Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2024 | Interaktywny Arkusz + PDF

Zadanie 1

Odległość punktu \(A = (6, 2)\) od prostej o równaniu \(5x − 12y + 1 = 0\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{7}{13}\)

B. \(\frac{7}{12}\)

C. \(\frac{5}{12}\)

D. \(\frac{12}{13}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Równanie \(|2x - 4| = 3x + 1\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązań.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

D. ma dokładnie cztery rozwiązania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = |-(x + 2)^3 + 5|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. \([-2, +\infty)\)

B. \([0, +\infty)\)

C. \([3, +\infty)\)

D. \([5, +\infty)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Granica \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1 + 3a + 2ax + ax^3}{3 + 4x + 5x^2 + 5x^3}\) jest równa \(3\). Wtedy

Wybierz odpowiedź:

A. \(a = 3\)

B. \(a = 9\)

C. \(a = 15\)

D. \(a = 21\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wielomian \(W(x) = 8x^3 + 14x^2 +5x +3\) jest iloczynem wielomianów \(P(x) = 2x + 3\) oraz \(Q(x) = ax^2 + bx + c\).

W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników: \(a, b\) oraz \(c\).

\(\square \square \square\)

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Wykaż, że jeżeli \(\log_54 = a\) oraz \(\log_43 = b\), to \(\log_{12}80 = \frac{2a + 1}{a \cdot (1 + b)}\).

Sprawdź z filmikiem, czy poprawnie wykonałaś/eś zadanie.

Wybierz odpowiedź:

A. Poprawnie

B. Błędnie

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(S\).

Wykaż, że jeżeli \(\frac{|AS|}{|DS|} = \frac{|BS|}{|CS|}\), to na czworokącie \(ABCD\) można opisać okrąg.

Sprawdź z filmikiem, czy poprawnie wykonałaś/eś zadanie.

Wybierz odpowiedź:

A. Poprawnie

B. Błędnie

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Funkcja \(f\) jest określona wzorem

\(f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x}\)

dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od zera. Punkt \(P\), o pierwszej współrzędnej równej \(2\), należy do wykresu funkcji \(f\). Prosta o równaniu \(y = ax + b\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\).

Oblicz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu tej stycznej.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Oblicz \(x, y\) oraz \(z\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Rozwiąż równanie

\(\sin(2x) + \cos(2x) = 1 + \sin x - \cos x\)

w zbiorze \([0, 2\pi]\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Promień okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) jest równy \(17\). Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok \(AC\), a długości dwóch pozostałych boków są równe \(|AB| = 30\) oraz \(|BC| = 17\). Oblicz miarę kąta \(BAC\) oraz długość boku \(AC\) tego trójkąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Środek \(S\) okręgu o promieniu \(\sqrt{5}\) leży na prostej o równaniu \(y = x + 1\). Przez punkt \(A = (1, 2)\), którego odległość od punktu \(S\) jest większa od \(\sqrt{5}\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – \(B\) i \(C\). Pole czworokąta \(ABSC\) jest równe \(15\).

Oblicz współrzędne punktu \(S\). Rozważ wszystkie przypadki.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^2 - (3m + 1) \cdot x + 2m^2 + m + 1 = 0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) , \(x_2\) spełniające warunek

\(x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt{3}\).

a) Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

\(P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}\)

b) Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

\(P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}\)

dla \(a \in (0, 8\sqrt{3}\). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Sprawdź z filmikiem, czy poprawnie wykonałaś/eś zadanie.

Wybierz odpowiedź:

A. Poprawnie

B. Błędnie