Twierdzenie cosinusów: wzór, zastosowanie i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie cosinusów mówi, że w każdym trójkącie kwadrat boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$. Używasz go, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki trójkąta. Działa w każdym trójkącie, nie tylko w prostokątnym.

Poniżej znajdziesz wzór, dwa przykłady krok po kroku, najczęstsze błędy, 10 zadań z rozwiązaniami i notatki A4 do druku.

Twierdzenie cosinusów: wzór

Weźmy dowolny trójkąt o bokach $a, b, c$. Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a$, kąt $\beta$ naprzeciwko boku $b$, a kąt $\gamma$ naprzeciwko boku $c$.

Nie musisz uczyć się tych trzech wersji osobno. Wszystkie działają według tego samego schematu: po lewej stronie jest bok, który leży naprzeciwko kąta, a po prawej dwa pozostałe boki i cosinus tego kąta.

Dobra wiadomość: ten wzór znajdziesz w tablicach CKE, więc na maturze nie musisz go pamiętać. Musisz za to umieć go poprawnie zastosować, i tego właśnie się tu nauczysz.

Twierdzenie cosinusów a twierdzenie Pitagorasa

Sprawdźmy, co się stanie, gdy kąt $\alpha$ będzie prosty. Wtedy $\cos 90^\circ = 0$, więc cały ostatni składnik znika:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0$$

$$a^2 = b^2 + c^2$$

Wyszło twierdzenie Pitagorasa. Pitagoras jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów. Składnik $-2bc\cos\alpha$ to „poprawka”, która uwzględnia, że kąt nie jest prosty.

Kiedy używać twierdzenia cosinusów, a kiedy sinusów

Są dwie sytuacje, w których od razu powinna zapalić Ci się lampka:

• Znasz dwa boki i kąt między nimi, a szukasz trzeciego boku. Podstawiasz do wzoru i liczysz.
• Znasz wszystkie trzy boki, a szukasz kąta. Przekształcasz wzór i wyliczasz cosinus kąta.

Do liczenia kąta najwygodniej używać przekształconej wersji:

$$\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

Jeśli znasz bok i kąt naprzeciwko niego, zwykle szybciej pójdzie Ci z twierdzeniem sinusów.

Jak obliczyć bok trójkąta, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi

Przykład: w trójkącie dwa boki mają długości 16 i 10, a kąt między nimi ma miarę 60°. Szukamy trzeciego boku.

1. Nazwij boki. Szukany bok to $a$, leży naprzeciwko kąta $\alpha = 60^\circ$. Boki przy tym kącie to $b = 16$ i $c = 10$.
2. Podstaw do wzoru. Najpierw mnożenie, potem odejmowanie.

$$a^2 = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ$$

$$a^2 = 256 + 100 - 320 \cdot \frac{1}{2}$$

$$a^2 = 196$$

3. Spierwiastkuj wynik. Wzór daje $a^2$, a nie $a$.

$$a = 14$$

Jak obliczyć kąt trójkąta, gdy znasz 3 boki

Przykład: boki trójkąta mają długości 7, 8 i 13. Szukamy największego kąta.

1. Znajdź bok naprzeciwko szukanego kąta. Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku, więc $a = 13$, $b = 7$, $c = 8$.
2. Podstaw do przekształconego wzoru.

$$\cos\alpha = \dfrac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}$$

$$\cos\alpha = \dfrac{49 + 64 - 169}{112}$$

$$\cos\alpha = -\dfrac{56}{112}$$

$$\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}$$

3. Odczytaj kąt z tabeli wartości. Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty.

$$\alpha = 120^\circ$$

Wartości cosinusa, które warto mieć pod ręką

W zadaniach najczęściej pojawiają się te kąty:

Zapamiętaj: dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny. Korzystamy tu ze wzoru $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, np. $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny

Twierdzenie cosinusów daje bardzo szybki sposób. Niech $a$ będzie najdłuższym bokiem trójkąta. Porównaj $a^2$ z sumą $b^2 + c^2$:

• $a^2 < b^2 + c^2$ → trójkąt ostrokątny
• $a^2 = b^2 + c^2$ → trójkąt prostokątny
• $a^2 > b^2 + c^2$ → trójkąt rozwartokątny

Dlaczego to działa? Bo znak cosinusa największego kąta zależy od znaku licznika $b^2 + c^2 - a^2$. Ujemny cosinus oznacza kąt rozwarty.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu cosinusów

• Zły kąt we wzorze. Kąt we wzorze to zawsze kąt między dwoma bokami z prawej strony, czyli ten, który leży naprzeciwko boku z lewej strony.
• Zgubiony minus przy kącie rozwartym. Przy $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ mamy $-2bc \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = +bc$. Minus razy minus daje plus, więc ostatni składnik się dodaje.
• Brak pierwiastka na końcu. Wzór daje $a^2$, a nie $a$. Nie zapomnij spierwiastkować wyniku.
• Liczenie „od lewej” zamiast według kolejności działań. Najpierw mnożenie $2bc\cos\alpha$, dopiero potem odejmowanie.

Notatki i zadania do druku (A4)

Wszystkie 10 zadań z tego artykułu przygotowałam jako notatki A4 do druku: wzór i najważniejsze zasady w ramkach, kratka na rozwiązanie pod każdym zadaniem, a na końcu odpowiedzi do sprawdzenia.

Twierdzenie cosinusów: notatki i zadania do druku (A4)

Podaj e-mail, a wyślemy Ci notatki A4 do druku: wzór w ramce, najważniejsze zasady i 10 zadań z twierdzenia cosinusów z kratką na rozwiązanie.

• Format A4, gotowe do druku
• Odpowiedzi na końcu

Zgadzam się na newsletter z materiałami do nauki i ofertami kursów. Zgodę mogę wycofać w każdej chwili.

Pobierz notatki A4

Administratorem danych jest Edubite Sp. z o.o. Adres e-mail wykorzystamy, żeby wysłać Ci to, o co prosisz, a newsletter tylko po zaznaczeniu zgody. Masz prawo dostępu do danych, ich poprawienia, usunięcia i sprzeciwu. Szczegóły w polityce prywatności.

Zadania: jak obliczyć bok trójkąta z twierdzenia cosinusów

Policz każde zadanie samodzielnie, a dopiero potem odsłoń rozwiązanie.

Zadania: jak obliczyć kąt i rozpoznać rodzaj trójkąta

Podsumowanie

• Twierdzenie cosinusów działa w każdym trójkącie, a Pitagoras to jego szczególny przypadek.
• Używasz go, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.
• Dla kątów rozwartych cosinus jest ujemny, więc uważaj na znaki.
• Wzór masz w tablicach CKE, więc skup się na tym, żeby wiedzieć, co gdzie podstawić.

Wzór na twierdzenie cosinusów i inne wzory z geometrii szybko znajdziesz w artykule Tablice maturalne do matematyki podstawowej z dopiskami. Jak liczyć trójkąt, gdy znasz bok i kąt naprzeciwko niego, pokazuję w artykule o twierdzeniu sinusów.