Twierdzenie sinusów: wzór, zastosowanie i zadania z rozwiązaniami

Opublikowano:26.09.2026

Zaktualizowano:03.11.2026

365 wyświetleń

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest taki sam i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie. Używasz go, gdy znasz bok i kąt naprzeciwko niego albo gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany na trójkącie.

Poniżej znajdziesz wzór, sposób na promień okręgu opisanego, pułapkę dwóch kątów i 10 zadań z rozwiązaniami, od matury podstawowej do rozszerzonej. Możesz też pobrać notatki A4 z tymi zadaniami do druku.

Jaki jest wzór twierdzenia sinusów

Weźmy dowolny trójkąt o bokach $a, b, c$ . Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a$ , kąt $\beta$ naprzeciwko boku $b$ , a kąt $\gamma$ naprzeciwko boku $c$ . Niech $R$ będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Najważniejsza zasada: w każdym ułamku bok i kąt leżą naprzeciwko siebie. Nigdy nie łącz boku z kątem, który do niego przylega.

W praktyce prawie nigdy nie używasz całego wzoru naraz. Bierzesz dwa ułamki i zapisujesz proporcję, np.

$\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}$

a potem mnożysz „na krzyż”. Wzór znajdziesz w tablicach CKE, więc nie musisz go pamiętać. Musisz za to wiedzieć, co gdzie podstawić.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie

Ostatnia część wzoru, $2R$ , to średnica okręgu, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Dzięki temu twierdzenie sinusów to najszybszy sposób na obliczenie promienia okręgu opisanego:

$R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$

Wystarczy, że znasz jeden bok i kąt leżący naprzeciwko niego. Jeśli w treści zadania pojawia się okrąg opisany na trójkącie, to prawie zawsze jest to sygnał, że trzeba sięgnąć po twierdzenie sinusów.

Kiedy użyć twierdzenia sinusów, a kiedy cosinusów

Wszystko zależy od tego, co masz dane:

Co znasz?	Czego użyć?
Dwa kąty i dowolny bok	twierdzenie sinusów
Bok i kąt naprzeciwko niego (np. żeby policzyć $R$ )	twierdzenie sinusów
Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi	twierdzenie sinusów
Dwa boki i kąt między nimi	twierdzenie cosinusów
Wszystkie trzy boki	twierdzenie cosinusów

Krótko mówiąc: do sinusów potrzebujesz przynajmniej jednej pary „bok i kąt naprzeciwko niego”. Jeśli takiej pary nie masz i nie da się jej łatwo wyznaczyć, wybierz cosinusy.

Pamiętaj też, że suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ . Gdy znasz dwa kąty, trzeci masz od razu, a często to właśnie on tworzy brakującą parę z podanym bokiem.

Jakie wartości sinusa warto znać

Kąt	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$

Zwróć uwagę, że sinus kąta rozwartego jest dodatni i równy sinusowi kąta ostrego, który dopełnia go do $180^\circ$ :

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

Na przykład $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ . Z tego wynika najważniejsza pułapka twierdzenia sinusów, opisana w następnej części.

Dlaczego z sinusa wychodzą dwa kąty

Gdy za pomocą twierdzenia sinusów liczysz kąt, dostajesz jego sinus. A jednemu sinusowi odpowiadają zwykle dwa kąty: ostry $\beta$ i rozwarty $180^\circ - \beta$ . Na przykład z $\sin\beta = \frac{1}{2}$ wychodzi $\beta = 30^\circ$ albo $\beta = 150^\circ$ .

Jak sprawdzić, który kąt pasuje

Zapisz oba kąty i sprawdź każdy z nich:

Dodaj każdy z nich do znanego już kąta. Jeśli suma jest równa $180^\circ$ lub większa, to ten kąt odpada.
Pomaga też prosta zasada: naprzeciwko dłuższego boku leży większy kąt. Jeśli szukany kąt leży naprzeciwko krótszego boku niż znany kąt, to musi być od niego mniejszy.

Czasem zostaje jedno rozwiązanie, a czasem oba są poprawne i w zadaniu istnieją dwa różne trójkąty. Obie sytuacje znajdziesz w zadaniach poniżej.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu sinusów

Bok i kąt, które nie leżą naprzeciwko siebie. W każdym ułamku musi być bok i kąt naprzeciwko niego, inaczej wynik będzie zły.
Zapominanie o trzecim kącie. Często brakującą parę do wzoru daje dopiero kąt policzony z sumy $180^\circ$ .
Zgubione drugie rozwiązanie. Przy liczeniu kąta zawsze sprawdź, czy kąt rozwarty też pasuje.
Mylenie $R$ z $2R$ . Wzór daje średnicę. Żeby dostać promień, podziel wynik przez 2.
Problemy z ułamkami piętrowymi. Dzielenie przez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ to to samo co mnożenie przez $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ . Warto to zapamiętać, bo pojawia się bardzo często.

Zadania z twierdzenia sinusów z rozwiązaniami

Rozwiąż każde zadanie samodzielnie, a dopiero potem kliknij „Pokaż rozwiązanie”. Zadania na rozgrzewkę i zadania z dwoma kątami pasują do matury podstawowej, a zadania z ostatniej grupy do rozszerzonej.

Twierdzenie sinusów: notatki i zadania do druku (A4)

Notatki z wzorami i 10 zadań z tego artykułu z kratką na rozwiązanie. Wydrukuj i rozwiązuj na papierze.

Format A4, gotowe do druku
Odpowiedzi na końcu

Administratorem danych jest Edubite Sp. z o.o. Adres e-mail wykorzystamy, żeby wysłać Ci to, o co prosisz, a newsletter tylko po zaznaczeniu zgody. Masz prawo dostępu do danych, ich poprawienia, usunięcia i sprzeciwu. Szczegóły w polityce prywatności.

Zadania na rozgrzewkę

Zadanie 1.1

zamknięte · 1 pkt

W trójkącie bok o długości $10$ leży naprzeciwko kąta $150^\circ$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:

Pokaż rozwiązanie

$2R = \dfrac{10}{\sin 150^\circ} = \dfrac{10}{\frac{1}{2}} = 20$

$R = 10$

Uwaga na odpowiedź C: to średnica, a nie promień.

Odpowiedź: B

Zadanie 1.2

otwarte · 2 pkt

W trójkącie bok $a = 6$ , kąt $\alpha = 30^\circ$ i kąt $\beta = 45^\circ$ . Oblicz długość boku $b$ .

Pokaż rozwiązanie

$\dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{b}{\sin 45^\circ}$

$b = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$

Odpowiedź: $b = 6\sqrt{2}$ .

Zadanie 1.3

otwarte · 2 pkt

W trójkącie $ABC$ bok $|AB| = 4\sqrt{2}$ , kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $30^\circ$ , a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $105^\circ$ . Oblicz długość boku $BC$ .

Pokaż rozwiązanie

$|\angle C| = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$

$\dfrac{|BC|}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$|BC| = \dfrac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4$

Odpowiedź: $|BC| = 4$ .

Zadania z dwoma kątami

Zadanie 2.1

otwarte · 2 pkt

W trójkącie bok $a = 4$ , bok $b = 4\sqrt{2}$ , a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $30^\circ$ . Oblicz miarę kąta $\beta$ .

Pokaż rozwiązanie

$\dfrac{4}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin\beta}$

$\sin\beta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\beta = 45^\circ$ albo $\beta = 135^\circ$

$30^\circ + 135^\circ = 165^\circ < 180^\circ$ , więc oba kąty pasują i istnieją dwa trójkąty.

Odpowiedź: $\beta = 45^\circ$ lub $\beta = 135^\circ$ .

Zadanie 2.2

otwarte · 2 pkt

W trójkącie bok $a = 2\sqrt{3}$ , bok $b = 2$ , a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $120^\circ$ . Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta.

Pokaż rozwiązanie

$\sin\beta = \dfrac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$

$\beta = 30^\circ$ albo $150^\circ$ , ale $120^\circ + 150^\circ > 180^\circ$

$\beta = 30^\circ$ , $\gamma = 30^\circ$

Odpowiedź: $30^\circ$ i $30^\circ$ .

Zadanie 2.3

zamknięte · 1 pkt

Ile jest trójkątów, w których bok $a = 5$ , bok $b = 8$ , a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $30^\circ$ ?

Pokaż rozwiązanie

$\sin\beta = \dfrac{8 \cdot \frac{1}{2}}{5} = \dfrac{4}{5} < 1$

$\beta \approx 53^\circ$ albo $\beta \approx 127^\circ$

$30^\circ + 127^\circ = 157^\circ < 180^\circ$ , więc oba kąty pasują i istnieją dwa trójkąty.

Odpowiedź: C

Zadania na poziomie rozszerzonym

Zadanie 3.1

otwarte · 3 pkt

W trójkącie dwa boki mają długości $5$ i $8$ , a kąt między nimi ma miarę $60^\circ$ . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie

$a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$

$a = 7$

$R = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź: $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .

Zadanie 3.2

otwarte · 3 pkt

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Kąt $BAD$ ma miarę $60^\circ$ , $|AB| = 3$ i $|AD| = 5$ . Oblicz długość przekątnej $BD$ i promień tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie

$|BD|^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 19$

$|BD| = \sqrt{19}$

Okrąg opisany na czworokącie jest też opisany na trójkącie $ABD$ .

$R = \dfrac{\sqrt{19}}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{57}}{3}$

Odpowiedź: $|BD| = \sqrt{19}$ , $R = \dfrac{\sqrt{57}}{3}$ .

Zadanie 3.3

otwarte · 3 pkt

W trójkącie $ABC$ zachodzi $\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = 3 : 5 : 7$ . Oblicz miarę największego kąta tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie

Z twierdzenia sinusów $a : b : c = 3 : 5 : 7$ .

$a = 3k$ , $b = 5k$ , $c = 7k$ , gdzie $k > 0$

Największy kąt $\gamma$ leży naprzeciwko najdłuższego boku $c$ .

$\cos\gamma = \dfrac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = -\dfrac{1}{2}$

$\gamma = 120^\circ$

Odpowiedź: $120^\circ$ .

Zadanie 3.4

otwarte · 2 pkt

Wykaż, że pole $P$ dowolnego trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ wpisanego w okrąg o promieniu $R$ jest równe $P = \dfrac{abc}{4R}$ .

Pokaż rozwiązanie

$P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Z twierdzenia sinusów $\sin\gamma = \dfrac{c}{2R}$ .

$P = \frac{1}{2}ab \cdot \dfrac{c}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$

Odpowiedź: Teza została wykazana.

Podsumowanie

Twierdzenie sinusów łączy każdy bok z sinusem kąta naprzeciwko niego.
Używasz go, gdy masz przynajmniej jedną parę „bok i kąt naprzeciwko”, oraz zawsze, gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany.
Przy liczeniu kąta sprawdzaj, czy nie ma dwóch rozwiązań.
Wzór masz w tablicach CKE, więc skup się na tym, żeby wiedzieć, co gdzie podstawić.

Drugie ważne twierdzenie o trójkątach znajdziesz w artykule Twierdzenie cosinusów: wzór, zastosowanie i zadania. Wszystkie wzory z trygonometrii na rozszerzenie są w notatce z trygonometrii na poziom rozszerzony.

Jak szybko znaleźć wzór w tablicach na egzaminie, pokazuję w artykule Tablice maturalne do matematyki z dopiskami.

Chcesz przygotować się do matury z matematyki według planu? Zapisz się na bezpłatne szkolenie: osobne do matury podstawowej i do rozszerzonej.

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Dziwnie prosty sposób, żeby zdać maturę z matmy na ponad 80%” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura podstawowa

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Jak zdać rozszerzenie z matmy na 80–100% dzięki metodzie schematów” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura rozszerzona

Masz twierdzenie sinusów na sprawdzianie w liceum? W kursie na sprawdziany i kartkówki są lekcje i zadania z każdego działu, dopasowane do Twojego podręcznika.

Kurs na sprawdziany: poziom podstawowy

Kurs na sprawdziany: poziom rozszerzony

Udostępnij artykuł:

Twierdzenie sinusów: wzór, zastosowanie i zadania z rozwiązaniami

Opublikowano:26.09.2026

Zaktualizowano:03.11.2026

Kamila, Matematyka Gryzie

365 wyświetleń

Jaki jest wzór twierdzenia sinusów

Najważniejsza zasada: w każdym ułamku bok i kąt leżą naprzeciwko siebie. Nigdy nie łącz boku z kątem, który do niego przylega.

W praktyce prawie nigdy nie używasz całego wzoru naraz. Bierzesz dwa ułamki i zapisujesz proporcję, np.

$\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}$

a potem mnożysz „na krzyż”. Wzór znajdziesz w tablicach CKE, więc nie musisz go pamiętać. Musisz za to wiedzieć, co gdzie podstawić.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie

$R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$

Kiedy użyć twierdzenia sinusów, a kiedy cosinusów

Wszystko zależy od tego, co masz dane:

Co znasz?	Czego użyć?
Dwa kąty i dowolny bok	twierdzenie sinusów
Bok i kąt naprzeciwko niego (np. żeby policzyć $R$ )	twierdzenie sinusów
Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi	twierdzenie sinusów
Dwa boki i kąt między nimi	twierdzenie cosinusów
Wszystkie trzy boki	twierdzenie cosinusów

Krótko mówiąc: do sinusów potrzebujesz przynajmniej jednej pary „bok i kąt naprzeciwko niego”. Jeśli takiej pary nie masz i nie da się jej łatwo wyznaczyć, wybierz cosinusy.

