Twierdzenie cosinusów: wzór, zastosowanie i zadania z rozwiązaniami

Znasz twierdzenie Pitagorasa? To świetnie, bo twierdzenie cosinusów to po prostu jego „starszy brat”. Pitagoras działa tylko w trójkącie prostokątnym, a twierdzenie cosinusów działa w każdym trójkącie. Dzięki niemu policzysz brakujący bok albo kąt nawet wtedy, gdy w trójkącie nie ma żadnego kąta prostego.

W tym artykule pokażę Ci wzór, wytłumaczę, kiedy go używać, a na końcu znajdziesz 10 zadań z rozwiązaniami krok po kroku, żebyś mógł od razu przećwiczyć wszystko w praktyce.

📐 Twierdzenie cosinusów: wzór

Weźmy dowolny trójkąt o bokach $a, b, c$. Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a$, kąt $\beta$ naprzeciwko boku $b$, a kąt $\gamma$ naprzeciwko boku $c$.

Kwadrat długości boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi.

Zapisane wzorami wygląda to tak:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$

Nie musisz uczyć się tych trzech wersji osobno. Wszystkie działają według tego samego schematu: po lewej stronie jest bok, który leży naprzeciwko kąta, a po prawej dwa pozostałe boki i cosinus tego kąta.

Dobra wiadomość: ten wzór znajdziesz w tablicach CKE, więc na maturze nie musisz go pamiętać. Musisz za to umieć go poprawnie zastosować, i tego właśnie się tu nauczysz.

🔗 Skąd związek z twierdzeniem Pitagorasa?

Sprawdźmy, co się stanie, gdy kąt $\alpha$ będzie prosty. Wtedy $\cos 90^\circ = 0$, więc cały ostatni składnik znika:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0 = b^2 + c^2$

Wyszło twierdzenie Pitagorasa! Czyli Pitagoras to szczególny przypadek twierdzenia cosinusów. Składnik $-2bc\cos\alpha$ to taka „poprawka”, która uwzględnia, że kąt nie jest prosty.

🎯 Kiedy używać twierdzenia cosinusów?

Są dwie sytuacje, w których od razu powinna zapalić Ci się lampka:

• Znasz dwa boki i kąt między nimi, a szukasz trzeciego boku. Podstawiasz do wzoru i liczysz.
• Znasz wszystkie trzy boki, a szukasz kąta. Przekształcasz wzór i wyliczasz cosinus kąta.

Do liczenia kąta najwygodniej używać przekształconej wersji:

$\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Jeśli natomiast znasz bok i kąt naprzeciwko niego, zwykle szybciej pójdzie Ci z twierdzeniem sinusów.

🧮 Wartości cosinusa, które warto mieć pod ręką

W zadaniach najczęściej pojawiają się te kąty:

Zapamiętaj: dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny. Korzystamy tu ze wzoru $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, np. $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

🔍 Jak rozpoznać, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?

Twierdzenie cosinusów daje bardzo szybki sposób. Niech $a$ będzie najdłuższym bokiem trójkąta. Porównaj $a^2$ z sumą $b^2 + c^2$:

• $a^2 < b^2 + c^2$ → trójkąt ostrokątny
• $a^2 = b^2 + c^2$ → trójkąt prostokątny
• $a^2 > b^2 + c^2$ → trójkąt rozwartokątny

Dlaczego to działa? Bo znak cosinusa największego kąta zależy od znaku licznika $b^2 + c^2 - a^2$. Ujemny cosinus oznacza kąt rozwarty.

⚠️ Najczęstsze błędy

• Zły kąt we wzorze. Kąt we wzorze to zawsze kąt między dwoma bokami z prawej strony, czyli ten, który leży naprzeciwko boku z lewej strony.
• Zgubiony minus przy kącie rozwartym. Przy $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ mamy $-2bc \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = +bc$. Minus razy minus daje plus, więc ostatni składnik się dodaje.
• Brak pierwiastka na końcu. Wzór daje $a^2$, a nie $a$. Nie zapomnij spierwiastkować wyniku.
• Liczenie „od lewej” zamiast według kolejności działań. Najpierw mnożenie $2bc\cos\alpha$, dopiero potem odejmowanie.

✏️ Zadania do samodzielnego rozwiązania

Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązań poniżej.

Zadanie 1. W trójkącie dwa boki mają długości 5 i 8, a kąt między nimi ma miarę 60°. Oblicz długość trzeciego boku.

Zadanie 2. W trójkącie dwa boki mają długości 4 i 6, a kąt między nimi ma miarę 120°. Oblicz długość trzeciego boku.

Zadanie 3. Boki trójkąta mają długości 5, 7 i 8. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciwko boku o długości 7.

Zadanie 4. Boki trójkąta mają długości 3, 5 i 7. Oblicz miarę największego kąta tego trójkąta.

Zadanie 5. Boki trójkąta mają długości 6, 7 i 10. Czy jest to trójkąt ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny? Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 6. Boki równoległoboku mają długości 4 i 6, a jego kąt ostry ma miarę 60°. Oblicz długości obu przekątnych tego równoległoboku.

Zadanie 7. Z tego samego punktu wyruszyły dwie osoby. Jedna przeszła 3 km prosto, druga 5 km prosto, a kąt między ich trasami wynosił 120°. Jak daleko od siebie są teraz te osoby?

Zadanie 8. W trójkącie $ABC$ bok $BC = 7$, bok $AC = 5$, a kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę 60°. Oblicz długość boku $AB$.

Zadanie 9 (zamknięte). Boki trójkąta mają długości 2, 3 i 4. Cosinus największego kąta tego trójkąta jest równy:

A. $-\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{7}{8}$ D. $-\frac{1}{2}$

Zadanie 10. Oblicz pole trójkąta o bokach 5, 7 i 8. Wskazówka: najpierw wyznacz jeden z kątów.

✅ Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 1

Szukamy boku $a$, mamy $b = 5$, $c = 8$, $\alpha = 60^\circ$.

$a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$a = 7$

Odpowiedź: Trzeci bok ma długość 7.

Zadanie 2

Mamy $b = 4$, $c = 6$, $\alpha = 120^\circ$, a $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

$a^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$a^2 = 16 + 36 + 24 = 76$

$a = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$

Odpowiedź: Trzeci bok ma długość $2\sqrt{19}$. Zwróć uwagę, że przez ujemny cosinus ostatni składnik się dodał.

Zadanie 3

Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a = 7$, pozostałe boki to $b = 5$ i $c = 8$.

$\cos\alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$

$\alpha = 60^\circ$

Odpowiedź: Kąt ma miarę 60°.

Zadanie 4

Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku, czyli boku 7.

$\cos\alpha = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$

$\alpha = 120^\circ$

Odpowiedź: Największy kąt ma miarę 120°, więc trójkąt jest rozwartokątny.

Zadanie 5

Najdłuższy bok to 10. Porównujemy jego kwadrat z sumą kwadratów pozostałych boków:

$10^2 = 100$

$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$

$100 > 85$, czyli cosinus największego kąta jest ujemny.

Odpowiedź: Trójkąt jest rozwartokątny.

Zadanie 6

Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty. Krótsza przekątna leży naprzeciwko kąta 60°, a dłuższa naprzeciwko kąta rozwartego $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Krótsza przekątna:

$d_1^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$, więc $d_1 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Dłuższa przekątna:

$d_2^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$, więc $d_2 = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$

Odpowiedź: Przekątne mają długości $2\sqrt{7}$ i $2\sqrt{19}$.

Zadanie 7

Trasy obu osób i odcinek, który je łączy, tworzą trójkąt. Znamy dwa boki (3 km i 5 km) i kąt między nimi (120°).

$d^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9 + 25 + 15 = 49$

$d = 7$

Odpowiedź: Osoby są od siebie oddalone o 7 km.

Zadanie 8

Kąt przy wierzchołku $A$ leży naprzeciwko boku $BC = 7$. Oznaczmy szukany bok $AB = x$.

$7^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \cos 60^\circ$

$49 = 25 + x^2 - 5x$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

$\Delta = 25 + 96 = 121$, $\sqrt{\Delta} = 11$

$x_1 = \dfrac{5 - 11}{2} = -3$, $x_2 = \dfrac{5 + 11}{2} = 8$

Długość boku nie może być ujemna, więc odrzucamy $x = -3$.

Odpowiedź: $AB = 8$.

Zadanie 9

Największy kąt leży naprzeciwko boku 4.

$\cos\alpha = \dfrac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{4 + 9 - 16}{12} = \dfrac{-3}{12} = -\dfrac{1}{4}$

Odpowiedź: A.

Zadanie 10

W zadaniu 3 policzyliśmy już, że w tym trójkącie kąt między bokami 5 i 8 ma miarę 60°. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem:

$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi $10\sqrt{3}$.

📌 Podsumowanie

• Twierdzenie cosinusów działa w każdym trójkącie, a Pitagoras to jego szczególny przypadek.
• Używasz go, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.
• Dla kątów rozwartych cosinus jest ujemny, więc uważaj na znaki.
• Wzór masz w tablicach CKE, więc skup się na tym, żeby wiedzieć, co gdzie podstawić.

📋 Chcesz sprawnie korzystać z tablic na egzaminie? Zajrzyj do artykułu 👉Tablice Maturalne do Matematyki Podstawowej z Dopiskami👈 i zobacz, jak szybko znajdować potrzebne wzory!