wykorzystano twierdzenie cosinusów i sinusów. Obliczenia obejmują: cos δ = -1/7, a² = 49, a = 49. Obwód trójkąta Lₐᵦc = 120. Kluczowe kroki: zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCD, przekształcenia algebraiczne, obliczenie długości boków. Wynik końcowy: obwód Lₐᵦc = 120.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 26: Zadanie 3: Rozwiązanie z twierdzeniem cosinusów dla trójkąta ADC, obliczenia: 16²=14²+6²-2·14·6·cos δ, cos δ=-1/7, cos ω=1/7, a=49, obwód ABC=120. Zadanie 4: Twierdzenie cosinusów dla trójkąta ADC, obliczenia: 14²=16²+6²-2·16·6·cos α, cos α=1/2, α=60°, trójkąt AFC połówką równobocznego, |AF|=8, |CF|=8√3. Szkice trójkątów z oznaczeniami.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 27: Zadanie 5: Obliczenia dotyczące trójkąta ABC. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCF: $a^2 = (8\sqrt{3})^2 + (a-2)^2$, $a^2 = 192 + a^2 - 4a + 4$, $4a = 196$, $a = 49$. Obwód trójkąta ABC: $L_{ABC} = 16 + 6 + 2 \cdot 49 = 120$. Rysunek przedstawia trójkąt z wysokością CF i oznaczeniami. Z twierdzenia Pitagorasa dla AFC i DFC: $16^2 = h^2 + (x+6)^2$, $14^2 = h^2 + x^2$. Obliczenia prowadzą do $h = \sqrt{192}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 28: Zadanie 6: rozwiązanie z użyciem twierdzenia Stewarta dla trójkąta ABC, obliczenia prowadzą do równania 3a²+128a=3a²+116a+588, a=49, obwód trójkąta ABC wynosi 120. Zadanie 7: obliczanie pola trójkąta ADC wzorem Herona, półobwód p=18, P_ADC=24√3, wysokość h=√(a²-49), P_BCD=7√(a²-49), proporcja pól P_ADC/P_BCD=6/a, szkice trójkątów z oznaczeniami.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 29: Zadanie 1: Rozwiązanie zadania dotyczącego obwodu trójkąta ABC. Obliczenia obejmują równania z pierwiastkami i przekształcenia algebraiczne. Wynik: $a = 49$, obwód $L_{ABC} = 120$. Zadanie 2: Obliczanie pola trójkąta ADC ze wzoru Herona, z połówką obwodu $p = 18$ i polem $P_{ADC} = 24\sqrt{3}$. Szkic trójkąta z oznaczeniami boków i kątów.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 30: Zadanie 2: Rozwiązanie równania z jedynki trygonometrycznej dla trójkąta równoramiennego. Wyprowadzenie wzoru na cosinus kąta β, obliczenia z użyciem wartości trygonometrycznych i algebraicznych. Obliczenie długości boku a=49. Obwód trójkąta ABC obliczony jako Lₐᵦc=120.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 31: Zadanie IX: Obliczanie pola trójkąta ADC ze wzoru Herona, półobwód p=18, pole P_ADC=24√3. Odcinek CF jako wysokość, h=8√3. Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta CDF, |DF|=2. Trójkąt BCD równoramienny, |DE|=7. Podobieństwo trójkątów CDF i BDE, a=49. Obwód trójkąta ABC, L_ABC=120. Szkic trójkąta z oznaczeniami.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 32: Zadanie X: Rozwiązanie z twierdzenia cosinusów dla trójkątów BCD i ABC, obliczenia prowadzą do równania z niewiadomą a, wynik a=49, obwód trójkąta ABC=120. Zadanie XI: Szkic trójkąta BCD z wysokością CF, obliczenie pola trójkąta ADC ze wzoru Herona, połówka obwodu p=18.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 33: Zadanie dotyczące obliczania pól trójkątów i obwodu trójkąta ABC. Rozwiązanie obejmuje obliczenie pola trójkąta ADC za pomocą wzoru na pole trójkąta, następnie pole trójkąta BCD. Zastosowano wzór Herona do obliczenia półobwodu trójkąta ABC. Obliczenia prowadzą do równania kwadratowego, którego rozwiązanie daje a=49. Obwód trójkąta ABC wynosi 120.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 34: Zadanie 11 (0–6): Geometria w kartezjańskim, równanie okręgu. Rozwiązanie z odległości środków okręgów stycznych. Etap 1: wyznaczenie środków i promieni okręgów, S₁=(6,4), r₁=3, S₂=(a,-2), r₂=9, styczność zewnętrzna i wewnętrzna, 2 pkt. Etap 2: równanie √((a-6)²+6²)=12, a=6(1±√3), 2 pkt. Etap 3: równanie styczności wewnętrznej, 2 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 35: Zadanie: Podział punktów za trzeci etap rozwiązania, 2 punkty za zapisanie równania i rozwiązanie a=6, 1 punkt za zapisanie równania. Uwagi dotyczące błędów i punktacji, maksymalnie 5 punktów. Rozwiązanie z wykorzystaniem wspólnej stycznej lub równania kwadratowego z parametrem, 6 punktów za wszystkie wartości parametru a, 5 punktów za jedno rozwiązanie, 4 punkty za równanie wielomianowe.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 36: Zadanie 1: zapisanie równania z niewiadomą a, rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem a, Δ=0. Zadanie 2 (2 pkt): zapisanie równania prostej (12-2a)x+12y+a²-120=0, współrzędne środka i promień okręgu. Zadanie 3 (1 pkt): równanie prostej (12-2a)x+12y+a²-120=0. Przykładowe rozwiązania: okręgi o równaniach x²+y²-12x-8y+43=0 i x²+y²-2ax+4y+a²-77=0, odległość między środkami okręgów, równanie (a-6)²=108.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 37: Zadanie 1: rozwiązanie równania okręgów metodą wspólnej stycznej. Okrąg o równaniu $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0$ ma środek $S_1 = (6, 4)$ i promień $r_1 = 3$, a okrąg $x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0$ ma środek $S_2 = (a, -2)$ i promień $r_2 = 9$. Obliczenia prowadzą do równania $(a-6)^2 = 108$, co daje rozwiązania $a = 6(1+\sqrt{3})$ lub $a = 6(1-\sqrt{3})$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 38: Zadanie 12: Rozwiązanie układu równań z parametrem a, analiza warunków dla jednego punktu wspólnego okręgów. Równanie kwadratowe z parametrem a, wyznaczenie wartości a dla których równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Kluczowe kroki: przekształcenie równań, obliczenie wyróżnika, rozkład na czynniki. Końcowy wynik: a=6±6√3 lub a=6.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 39: Zadanie 12 (0–6 pkt): Ciągi, użycie wzoru na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Rozwiązanie składa się z dwóch etapów: wyznaczenie zależności dla q (4 pkt) i wartości ilorazu ciągu (2 pkt). Kluczowe kroki: zapisanie równań kwadratowych, wyznaczenie zależności między wyrazami ciągu, np. $ a = \frac{1}{3}c $, $ b = \frac{2}{3}c $, równanie kwadratowe $ 3q^2 + 8q - 3 = 0 $.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 40: Zadanie dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Opis punktacji: 1 punkt za zapisanie zależności, 2 punkty za obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego $ q = \frac{1}{3} $, 1 punkt za wyrażenie ilorazu jako funkcji dwóch zmiennych. Uwagi dotyczące strategii rozwiązań i przykładowe rozwiązanie z założeniami dla ciągów, przekształcenia wzorów.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 41: Zadanie 9: Rozwiązanie równania kwadratowego poprzez podstawienie b, przekształcenie równania do postaci -39a²-14ac+9c²=0 lub 9c²-14ac-39a²=0. Wyznaczenie wyróżnika Δ=1600c², √Δ=40c. Pierwiastki a₁=-9/13c, a₂=1/3c, c₁=13/9a, c₂=3a. Rozwiązania sprzeczne z założeniem. Iloraz ciągu geometrycznego q=1/3. Uwaga: alternatywne wyrażenie q=2/3·a/b, c=2b-a.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 42: Zadanie 7: rozwiązanie równania kwadratowego 3q² + 8q - 3 = 0. Wyznaczone rozwiązania: q = -3 lub q = 1/3. Zauważono, że tylko q = 1/3 spełnia warunki zadania.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 43: Zadanie 13 (0-6 pkt): Rozwiązanie składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap: wyznaczenie wartości parametru m, dla którego spełnione są warunki zadania. Przykłady równań: $2 \cdot 3^{(m^3+2)} \cdot 2^2 - 11 - 2 \cdot 2(m+1) = 0$. Drugi etap: rozwiązanie nierówności wielomianowej, wynik: $x \in (-\infty, -3) \cup \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$. Punktacja: 4, 3, 2, 1 pkt w zależności od poprawności rozwiązania.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 44: Zadanie 3-8: analiza błędów w interpretacji i obliczeniach, ocena punktowa za poprawność rozwiązań. Przykładowe rozwiązanie: wielomian $ W(x) $ podzielny przez dwumian $ x-2 $, obliczenia prowadzą do układu równań $ 4m^3-4m=0 $ i $ m^3-4m+3=0 $. Rozwiązania: $ m=0, m=-1, m=1 $. Metody: podział wielomianu, analiza reszty, rozwiązanie układu równań.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 45: Zadanie 1: rozwiązanie równania $m^3 - 4m + 3 = 0$, otrzymane wartości $m = 1, m = \frac{-1-\sqrt{13}}{2}, m = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$. Sprawdzenie, że $m = 1$ spełnia równanie. Zadanie 2: rozwiązanie nierówności $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \leq 0$ poprzez przekształcenia, końcowy wynik $(x-2)(x+3)(x+\frac{1}{2}) \leq 0$, zbiór rozwiązań $(-\infty, -3) \cup \langle -\frac{1}{2}, 2 \rangle$. Szkic wykresu funkcji.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 46: Zadanie 14 (0-4 pkt): Trygonometria, zastosowanie wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Rozwiązanie pełne (4 pkt): x=kπ lub x=π/3+2kπ lub x=-π/3+2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Pokonanie trudności (3 pkt): rozwiązanie równań alternatywnych, np. sin x=0: x=kπ lub cos x=1/2=0. Istotny postęp (2 pkt): przekształcenie równań do alternatyw, np. sin x=0 lub cos x=1/2=0.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 47: Zadanie 1 (1 pkt): przekształcenie równania trygonometrycznego do postaci z funkcjami sin i cos, błąd w zastosowaniu wzoru sumy sinusów. Uwagi: błędy w zastosowaniu wzorów trygonometrycznych, podstawianiu wartości funkcji, zapisie wielokrotności kąta π. Punktacja: maksymalnie 3 punkty za pełne rozwiązanie, 2 punkty za niepełne, 1 punkt za minimalne postępy.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 48: Zadanie dotyczące przekształcania równania trygonometrycznego. I sposób: przekształcenie równania z użyciem tożsamości trygonometrycznych, rozwiązania: $x = k\pi$, $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. II sposób: podobne przekształcenia, rozwiązania: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $x = 2k\pi$. III sposób: przekształcenia prowadzą do $x = 2k\pi$, $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 49: Zadanie 15 (0–7 pkt): Modelowanie matematyczne, rachunek różniczkowy. Pierwszy etap (3 pkt): oznaczenie krawędzi i wysokości graniastosłupa, wyznaczenie h=8/(a²√3), zapisanie pola powierzchni f(a), dziedzina f: (0; +∞). Drugi etap (3 pkt): wyznaczenie pochodnej f'(a), miejsca zerowego a=2, analiza znaku pochodnej. Trzeci etap: brak szczegółów. Szkiców brak.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 50: Zadanie dotyczące graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Opisano wyznaczanie najmniejszego pola powierzchni całkowitej, z krawędzią podstawy a=2 i wysokością h=2√3/3, wynik pola 6√3. Przykładowe rozwiązanie zawiera rysunek graniastosłupa z oznaczeniami a i h. Omówiono warunki uzyskania punktów za etapy rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 51: Zadanie 13: Obliczenia dotyczą objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Rozwiązanie obejmuje wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni całkowitej $ P_c $ oraz jego przekształcenia. Wyznaczono pochodną funkcji $ f $ dla minimalizacji pola. Kluczowe kroki: obliczenie pochodnej $ f'(a) $, znalezienie miejsc zerowych, ustalenie wartości $ a=2 $. Wynik: minimalna wartość funkcji dla $ a \in (0; +\infty) $.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2019, CKE - strona 52: Zadanie: Obliczenia dotyczą funkcji f z minimum lokalnym dla a=2, gdzie funkcja jest rosnąca na przedziale (2,+∞) i malejąca na (0,2). Dla a=2, wysokość h=2√3/3. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa Pₚ=6√3 dla krawędzi podstawy a=2 i wysokości h=2√3/3. Odpowiedź: Najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi 6√3 dla prawidłowego graniastosłupa trójkątnego.

Matura rozszerzona matematyka maj 2019: interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi