Matura rozszerzona matematyka sierpień 2010 arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2010 • formuła 2002

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Sprawdź odpowiedzi i rozwiązania, aby skutecznie przygotować się do egzaminu.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Zawiera instrukcje dla zdających, takie jak sprawdzenie liczby stron, wpisanie numeru PESEL, używanie długopisu lub pióra z czarnym tuszem, zakaz używania korektora. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejkę z kodem.

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 2: Zadanie 1: wyznacz wszystkie rozwiązania równania $2\sin^2 x - 7\cos x - 5 = 0$ należące do przedziału $\langle 0, 2\pi \rangle$.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 3: Zadanie 2: Rozwiąż nierówność |2x + 2| + |x - 2| > 5.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 4: Zadanie 3: Dane są punkty A=(1,5), B=(9,3) i prosta k o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma |AC|²+|BC|² jest najmniejsza.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 5: Zadanie 4: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (m-4)x + m² - 4m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m³ - 3.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 6: Zadanie 5: Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = x² - 4|x| i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m.

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 7: Zadanie 6: wykaż, że nierówność $\sqrt[4]{\frac{a^4 + b^4}{2}} \geq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $a$ i $b$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 8: Zadanie 7: Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $12\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa wynosi 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 9: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń pomocniczych, brak widocznych zadań lub treści do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 10: Zadanie 8: Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC. Kąty trójkąta ABC mają miary: ∠CAB=42°, ∠ABC=78°. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E. Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z okręgiem opisanym i styczną CE.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 11: Strona zawiera pustą siatkę kratkowaną bez widocznych zadań ani treści.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 12: Zadanie 9: Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 13: Zadanie 10: Punkt A = (2, -3) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 300. Punkt S = (3, 4) jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 14: Zadanie 11: Ciąg (a, b, c) jest geometryczny i a + b + c = 26, zaś ciąg (a - 5, b - 4, c - 11) jest arytmetyczny. Oblicz a, b, c.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 15: Brudnopis, strona przeznaczona na notatki i obliczenia pomocnicze, bez zadań do rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 16: Zadanie 8: Oblicz wartość wyrażenia $ \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1} $ dla $ x = 2 $. Zadanie 9: Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 cm i 12 cm, oblicz długość przeciwprostokątnej. Zadanie 10: Ciąg dalszy zadania 7 dotyczącego funkcji kwadratowej.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 17: Strona zawiera tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z miejscem na sumę punktów od 0 do 50. Znajduje się także miejsce na kod zdającego, kod egzaminatora oraz czytelny podpis egzaminatora. Strona przeznaczona na dane administracyjne, brak zadań matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 1: Zadanie 1 (4 pkt): rozwiązanie równania 2sin²x−7cosx−5=0. Przekształcenie do funkcji trygonometrycznej 2(1−cos²x)−7cosx−5=0, wprowadzenie zmiennej t=cosx. Rozwiązanie równania kwadratowego 2t²+7t+3=0, Δ=25, t₁=−3 (odrzucone), t₂=½. Rozwiązanie cosx=−½, wyniki x=2/3π lub x=4/3π. Schemat oceniania: 1 pkt za przekształcenie, 2 pkt za wprowadzenie zmiennej, 3 pkt za rozwiązanie równania kwadratowego.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 2: Zadanie 1 (4 pkt): rozwiązanie równania w przedziale, x=2/3π lub x=4/3π, x=120° lub x=240°. Uwagi dotyczące punktacji za różne podejścia. Zadanie 2 (4 pkt): rozwiązanie nierówności |2x+2|+|x−2|>5, wyróżnienie przedziałów na osi liczbowej, rozwiązania w przedziałach x∈(-∞,-5/3)∪(1,∞).

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 3: Zadanie 2: rozwiązanie nierówności przez zapisanie czterech przypadków. Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przypadkach, m.in. $2x+2 \geq 0$, $x-2 \geq 0$, z kluczowymi krokami obliczeń. Końcowy wynik: $x \in \left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (1, \infty)$. Brak elementów wizualnych. Punktacja: 1 pkt za istotny postęp, 2 pkt za pokonanie trudności zadania.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 4: Zadanie 3 (4 pkt): rozwiązanie nierówności |2x+2|+|x-2|>5 metodą graficzną. Rysunek funkcji f(x)=|2x+2|+|x-2| i prostej y=5. Wyróżnione przedziały: (-∞,-1), (-1,2), (2,∞). Zapis wzoru funkcji w przedziałach: I. f(x)=-2x-2-x+2, II. f(x)=2x+2-x+2, III. f(x)=2x+2+x-2. Przekształcenie wzoru: I. f(x)=-3x, II. f(x)=x+4, III. f(x)=3x. Odpowiedź: x∈(-∞,-5/3)∪(1,∞).

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 5: Zadanie 4: przedstawiono funkcję f(x) zdefiniowaną w trzech przedziałach: f(x)=-3x dla x∈(-∞,-1), f(x)=x+4 dla x∈⟨-1,2), f(x)=3x dla x∈⟨2,∞). Wykres funkcji oraz prosta y=5, punkty przecięcia x=-5/3, x=1. Argumenty, dla których f(x)>5: x∈(-∞,-5/3)∪(1,∞). Szkic wykresu funkcji i prostej. Punktacja: 1 pkt za niewielki postęp, 2 pkt za istotny postęp.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 6: Zadanie 1 (3 pkt): narysowanie wykresu funkcji f i prostej y=5. Zadanie 2 (4 pkt): rozwiązanie nierówności |2x+2|+|x−2|>5 graficznie, wykresy y=|2x+2| i y=−|x−2|+5, odczyt punktów przecięcia x=−5/3, x=1, odpowiedź: x∈(−∞,−5/3)∪(1,∞). Wykresy funkcji z zaznaczonymi punktami przecięcia.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 7: Zadanie 5: rozwiązanie nierówności |2x+2|>|x-2|+5 graficznie. Rysujemy wykresy funkcji y=|x-2| i y=-|2x+2|+5. Odczytujemy punkty przecięcia: x=5/3, x=1. Zapisujemy odpowiedź: x ∈ (-∞, -5/3) ∪ (1, ∞). Wykres przedstawia przecięcie prostych na układzie współrzędnych. Schemat oceniania: 1-4 pkt za poprawność i kompletność rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 8: Zadanie 3 (5 pkt): obliczenie współrzędnych punktu C na prostej y=x+1, minimalizując sumę kwadratów odległości |AC|²+|BC|². Rozwiązanie: wyznaczenie funkcji f(x)=4x²-32x+102, minimalizacja dla x=4, y=5, współrzędne C=(4,5). Elementy wizualne: wykres z punktami A(1,5), B(9,3), C(4,5) na prostej. Punktacja: 1 pkt za zapisanie współrzędnych, 2 pkt za zapisanie zależności kwadratów odległości.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 9: Zadanie 4 (5 pkt): wyznaczanie wartości parametru m, dla których równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m³-3. Rozwiązanie obejmuje zapisanie układu warunków, obliczenie wyróżnika Δ=-3m²+8m+16, rozwiązanie nierówności Δ>0, oraz zapisanie warunku x₁+x₂<2m³-3. Ostateczny wynik: m ∈ (-∞, 4).

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 10: Schemat oceniania zadania składającego się z trzech części. Część a: rozwiązanie nierówności Δ > 0, m ∈ (-4/3, 4), 1 pkt. Część b: nierówność x₁ + x₂ < 2m³ - 3, m ∈ (-1, ∞), 3 pkt. Kluczowe kroki: zapisanie nierówności, wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego, doprowadzenie nierówności do postaci (m+1)(2m²-2m+1) > 0. Część c: wyznaczenie części wspólnej rozwiązań, m ∈ (-1, 4), 1 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 11: Zadanie 5 (4 pkt): narysuj wykres funkcji f(x)=x²-4|x|, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=m. Rozwiązanie: funkcja zapisana jako f(x)=x²-4x dla x≥0 oraz f(x)=x²+4x dla x<0. Szkic wykresu funkcji f: parabola symetryczna względem osi Oy. Liczba rozwiązań: 0 dla m∈(-∞,-4), 2 dla m∈{-4}∪(0,∞), 3 dla m=0, 4 dla m∈(-4,0).

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 12: Zadanie 5 (2 pkt): narysowanie wykresu funkcji f, szkic paraboli z trzema punktami wspólnymi z osią Ox, symetryczny względem osi Oy. Zadanie 6 (4 pkt): wykazanie nierówności $\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}} \geq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ dla liczb rzeczywistych a i b, podniesienie do czwartej potęgi, przekształcenie nierówności, końcowy wniosek o spełnieniu nierówności.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 13: Zadanie 7 (5 pkt): Obliczenie objętości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i sinusa kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej. Dane: objętość V = (a²√3/4)H = 12√3, pole P_b = 3a·H = 36, rozwiązanie układu równań a=4, H=3. Obliczenie sin α = |EC₁|/|BC₁|, gdzie |BC₁|=5, |EC₁|=2√3, więc sin α = 2√3/5. Rysunek graniastosłupa z oznaczeniami i kątem α.

