Twierdzenie sinusów: wzór, zastosowanie i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów to jedno z dwóch najważniejszych narzędzi do liczenia w trójkątach, które nie są prostokątne. Drugie to twierdzenie cosinusów. Sinusy przydają się wtedy, gdy znasz kąty trójkąta i przynajmniej jeden bok, a także wtedy, gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany na trójkącie.

W tym artykule pokażę Ci wzór, wytłumaczę, kiedy go używać i na jaką pułapkę uważać, a na końcu znajdziesz 10 zadań z rozwiązaniami krok po kroku, żebyś mógł od razu wszystko przećwiczyć.

📐 Twierdzenie sinusów: wzór

Weźmy dowolny trójkąt o bokach $a, b, c$. Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $a$, kąt $\beta$ naprzeciwko boku $b$, a kąt $\gamma$ naprzeciwko boku $c$. Niech $R$ będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest taki sam dla wszystkich trzech boków i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Zapisane wzorem wygląda to tak:

$\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Najważniejsza zasada: w każdym ułamku bok i kąt leżą naprzeciwko siebie. Nigdy nie łącz boku z kątem, który do niego przylega.

W praktyce prawie nigdy nie używasz całego wzoru naraz. Bierzesz dwa ułamki i zapisujesz proporcję, np.

$\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}$

a potem mnożysz „na krzyż”. Wzór znajdziesz w tablicach CKE, więc nie musisz go pamiętać. Musisz za to wiedzieć, co gdzie podstawić.

⭕ Okrąg opisany, czyli skąd to 2R?

Ostatnia część wzoru, $2R$, to średnica okręgu, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Dzięki temu twierdzenie sinusów to najszybszy sposób na obliczenie promienia okręgu opisanego:

$R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$

Wystarczy, że znasz jeden bok i kąt leżący naprzeciwko niego. Jeśli w treści zadania pojawia się okrąg opisany na trójkącie, to prawie zawsze jest to sygnał, że trzeba sięgnąć po twierdzenie sinusów.

🎯 Kiedy używać twierdzenia sinusów, a kiedy cosinusów?

Wszystko zależy od tego, co masz dane:

Krótko mówiąc: do sinusów potrzebujesz przynajmniej jednej pary „bok i kąt naprzeciwko niego”. Jeśli takiej pary nie masz i nie da się jej łatwo wyznaczyć, wybierz cosinusy.

Pamiętaj też, że suma kątów w trójkącie to $180^\circ$. Gdy znasz dwa kąty, trzeci masz od razu, a często to właśnie on tworzy brakującą parę z podanym bokiem.

🧮 Wartości sinusa, które warto mieć pod ręką

Zwróć uwagę, że sinus kąta rozwartego jest dodatni i równy sinusowi kąta ostrego, który dopełnia go do $180^\circ$:

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

Na przykład $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Z tego wynika bardzo ważna pułapka, którą omawiam poniżej.

🔍 Pułapka: jeden sinus, dwa kąty

Gdy za pomocą twierdzenia sinusów liczysz kąt, dostajesz jego sinus. A jednemu sinusowi odpowiadają zwykle dwa kąty: ostry $\beta$ i rozwarty $180^\circ - \beta$. Na przykład z $\sin\beta = \frac{1}{2}$ wychodzi $\beta = 30^\circ$ albo $\beta = 150^\circ$.

Za każdym razem sprawdź, czy oba kąty mieszczą się w trójkącie:

• Dodaj każdy z nich do znanego już kąta. Jeśli suma jest równa $180^\circ$ lub większa, to ten kąt odpada.
• Pomaga też prosta zasada: naprzeciwko dłuższego boku leży większy kąt. Jeśli szukany kąt leży naprzeciwko krótszego boku niż znany kąt, to musi być od niego mniejszy.

Czasem zostaje jedno rozwiązanie, a czasem oba są poprawne i w zadaniu istnieją dwa różne trójkąty. Obie sytuacje znajdziesz w zadaniach poniżej.

⚠️ Najczęstsze błędy

• Bok i kąt, które nie leżą naprzeciwko siebie. W każdym ułamku musi być bok i kąt naprzeciwko niego, inaczej wynik będzie zły.
• Zapominanie o trzecim kącie. Często brakującą parę do wzoru daje dopiero kąt policzony z sumy $180^\circ$.
• Zgubione drugie rozwiązanie. Przy liczeniu kąta zawsze sprawdź, czy kąt rozwarty też pasuje.
• Mylenie $R$ z $2R$. Wzór daje średnicę. Żeby dostać promień, podziel wynik przez 2.
• Problemy z ułamkami piętrowymi. Dzielenie przez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ to to samo co mnożenie przez $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Warto to zapamiętać, bo pojawia się bardzo często.

✏️ Zadania do samodzielnego rozwiązania

Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązań poniżej.

Zadanie 1. W trójkącie bok $a = 6$, kąt $\alpha = 30^\circ$ i kąt $\beta = 45^\circ$. Oblicz długość boku $b$.

Zadanie 2. W trójkącie bok $a = 10$ leży naprzeciwko kąta $45^\circ$. Oblicz długość boku $b$, który leży naprzeciwko kąta $60^\circ$.

Zadanie 3. W trójkącie $ABC$ bok $AB = 4\sqrt{2}$, kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $30^\circ$, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $105^\circ$. Oblicz długość boku $BC$.

Zadanie 4. W trójkącie bok o długości 6 leży naprzeciwko kąta $30^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 5. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku 6.

Zadanie 6. W trójkącie bok $a = 4$, bok $b = 4\sqrt{2}$, a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $30^\circ$. Oblicz miarę kąta $\beta$.