Pamiętaj też, że suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ . Gdy znasz dwa kąty, trzeci masz od razu, a często to właśnie on tworzy brakującą parę z podanym bokiem.

Jakie wartości sinusa warto znać

Kąt	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$

Zwróć uwagę, że sinus kąta rozwartego jest dodatni i równy sinusowi kąta ostrego, który dopełnia go do $180^\circ$ :

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

Na przykład $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ . Z tego wynika najważniejsza pułapka twierdzenia sinusów, opisana w następnej części.

Dlaczego z sinusa wychodzą dwa kąty

Jak sprawdzić, który kąt pasuje

Zapisz oba kąty i sprawdź każdy z nich:

Dodaj każdy z nich do znanego już kąta. Jeśli suma jest równa $180^\circ$ lub większa, to ten kąt odpada.
Pomaga też prosta zasada: naprzeciwko dłuższego boku leży większy kąt. Jeśli szukany kąt leży naprzeciwko krótszego boku niż znany kąt, to musi być od niego mniejszy.

Czasem zostaje jedno rozwiązanie, a czasem oba są poprawne i w zadaniu istnieją dwa różne trójkąty. Obie sytuacje znajdziesz w zadaniach poniżej.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu sinusów

Bok i kąt, które nie leżą naprzeciwko siebie. W każdym ułamku musi być bok i kąt naprzeciwko niego, inaczej wynik będzie zły.
Zapominanie o trzecim kącie. Często brakującą parę do wzoru daje dopiero kąt policzony z sumy $180^\circ$ .
Zgubione drugie rozwiązanie. Przy liczeniu kąta zawsze sprawdź, czy kąt rozwarty też pasuje.
Mylenie $R$ z $2R$ . Wzór daje średnicę. Żeby dostać promień, podziel wynik przez 2.
Problemy z ułamkami piętrowymi. Dzielenie przez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ to to samo co mnożenie przez $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ . Warto to zapamiętać, bo pojawia się bardzo często.

Zadania z twierdzenia sinusów z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów: notatki i zadania do druku (A4)

Notatki z wzorami i 10 zadań z tego artykułu z kratką na rozwiązanie. Wydrukuj i rozwiązuj na papierze.

Format A4, gotowe do druku
Odpowiedzi na końcu

Zadania na rozgrzewkę

Zadanie 1.1

zamknięte · 1 pkt

W trójkącie bok o długości $10$ leży naprzeciwko kąta $150^\circ$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:

Pokaż rozwiązanie

$2R = \dfrac{10}{\sin 150^\circ} = \dfrac{10}{\frac{1}{2}} = 20$

$R = 10$

Uwaga na odpowiedź C: to średnica, a nie promień.

Odpowiedź: B

Zadanie 1.2

otwarte · 2 pkt

W trójkącie bok $a = 6$ , kąt $\alpha = 30^\circ$ i kąt $\beta = 45^\circ$ . Oblicz długość boku $b$ .

Pokaż rozwiązanie

$\dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{b}{\sin 45^\circ}$

$b = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$

Odpowiedź: $b = 6\sqrt{2}$ .

Zadanie 1.3

otwarte · 2 pkt

W trójkącie $ABC$ bok $|AB| = 4\sqrt{2}$ , kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $30^\circ$ , a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $105^\circ$ . Oblicz długość boku $BC$ .

Pokaż rozwiązanie

$|\angle C| = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$

$\dfrac{|BC|}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$|BC| = \dfrac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4$

Odpowiedź: $|BC| = 4$ .

Zadania z dwoma kątami

Zadanie 2.1

otwarte · 2 pkt

W trójkącie bok $a = 4$ , bok $b = 4\sqrt{2}$ , a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $30^\circ$ . Oblicz miarę kąta $\beta$ .

Pokaż rozwiązanie

$\dfrac{4}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin\beta}$

$\sin\beta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\beta = 45^\circ$ albo $\beta = 135^\circ$

$30^\circ + 135^\circ = 165^\circ < 180^\circ$ , więc oba kąty pasują i istnieją dwa trójkąty.

Odpowiedź: $\beta = 45^\circ$ lub $\beta = 135^\circ$ .

Zadanie 2.2

otwarte · 2 pkt

W trójkącie bok $a = 2\sqrt{3}$ , bok $b = 2$ , a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $120^\circ$ . Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta.

Pokaż rozwiązanie

$\sin\beta = \dfrac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$

$\beta = 30^\circ$ albo $150^\circ$ , ale $120^\circ + 150^\circ > 180^\circ$

$\beta = 30^\circ$ , $\gamma = 30^\circ$

Odpowiedź: $30^\circ$ i $30^\circ$ .

Zadanie 2.3

zamknięte · 1 pkt

Ile jest trójkątów, w których bok $a = 5$ , bok $b = 8$ , a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $30^\circ$ ?

Pokaż rozwiązanie

$\sin\beta = \dfrac{8 \cdot \frac{1}{2}}{5} = \dfrac{4}{5} < 1$

$\beta \approx 53^\circ$ albo $\beta \approx 127^\circ$

$30^\circ + 127^\circ = 157^\circ < 180^\circ$ , więc oba kąty pasują i istnieją dwa trójkąty.

Odpowiedź: C

Zadania na poziomie rozszerzonym

Zadanie 3.1

otwarte · 3 pkt

W trójkącie dwa boki mają długości $5$ i $8$ , a kąt między nimi ma miarę $60^\circ$ . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie

$a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$

$a = 7$

$R = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź: $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ .

Zadanie 3.2

otwarte · 3 pkt

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Kąt $BAD$ ma miarę $60^\circ$ , $|AB| = 3$ i $|AD| = 5$ . Oblicz długość przekątnej $BD$ i promień tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie

$|BD|^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 19$

$|BD| = \sqrt{19}$

Okrąg opisany na czworokącie jest też opisany na trójkącie $ABD$ .

$R = \dfrac{\sqrt{19}}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{57}}{3}$

Odpowiedź: $|BD| = \sqrt{19}$ , $R = \dfrac{\sqrt{57}}{3}$ .

Zadanie 3.3

otwarte · 3 pkt

W trójkącie $ABC$ zachodzi $\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = 3 : 5 : 7$ . Oblicz miarę największego kąta tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie

Z twierdzenia sinusów $a : b : c = 3 : 5 : 7$ .

$a = 3k$ , $b = 5k$ , $c = 7k$ , gdzie $k > 0$

Największy kąt $\gamma$ leży naprzeciwko najdłuższego boku $c$ .

$\cos\gamma = \dfrac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = -\dfrac{1}{2}$

$\gamma = 120^\circ$

Odpowiedź: $120^\circ$ .

Zadanie 3.4

otwarte · 2 pkt

Wykaż, że pole $P$ dowolnego trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ wpisanego w okrąg o promieniu $R$ jest równe $P = \dfrac{abc}{4R}$ .

Pokaż rozwiązanie

$P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Z twierdzenia sinusów $\sin\gamma = \dfrac{c}{2R}$ .

$P = \frac{1}{2}ab \cdot \dfrac{c}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$

Odpowiedź: Teza została wykazana.

Podsumowanie

Twierdzenie sinusów łączy każdy bok z sinusem kąta naprzeciwko niego.
Używasz go, gdy masz przynajmniej jedną parę „bok i kąt naprzeciwko”, oraz zawsze, gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany.
Przy liczeniu kąta sprawdzaj, czy nie ma dwóch rozwiązań.
Wzór masz w tablicach CKE, więc skup się na tym, żeby wiedzieć, co gdzie podstawić.

Jak szybko znaleźć wzór w tablicach na egzaminie, pokazuję w artykule Tablice maturalne do matematyki z dopiskami.

Chcesz przygotować się do matury z matematyki według planu? Zapisz się na bezpłatne szkolenie: osobne do matury podstawowej i do rozszerzonej.

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Dziwnie prosty sposób, żeby zdać maturę z matmy na ponad 80%” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura podstawowa

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Jak zdać rozszerzenie z matmy na 80–100% dzięki metodzie schematów” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura rozszerzona

Masz twierdzenie sinusów na sprawdzianie w liceum? W kursie na sprawdziany i kartkówki są lekcje i zadania z każdego działu, dopasowane do Twojego podręcznika.

Kurs na sprawdziany: poziom podstawowy

Kurs na sprawdziany: poziom rozszerzony

Udostępnij artykuł: