Funkcja kwadratowa - postać iloczynowa i ogólna

Funkcja kwadratowa to jedna z najważniejszych funkcji elementarnych w matematyce. Jej wykres, znany jako parabola, ma charakterystyczny, symetryczny kształt. Zrozumienie różnych postaci, w jakich może być zapisana funkcja kwadratowa, jest kluczowe, ponieważ każda z nich dostarcza natychmiastowej informacji o innych istotnych cechach paraboli.

📌 Postać Ogólna (Standardowa)

Postać ogólna to bazowy i najczęściej spotykany sposób zapisu funkcji kwadratowej.

Wzór Postaci Ogólnej

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

gdzie:

$x$ to zmienna niezależna,
$a$, $b$, $c$ to stałe współczynniki, przy czym $a≠0$.

Kluczowe Informacje z Postaci Ogólnej

Kierunek ramion paraboli (znak współczynnika $a$):

Jeśli $a>0$, ramiona paraboli skierowane są do góry.
Jeśli $a<0$, ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Punkt przecięcia z osią OY (współczynnik $c$):

Współczynnik $c$ to zawsze współrzędna $y$ punktu, w którym parabola przecina oś rzędnych. Ten punkt ma współrzędne ($0$, $c$).

Wyróżnik ($\Delta $):

Chociaż sama postać ogólna nie ujawnia łatwo miejsc zerowych, to współczynniki a,b,c są niezbędne do obliczenia wyróżnika (często zwanego deltą), który determinuje istnienie miejsc zerowych.

$$\Delta = b² - 4ac$$

📌 Postać Kanoniczna (Wierzchołkowa)

$$f(x)=a(x−p)^2+q$$

Ta postać ujawnia współrzędne wierzchołka.

Co odczytasz?

Wierzchołek ($W$): Jego współrzędne to ($p$, $q$).
Oś symetrii: Jest to prosta $x=p$.

Jak się do niej dostać?

Obliczając współrzędne wierzchołka z postaci ogólnej

$p=\frac {-b}{2a}$ oraz $q=\frac {4a}{\Delta}$

📌 Postać Iloczynowa

$$f(x)=a(x−x_1)(x−x_2)$$

Istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe ($\Delta ≥ 0$).

Co odczytasz?

Miejsca zerowe: To są $x_1$ i $x_2$ (punkty przecięcia z osią OX).

Kiedy występuje?

$\Delta > 0$: Dwa różne miejsca zerowe ($x_1$, $x_2$).
$\Delta=0$: Jedno podwójne miejsce zerowe ($x_0$), wtedy wzór to $f(x)=a(x−x_0)^2$.
$\Delta<0$: Brak miejsc zerowych – postać iloczynowa nie istnieje.

Przykład Praktyczny czyli Notatka do Druku i film na YouTube

Chcesz mieć najważniejsze wzory zawsze pod ręką? Przygotowaliśmy dla Ciebie notatkę do druku, którą możesz pobrać i wykorzystać podczas nauki a do tego film z wyjaśnieniem krok po kroku i przykładami.