Zadanie 7. W trójkącie bok $a = 2\sqrt{3}$, bok $b = 2$, a kąt $\alpha$ leżący naprzeciwko boku $a$ ma miarę $120^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta.

Zadanie 8. Na jednym brzegu rzeki wybrano dwa punkty $A$ i $B$ odległe od siebie o 100 m. Na drugim brzegu stoi drzewo $C$. Zmierzono kąty: $|\angle CAB| = 75^\circ$ i $|\angle CBA| = 60^\circ$. Oblicz odległość od punktu $A$ do drzewa.

Zadanie 9 (zamknięte). W trójkącie bok o długości 10 leży naprzeciwko kąta $150^\circ$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:

A. $5$ B. $10$ C. $20$ D. $10\sqrt{3}$

Zadanie 10. W trójkącie dwa boki mają długości 5 i 8, a kąt między nimi ma miarę $60^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Wskazówka: tu przyda się też twierdzenie cosinusów.

✅ Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 1

Bok $a$ i kąt $\alpha$ tworzą parę, bok $b$ i kąt $\beta$ też. Zapisujemy proporcję:

$\dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{b}{\sin 45^\circ}$

$b = \dfrac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$

Odpowiedź: $b = 6\sqrt{2}$.

Zadanie 2

$\dfrac{10}{\sin 45^\circ} = \dfrac{b}{\sin 60^\circ}$

$b = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6}$

Odpowiedź: $b = 5\sqrt{6}$.

Zadanie 3

Bok $AB$ leży naprzeciwko kąta przy wierzchołku $C$, a tego kąta nie znamy. Liczymy go z sumy kątów:

$|\angle C| = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$

Bok $BC$ leży naprzeciwko kąta przy wierzchołku $A$. Zapisujemy proporcję:

$\dfrac{BC}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$BC = \dfrac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4$

Odpowiedź: $BC = 4$.

Zadanie 4

$2R = \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{\frac{1}{2}} = 12$

$R = 6$

Odpowiedź: Promień okręgu opisanego jest równy 6.

Zadanie 5

W trójkącie równobocznym każdy kąt ma $60^\circ$.

$2R = \dfrac{6}{\sin 60^\circ} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

$R = 2\sqrt{3}$

Odpowiedź: $R = 2\sqrt{3}$. Możesz to sprawdzić znanym wzorem $R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Zadanie 6

$\dfrac{4}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin\beta}$

$\sin\beta = \dfrac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Stąd $\beta = 45^\circ$ albo $\beta = 135^\circ$. Sprawdzamy oba przypadki:

• $30^\circ + 45^\circ = 75^\circ < 180^\circ$, więc pasuje.
• $30^\circ + 135^\circ = 165^\circ < 180^\circ$, więc też pasuje.

Istnieją więc dwa różne trójkąty spełniające warunki zadania.

Odpowiedź: $\beta = 45^\circ$ lub $\beta = 135^\circ$.

Zadanie 7

$\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \dfrac{2}{\sin\beta}$

$\sin\beta = \dfrac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$

Stąd $\beta = 30^\circ$ albo $\beta = 150^\circ$. Drugi przypadek odpada, bo $120^\circ + 150^\circ > 180^\circ$. Trójkąt nie może mieć dwóch kątów rozwartych.

$\beta = 30^\circ$, $\gamma = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

Odpowiedź: Pozostałe kąty mają miary $30^\circ$ i $30^\circ$.

Zadanie 8

Punkty $A$, $B$ i $C$ tworzą trójkąt. Najpierw liczymy kąt przy drzewie:

$|\angle ACB| = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

Szukany odcinek $AC$ leży naprzeciwko kąta przy wierzchołku $B$, a znany bok $AB = 100$ naprzeciwko kąta przy wierzchołku $C$.

$\dfrac{AC}{\sin 60^\circ} = \dfrac{100}{\sin 45^\circ}$

$AC = \dfrac{100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{100\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{6} \approx 122{,}5$

Odpowiedź: Drzewo jest oddalone od punktu $A$ o $50\sqrt{6}$ m, czyli około 122,5 m.

Zadanie 9

$2R = \dfrac{10}{\sin 150^\circ} = \dfrac{10}{\frac{1}{2}} = 20$

$R = 10$

Odpowiedź: B. Uwaga na odpowiedź C, to jest średnica, a nie promień.

Zadanie 10

Do twierdzenia sinusów potrzebujemy boku naprzeciwko kąta $60^\circ$. Liczymy go z twierdzenia cosinusów:

$a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 - 40 = 49$, więc $a = 7$

Teraz twierdzenie sinusów:

$2R = \dfrac{7}{\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź: $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

📌 Podsumowanie

• Twierdzenie sinusów łączy każdy bok z sinusem kąta naprzeciwko niego.
• Używasz go, gdy masz przynajmniej jedną parę „bok i kąt naprzeciwko”, oraz zawsze, gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany.
• Przy liczeniu kąta sprawdzaj, czy nie ma dwóch rozwiązań.
• Wzór masz w tablicach CKE, więc skup się na tym, żeby wiedzieć, co gdzie podstawić.

📐 Chcesz mieć komplet? Zajrzyj do artykułu 👉Twierdzenie cosinusów: wzór, zastosowanie i zadania z rozwiązaniami👈 i przećwicz drugie najważniejsze twierdzenie o trójkątach!

📋 Chcesz sprawnie korzystać z tablic na egzaminie? Zajrzyj do artykułu 👉Tablice Maturalne do Matematyki Podstawowej z Dopiskami👈 i zobacz, jak szybko znajdować potrzebne wzory!