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 14: Schemat oceniania dla zadania dotyczącego graniastosłupa. Rozwiązanie układu równań: $ a = 4 $, $ H = 3 $. Obliczenie kąta nachylenia: $ \sin \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5} $. Uwagi dotyczące rysowania graniastosłupa i poprawności obliczeń. Punktacja: 1 pkt za zapisanie równań, 2 pkt za poprawne określenie kąta, 3 pkt za rysunek z kątem, 4 pkt za pełne rozwiązanie.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 15: Zadanie 8 (4 pkt): Obliczenie kątów trójkąta CDE. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z okręgiem opisanym i styczną CE. Rozwiązanie: kąt DCB=½∠ACB=30°, ∠CDE=180°-(78°+30°)=72°, ∠COB=84°, ∠OCB=48°, ∠BCE=42°. Obliczenia wykorzystują twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą. Wyniki: ∠CDE=72°, ∠DCE=72°, ∠CED=36°.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 16: Zadanie 8 (4 pkt): obliczenie miar kątów w trójkącie CDE, ∠CDE=72°, ∠DCE=72°, ∠CED=36°. Zadanie 9 (4 pkt): obliczanie prawdopodobieństwa, że suma sąsiednich liczb w szeregu 1-8 jest nieparzysta, model klasyczny, |Ω|=8!, |A|=2·4!·4!, P(A)=1/35. Schemat oceniania: różne poziomy postępu rozwiązania z przypisanymi punktami.

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 17: Zadanie dotyczące obliczania prawdopodobieństwa z podaniem wyniku w postaci ułamka zwykłego $ P(A) = \frac{1}{35} $. Rozwiązanie obejmuje dwa sposoby, z uwagami na temat błędów rachunkowych. II sposób: zdarzenia elementarne jako podzbiory czteroelementowe, model klasyczny $ |\Omega| = \binom{8}{4} $, zdarzenie $ A $ z sumą liczb nieparzystą, $ |A| = 2 $, $ P(A) = \frac{1}{35} $. Punktacja: 4 pkt za rozwiązanie bezbłędne, 2 pkt za błąd rachunkowy, 3 pkt za ułamek zwykły.$

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 18: Zadanie 10 (6 pkt): Punkt A=(2,-3) jest wierzchołkiem rombu ABCD, S=(3,4) środkiem symetrii. Oblicz współrzędne wierzchołków. Rozwiązanie: środek symetrii, xₛ=(x₄+x꜀)/2, yₛ=(y₄+y꜀)/2, C=(4,11). Długość przekątnej AC: |AC|=10√2. Pole rombu 300=½·10√2·|BD|, |BD|=30√2. Punkt B leży na prostej x+7y=31, współrzędne B i D wyznaczone. Szkic rombu z wierzchołkami.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 19: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań z równaniami okręgów i prostych, kluczowe kroki: przekształcenie do równania kwadratowego, rozwiązanie x=-18 lub x=24, y=7 lub y=1. Zadanie 2: obliczenie współrzędnych wierzchołków rombu, B=(24,1), C=(4,11), D=(-18,7). Elementy wizualne: brak. Punktacja: 1 pkt za obliczenie C, 2 pkt za zapisanie układu równań, 4 pkt za przekształcenie do równania kwadratowego, 6 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 20: Zadanie dotyczące obliczeń związanych z rombem. Obliczenie współrzędnych punktu C jako środka symetrii: C=(4,11). Długość przekątnej AC=10√2. Obliczenie długości przekątnej BD=30√2. Z twierdzenia Pitagorasa długość boku AD=10√5. Rozwiązanie układu równań dla punktów B i D, wyniki: B=(24,1), D=(-18,7). Schemat oceniania: 1 pkt za obliczenie współrzędnych C i długości AC, 2 pkt za obliczenie BD i AD.

Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 21: Zadanie 11 (5 pkt): Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, a a+b+c=26, ciąg (a-5, b-4, c-11) arytmetyczny. I sposób: zapisanie równań b²=a·c, 2(b-4)=(a-5)+(c-11), układ równań, przekształcenie do równania kwadratowego, rozwiązania a=2, b=6, c=18 lub a=18, b=6, c=2. II sposób: oznaczenie a, q, zapisanie układu równań, rozwiązanie równania kwadratowego, q=1/3, q=3.

$Matematyka, matura rozszerzona, sierpień 2010, CKE - strona 22: Zadanie (1 pkt): wykorzystanie własności ciągu geometrycznego lub arytmetycznego, zapisanie równania np. $b^2 = a \cdot c$. Zadanie (2 pkt): użycie własności obu ciągów, układ równań np. $a + a \cdot q + a \cdot q^2 = 26$. Zadanie (3 pkt): przekształcenie układu do równania kwadratowego np. $a^2 - 20a + 36 = 0$. Zadanie (4 pkt): poprawne rozwiązanie równania kwadratowego z odrzuceniem jednego z rozwiązań. Rozwiązanie (5 pkt): $a = 2, b = 6, c = 18$ lub $a = 18, b = 6, c = 2$.$