Matura rozszerzona z matematyki czerwiec 2023 (formuła 2015)

Wartość wyrażenia \(\log_{\sqrt{2}} 3 \cdot \log_{\sqrt{3}} 2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{4}\)

B. \(3^2\)

C. \(2^3\)

D. \(4\)

Dany jest trójkąt o bokach długości \(4\), \(5\) oraz \(6\). Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{8}\)

B. \(\frac{9}{16}\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\big(-\frac{3}{4}\big)\)

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 7\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-63)\)

B. \((-39)\)

C. \(25\)

D. \(41\)

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku \(1\).

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = f\big(\frac{1}{2}x\big)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu funkcji \(g\).

Fragment wykresu funkcji \(g\) przedstawia rysunek

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz granicę

\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 2n + 1}{3n^3 - n^2 - 2n + 3}\)

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 9x\) dla każdego \(x \in \R\). Punkt \(P = (x_0, 18)\) należy do wykresu funkcji \(f\).

Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność

\(a^2 + \frac{16}{a} \ge 12\)

Dany jest okrąg \(\mathcal{O}\). Przez punkt \(A\) poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(P\) oraz \(Q\). Przez punkt \(B\) leżący na odcinku \(AP\) poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie \(D\), która przecięła odcinek \(AQ\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że jeżeli \(|AQ| = 5 \cdot |BP|\) oraz \(|CD| = 2 \cdot |BD|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

\(2x - \frac{6x}{x - 1} + \frac{18x}{(x - 1)^2} - \frac{54x}{(x - 1)^3} + ...\)

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\).

Rozwiąż równanie

\(\sin(5x) + \cos x = 0\)

w zbiorze \(\big\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \big\rangle\).

W pudełku umieszczono \(n\) kul (\(n \ge 3\)) wśród których dokładnie \(2\) kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe \(\frac{37}{50}\).

Oblicz \(n\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0\)

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki:

\(x_1 \ne 0\), \(x_2 \ne 0\) oraz \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} < 1\)

Czworokąt wypukły \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(4\). Kąty \(BAD\) i \(BCD\) są proste (zobacz rysunek). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(E\) tak, że \(|BE| = 3 \cdot |DE|\) oraz \(|BD| = 2 \cdot |AE|\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długości boków czworokąta \(ABCD\).

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z dowolnym wierzchołkiem podstawy \(EFGH\) ma długość \(d\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

a) Wyznacz zależność objętości \(V\) graniastosłupa od jego wysokości \(h\) i podaj dziedzinę funkcji \(V(h)\).

b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.

Okrąg \(o_1\) o środku w punkcie \(S_1\) jest określony równaniem \((x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 16\). Okrąg \(o_2\) ma środek w punkcie \(S_2\) takim, że \(\overrightarrow{S_1S_2} = [-4, 4]\). Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura \(F\) składa się z dwóch okręgów: \(o_1\) oraz \(o_2\). Punkty \(M\) i \(N\) są punktami przecięcia figury \(F\) z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.

Wyznacz punkt \(K\), leżący na jednej z osi symetrii figury \(F\), taki, że pole trójkąta \(MNK\) jest równe \(40\).

Wartość wyrażenia \(\log_{\sqrt{2}} 3 \cdot \log_{\sqrt{3}} 2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{4}\)

B. \(3^2\)

C. \(2^3\)

D. \(4\)

Dany jest trójkąt o bokach długości \(4\), \(5\) oraz \(6\). Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{8}\)

B. \(\frac{9}{16}\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\big(-\frac{3}{4}\big)\)

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 7\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-63)\)

B. \((-39)\)

C. \(25\)

D. \(41\)

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku \(1\).

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = f\big(\frac{1}{2}x\big)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu funkcji \(g\).

Fragment wykresu funkcji \(g\) przedstawia rysunek

Wybierz odpowiedź:

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz granicę

\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 2n + 1}{3n^3 - n^2 - 2n + 3}\)

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 9x\) dla każdego \(x \in \R\). Punkt \(P = (x_0, 18)\) należy do wykresu funkcji \(f\).

Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność

\(a^2 + \frac{16}{a} \ge 12\)

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że jeżeli \(|AQ| = 5 \cdot |BP|\) oraz \(|CD| = 2 \cdot |BD|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

\(2x - \frac{6x}{x - 1} + \frac{18x}{(x - 1)^2} - \frac{54x}{(x - 1)^3} + ...\)

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\).

Rozwiąż równanie

\(\sin(5x) + \cos x = 0\)

w zbiorze \(\big\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \big\rangle\).

Oblicz \(n\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0\)

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki:

\(x_1 \ne 0\), \(x_2 \ne 0\) oraz \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} < 1\)

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długości boków czworokąta \(ABCD\).

Kliknij, aby powiększyć

a) Wyznacz zależność objętości \(V\) graniastosłupa od jego wysokości \(h\) i podaj dziedzinę funkcji \(V(h)\).

b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.

Wyznacz punkt \(K\), leżący na jednej z osi symetrii figury \(F\), taki, że pole trójkąta \(MNK\) jest równe \(40\).

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2023 (formuła 2015): interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2023 (formuła 2015): interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie