Matura podstawowa matematyka czerwiec 2011 arkusz + PDF

Próbny • OKE Łomża • czerwiec 2011 • formuła 2002

Arkusz matury podstawowej z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 1: Instrukcja dla zdającego: sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-19). Arkusz zawiera 13 zadań zamkniętych i 6 zadań otwartych. W zadaniach 1-13 wybierz jedną odpowiedź z czterech: A, B, C, D. Rozwiązania zadań 14-19 zapisz w wyznaczonych miejscach. Nie używaj korektora, błędne zapisy przekreśl. Przedstaw tok rozumowania. Pisz czytelnie czarnym tuszem. Zapisy w brudnopisie nie są oceniane. Obok zadań podana jest maksymalna liczba punktów. Możesz korzystać z zestawu wzorów, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 30 punktów.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 2: Zadanie 1: liczba a=∛4:∛(1/32), liczba odwrotna do a jest równa, wybierz odpowiedź A) -2, B) -1/2, C) 1/2, D) 2. Zadanie 2: równanie x³+4x²-x-4=0 ma dokładnie, wybierz odpowiedź A) trzy rozwiązania: x=-4, x=-1, x=1, B) trzy rozwiązania: x=-1, x=1, x=4, C) dwa rozwiązania: x=-4, x=1, D) dwa rozwiązania: x=-4, x=0. Zadanie 3: jeżeli log₉3=p, to liczba log₉75 jest równa, wybierz odpowiedź A) 25p, B) p+25, C) 2p, D) p+2. Zadanie 4: wartość wyrażenia (1+√3)²-(1-√3)² jest równa, wybierz odpowiedź A) 0, B) 2√3, C) 4√3, D) 8. Zadanie 5: dziedziną wyrażenia wymiernego (x-2)/(3-2x) jest, wybierz odpowiedź A) (-∞,2)∪(2,∞), B) (-∞,3/2)∪(3/2,∞), C) (-∞,1)∪(1,5)∪(5,∞), D) (-∞,-2)∪(-2,∞).

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 3: Brudnopis, strona zawiera siatkę kratkowaną do wykonywania obliczeń pomocniczych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 4: Zadanie 6: Punkty A=(-1,2) i B=(1,-6) należą do wykresu funkcji f. Funkcja f określona jest wzorem: A) f(x)=-4x+2, B) f(x)=-4x-2, C) f(x)=1/4x-2, D) f(x)=-1/4x-2. Zadanie 7: W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a1=2 oraz a2=2 1/5. Wtedy ar: A) 3, B) 3 1/5, C) 3 2/5, D) 4. Zadanie 8: W trójkącie równoramiennym ABC podstawa |AB|=6, ramiona |AC|=|BC|=5. Cosinus kąta przy podstawie trójkąta jest równy: A) 4/3, B) 3/4, C) 3/5, D) 4/5. Zadanie 9: Trójkąt ABC, |AC|=6 cm, |AB|=8 cm, |BC|=10 cm, podobny do trójkąta A'B'C', najkrótszy bok 15 cm. Obwód A'B'C' równy: A) 9,6 cm, B) 24 cm, C) 60 cm, D) 150 cm. Zadanie 10: W równoległoboku ABCD bok AB w prostej y=2x-3, wierzchołek D=(-2,1), bok DC w prostej: A) y=-2x+3, B) y=2x-1, C) y=2x+5, D) y=-x+1.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 5: Brudnopis, strona zawiera siatkę kratkowaną do wykonywania obliczeń pomocniczych i szkiców.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 6: Zadanie 11: W czasie remontu torowiska czas przejazdu pociągu wydłużył się o 25%. Prędkość zmniejszyła się o: A) 20% B) 25% C) 50% D) 80%. Zadanie 12: Maksymalny przedział, w którym funkcja y=4(x-3)²+2 jest malejąca to: A) (-∞,2) B) (-∞,3) C) (-∞,3) D) (-∞,2). Zadanie 13: Równanie okręgu o środku w punkcie S=(4,-5), stycznego do osi Ox, ma postać: A) (x+4)²+(y-5)²=16 B) (x-4)²+(y+5)²=25 C) (x+4)²+(y-5)²=25 D) (x-4)²+(y+5)²=16.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 7: Brudnopis z siatką kratkowaną, przeznaczony do notatek i obliczeń pomocniczych. Strona nie zawiera zadań ani treści merytorycznych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 8: Zadanie 14: Dwa okręgi o środkach S₁ i S₂ są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C. Wykazać, że kąt BAC jest prosty. Rysunek przedstawia dwa styczne okręgi z zaznaczonymi punktami styczności i prostą styczną.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 9: Zadanie 15: Trójkąt ABC jest prostokątny. W trójkącie tym miara kąta BAC jest równa 90°, |AB|=a+3, |AC|=a+4, |BC|=2a−5. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 10: Zadanie 16: Zbadaj, czy istnieje taki kąt ostry α, dla którego cosα = 2√6/7 i tgα = 1/2. Odpowiedź uzasadnij. Strona zawiera siatkę do rysunków pomocniczych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 11: Zadanie 17: Ciąg geometryczny (aₙ) określony jest wzorem aₙ = -2 * 3ⁿ⁺¹. Oblicz iloraz tego ciągu oraz sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu. Strona zawiera siatkę do obliczeń.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 12: Zadanie 18: Dany jest trójkąt równoboczny ABC, w którym wysokości przecinają się w punkcie o współrzędnych S=(1,3). Jeden z wierzchołków tego trójkąta ma współrzędne A=(-1,5). Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 13: Pusta strona z siatką do rysowania, brak widocznych zadań. Na dole strony miejsce na odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 14: Zadanie 19: Dwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą 310 m². Długość drugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od szerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 15: Pusta strona z kratką przeznaczona na rozwiązania zadań lub notatki. Brak widocznych zadań do opisania.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 16: Brudnopis z siatką kwadratową do wykonywania obliczeń i rysunków pomocniczych. Strona nie zawiera zadań ani treści egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 2: Odpowiedzi do zadań zamkniętych: 1-A, 2-A, 3-D, 4-C, 5-B, 6-B, 7-B, 8-B, 9-C, 10-C, 11-C, 12-A, 13-B. Schemat punktowania zadań otwartych: Zadanie 14 (2 pkt): Dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie A, styczna do okręgów w punktach B i C. Wykazanie, że kąt BAC jest prosty. Rozwiązanie: odcinki S₁B i S₂C równoległe, kąt CBA = ½∠BSA, kąt BCA = ½∠CSA, suma kątów CBA i BCA = 90°. Szkic dwóch stycznych okręgów z zaznaczonymi punktami styczności.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 3: Zadanie 1: Schemat oceniania, I sposób rozwiązania, 1 punkt za zauważenie równoległości odcinków i wykorzystanie twierdzenia o kącie środkowym, zapisanie równości kątów. 2 punkty za pełne rozumowanie, zapisanie sumy kątów. II sposób rozwiązania: rysunek z dwoma okręgami i trójkątami równoramiennymi, wyprowadzenie równości kątów, końcowy wynik γ=90°.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 4: Zadanie 4: Schemat oceny, II sposób: zauważenie prostopadłości odcinków i równoramienności trójkątów, zależność kątów 90°-α+90°-β+γ=180°, 1 punkt. Obliczenie kąta BAC=90°, 2 punkty. III sposób: rysunek z trójkątami i czworokątem, równoramienność, suma kątów 2α+2β=180°, kąt BAC=90°.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 5: Schemat oceniania III sposób rozwiązania. Zadanie: zauważa, że trójkąty S₁AB i AS₂C są równoramienne, zapisuje |∠S₁AB|=|∠S₁BA| i |∠S₂AC|=|∠AC₂S₂| i |∠BS₁A|=180°-2α oraz zauważa, że czworokąt S₁S₂CB jest trapezem, więc |∠AS₂C|=2α. Zadanie: zapisuje, że suma kątów trójkąta AS₂C jest równa: 2α+2β=180°, więc α+β=90° i kąt S₁AS₂ jest półpełny, więc |∠BAC|=90°. 1 punkt, 2 punkty.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 6: Zadanie 15 (2 pkt): Trójkąt prostokątny ABC, kąt BAC=90°. Dane: |AB|=a+3, |AC|=a+4, |BC|=2a-5. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa (a+3)²+(a+4)²=(2a-5)², a>2,5. Równanie 2a²-34a=0, a₂=17. Długości boków: |AB|=20, |AC|=21, |BC|=29. Szkic trójkąta z oznaczeniami boków. Punktacja: 1 pkt za rozwiązanie równania, 2 pkt za obliczenie długości boków. Uwagi dotyczące błędów rachunkowych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 7: Zadanie 16 (2 pkt): Zbadanie istnienia kąta ostrego α, dla którego cosα=2√6/7 i tgα=1/2. I sposób: rysunek trójkąta prostokątnego, oznaczenia: 2√6x, 7x, c. Twierdzenie Pitagorasa: (2√6x)² + c² = (7x)², c=5x, tgα=5/2√6, sprzeczność. II sposób: rysunek trójkąta prostokątnego, oznaczenia: x, 2x, c. Oba sposoby wykazują brak takiego kąta α.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 8: Zadanie 1: rozwiązanie równania z twierdzenia Pitagorasa (2x)² + x² = c², c = √5x. Obliczenia funkcji trygonometrycznych: cos x = 2√5/5, wynik: sprzeczność, kąt α nie istnieje. Schemat oceniania: 1 punkt za zaznaczenie kąta α i wyznaczenie boków, 2 punkty za obliczenie tg α = 5/2√6 lub cos α = 2√5/5 i stwierdzenie, że taki kąt nie istnieje.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 9: Zadanie III: wykorzystanie tożsamości trygonometrycznej sin²α + cos²α = 1, obliczenie sinα = 5/7, wyprowadzenie tgα = 5√6/12, sprzeczność z tgα = 1/2, brak takiego kąta α. Zadanie IV: obliczenie sinα = √6/7, sprzeczność z tożsamością, brak takiego kąta α. Schemat oceniania: 1 punkt za obliczenie sinα = 5/7 lub sinα = √6/7 z błędami.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 10: Zadanie (2 pkt): obliczenie tgα=5/2√6 przy sinα=5/7, stwierdzenie, że kąt nie istnieje. Alternatywnie, podstawienie sinα=√6/7 do sin²α+cos²α=1, kąt nie istnieje. V sposób: odczyt cosα=2√6/7, α≈46° (akceptujemy α≈45°), tgα=1/2, α≈27° (akceptujemy α≈26°). Schemat oceniania: 1 pkt za odczyt przybliżonej wartości kąta.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 11: Uwagi dotyczące oceny rozwiązań zadań. Wskazówki dotyczące wyznaczania wartości kąta α, odczytywania wartości cos α z tabeli oraz porównywania z wartością z treści zadania. Kryteria punktacji: błędne zaznaczenie kąta α ocena na 0 punktów, brak współczynnika proporcjonalności w trójkątach prostokątnych ocena na 0 punktów, nieodrzucenie odpowiedzi ujemnej ocena na 1 punkt.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2011, OKE Łomża - strona 12: Zadanie 17 (2 pkt): ciąg geometryczny określony wzorem $ a_n = -2 \cdot 3^{n-1} $. Obliczenie ilorazu $ q = 3 $ i pierwszego wyrazu $ a_1 = -18 $. Suma czterech początkowych wyrazów $ S_4 = -720 $ z użyciem wzoru na sumę ciągu geometrycznego. Dodatkowe obliczenia dla $ a_2 = -54 $, $ a_3 = -162 $, $ a_4 = -486 $. Punktacja: 1 punkt za poprawne obliczenie $ a_1 $ i $ q $, 2 punkty za pełne rozwiązanie.$