Matura podstawowa matematyka maj 2011 arkusz + PDF

CKE • maj 2011 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Pobierz oficjalne materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 1: Strona zawiera instrukcje dotyczące egzaminu. Zadanie 1: sprawdź, czy arkusz zawiera 20 stron (zadania 1–33). Zadanie 2: wpisz odpowiedzi w przeznaczonym miejscu. Zadanie 3: przenieś odpowiedzi z zadań zamkniętych na kartę odpowiedzi, zamaluj pola. Zadanie 4: pamiętaj o pełnej argumentacji w zadaniach otwartych. Zadanie 5: pisz czytelnie, używaj długopisu lub pióra. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1: wskaż nierówność, którą spełnia liczba π. Zadanie 2: pierwsza rata roweru stanowi 9% ceny, wynosi 189 zł, ile kosztuje rower? Zadanie 3: wyrażenie 5a²−10ab+15a jest równe iloczynowi. Zadanie 4: układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli a=?. Zadanie 5: rozwiązanie równania x(x+3)−49=x(x−4) należy do przedziału. Zadanie 6: najmniejsza liczba całkowita należąca do zbioru rozwiązań nierówności. Zadanie 7: wskaż zbiór na osi liczbowej spełniający nierówności.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 3: Brudnopis, strona zawiera siatkę kratkowaną do notatek i obliczeń pomocniczych, brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 4: Zadanie 8: wyrażenie log₄(2x−1) jest określone dla x spełniających warunek, wybierz poprawną odpowiedź. Zadanie 9: wskaz, który wykres przedstawia funkcję h(x)=f(x)⋅g(x) dla danych funkcji liniowych f(x)=x−2 i g(x)=x+4. Zadanie 10: funkcja liniowa f(x)=−√2x+4, znajdź miejsce zerowe. Zadanie 11: nieskończony ciąg geometryczny, znajdź a₁. Zadanie 12: nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny, wybierz poprawne równanie. Zadanie 13: kąt α ostry, cos α=5/13, znajdź sin α i tg α.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 5: Brudnopis, strona zawiera siatkę do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań egzaminacyjnych.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 6: Zadanie 14: wartość wyrażenia $\frac{\sin^2 38^\circ + \cos^2 38^\circ - 1}{\sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ + 1}$ jest równa. Zadanie 15: w prostopadłościanie ABCDEFGH, |AB|=5, |AD|=4, |AE|=3, który z odcinków AB, BG, GE, EB jest najdłuższy? Zadanie 16: punkt O jest środkiem okręgu, kąt wpisany α ma miarę. Zadanie 17: wysokość rombu o boku 6 i kącie ostrym 60° jest równa. Zadanie 18: prosta k ma równanie y=2x-3, wskaż równanie prostej l równoległej do k i przechodzącej przez punkt D(-2,1).$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 7: Brudnopis, pusta strona z siatką kwadratową do notatek i obliczeń pomocniczych.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 8: Zadanie 19: styczną do okręgu (x-1)²+y²-4=0 jest prosta o równaniu, wybierz poprawną odpowiedź. Zadanie 20: pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 54, długość przekątnej to? Zadanie 21: objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12, wybierz poprawną odpowiedź. Zadanie 22: prawdopodobieństwo uzyskania sumy oczek równej trzy przy rzucie dwiema kostkami. Zadanie 23: średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów wynosi 4, liczba x w tabeli.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 9: Brudnopis, strona zawiera siatkę złożoną z kwadratów, przeznaczoną do wykonywania obliczeń pomocniczych i szkiców. Brak zadań do rozwiązania.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 10: Zadanie 24: rozwiąż nierówność $3x^2 - 10x + 3 \leq 0$. Zadanie 25: uzasadnij, że jeżeli $a + b = 1$ i $a^2 + b^2 = 7$, to $a^4 + b^4 = 31$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 11: Zadanie 26: Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) zbiór wartości funkcji f, b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca. Wykres funkcji przedstawia linię łamaną z punktami na osi x od -5 do 9 i wartościami y od -3 do 4.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 12: Zadanie 27: Liczby x, y, 19 tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y. Zadanie 28: Kąt α jest ostry i sinα/cosα + cosα/sinα = 2. Oblicz wartość wyrażenia sinα · cosα.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 13: Zadanie 29: Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB równoległe do CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykazać, że kąt AED jest prosty. Poniżej znajduje się kratkowany obszar na odpowiedź. Na dole strony tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerami zadań 27, 28, 29, maksymalną liczbą punktów 2 i miejscem na uzyskaną liczbę punktów.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 14: Zadanie 30: Ze zbioru liczb {1, 2, 3, ..., 7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 15: Zadanie 31: Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 16: Zadanie 32: Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta. Strona zawiera siatkę do obliczeń.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 17: Strona zawiera puste pole z siatką do rysunków lub obliczeń oraz tabelę do wypełnienia przez egzaminatora. Tabela zawiera: Nr zadania 32, Maks. liczba pkt 5, Uzyskana liczba pkt. Brak treści zadania, strona przeznaczona na odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 18: Zadanie 33: Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1. Oblicz pole trójkąta KLM. Na rysunku przedstawiono sześcian z zaznaczonymi punktami K, L, M oraz trójkątem KLM.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 19: Strona zawiera kratkowany obszar przeznaczony na odpowiedź do zadania 33. Na dole strony znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 33, maksymalną liczbą punktów 4 oraz miejscem na uzyskaną liczbę punktów.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 20: Brudnopis. Strona przeznaczona na notatki i obliczenia pomocnicze, bez widocznych zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 21: Strona zawiera tabelę odpowiedzi do zadań zamkniętych od 1 do 23, z możliwością zaznaczenia jednej z czterech opcji: A, B, C, D. Po prawej stronie znajduje się tabela dla egzaminatora z punktacją zadań od 24 do 33, z miejscem na zaznaczenie punktów od 0 do 5. Na dole widoczna jest sekcja do wpisania sumy punktów.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 22: Strona zawiera pola na wpisanie kodu egzaminatora oraz kodu zdającego, a także miejsce na czytelny podpis egzaminatora. Nie zawiera treści zadań matematycznych ani elementów graficznych związanych z zadaniami.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej, odpowiedź C. Zadanie 2 (1 pkt): Wykonanie obliczeń procentowych, odpowiedź B. Zadanie 3 (1 pkt): Rozłożenie wielomianu na czynniki, odpowiedź B. Zadanie 4 (1 pkt): Rozwiązanie układu równań, odpowiedź D. Zadanie 5 (1 pkt): Rozwiązanie równania liniowego, odpowiedź D. Zadanie 6 (1 pkt): Sprawdzenie nierówności, odpowiedź B. Zadanie 7 (1 pkt): Interpretacja nierówności, odpowiedź C. Zadanie 8 (1 pkt): Wykorzystanie definicji logarytmu, odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 3: Zadanie 9 (0–1): Określenie funkcji i interpretowanie wykresów funkcji kwadratowych, odpowiedź A. Zadanie 10 (0–1): Obliczenie miejsca zerowego funkcji liniowej, odpowiedź D. Zadanie 11 (0–1): Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, odpowiedź D. Zadanie 12 (0–1): Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, odpowiedź C. Zadanie 13 (0–1): Wyznaczenie wartości funkcji kąta ostrego, odpowiedź A. Zadanie 14 (0–1): Zastosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi, odpowiedź B. Zadanie 15 (0–1): Znalezienie związków miarowych w przestrzeni, odpowiedź C. Zadanie 16 (0–1): Związki między kątem środkowym i wpisanym, odpowiedź B. Zadanie 17 (0–1): Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich, odpowiedź A.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 4: Zadanie 18 (0–1): Zbadanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie równań kierunkowych, odpowiedź C. Zadanie 19 (0–1): Posłużenie się równaniem okręgu i sprawdzanie styczności prostej, odpowiedź B. Zadanie 20 (0–1): Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie, odpowiedź D. Zadanie 21 (0–1): Wyznaczenie związków miarowych w bryłach obrotowych, odpowiedź B. Zadanie 22 (0–1): Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, odpowiedź D. Zadanie 23 (0–1): Obliczenie średniej arytmetycznej, odpowiedź D.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 5: Zadanie 24 (0–2 pkt): Rozwiązanie nierówności kwadratowej 3x²–10x+3. I sposób: obliczanie wyróżnika Δ=64, pierwiastki x₁=1/3, x₂=3, wykres paraboli z miejscami zerowymi. II sposób: postać kanoniczna, nierówność 3[(x-10/6)²-64/36]≤0. Wykorzystanie wzorów Viète’a, zapis postaci iloczynowej.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 6: Zadanie 4 (1 pkt): przekształcenie nierówności do postaci iloczynowej, 3(x-3)(x-1/3)≤0, lub równoważnej z wartością bezwzględną, |x-10/6|≤8/6. Drugi etap: zbiór rozwiązań 1/3≤x≤3 lub x∈(1/3,3). Schemat oceniania: 1 pkt za realizację pierwszego etapu z błędnym zbiorem rozwiązań. Przykłady błędów: błędne obliczenie pierwiastków, rozkład na czynniki, zapis nierówności.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 7: Zadanie 24 (2 pkt): podanie zbioru rozwiązań nierówności w formie przedziału (1/3, 3) lub graficznie na osi liczbowej z zaznaczonymi końcami przedziałów. Zadanie 25 (0-2 pkt): uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia, dwa sposoby rozwiązania, pierwszy z użyciem wzorów skróconego mnożenia, drugi przez przekształcenie tezy, wynik końcowy a²b²=9.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 8: Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania: 1 pkt za obliczenie ab=-3 lub przekształcenie a²b²=9 z błędem, 2 pkt za pełne rozumowanie. III sposób: obliczenie ab=-3, wzór dwumianowy Newtona, a⁴+b⁴=31. Schemat oceniania III sposobu: 1 pkt za wartość ab=-3 lub wzór Newtona z błędem, 2 pkt za pełne rozumowanie. IV sposób: układ równań a²+b²=7, a+b=1.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 9: Zadanie 1: Rozwiązanie układu równań $a^2 + b^2 = 7$ i $a + b = 1$ trzema sposobami. I sposób: podstawienie $b = 1 - a$, równanie kwadratowe $a^2 - a - 3 = 0$, $\Delta = 13$, rozwiązania $a = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$, $b = \frac{1 \mp \sqrt{13}}{2}$. II sposób: oznaczenie $a = \frac{1}{2} + x$, $b = \frac{1}{2} - x$, $x^2 = \frac{13}{4}$, rozwiązania jak w I sposobie. III sposób: układ równań $a + b = 1$, $ab = -3$, rozwiązania jak w I sposobie.$

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 10: Zadanie: obliczanie $a^4 + b^4$ za pomocą wzoru $(c+d)^4 + (c-d)^4 = 2c^4 + 12c^2d^2 + 2d^4$. Rozwiązanie: podstawienie $\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^4 + \left(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)^4$, obliczenia prowadzą do wyniku 31. Uwaga: alternatywne obliczenia dla $a^4$ i $b^4$ z różnymi wartościami. Punktacja: 1 pkt za obliczenie jednej wartości, 2 pkt za pełne rozumowanie.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 11: Zadanie 26 (0–2 pkt): odczytanie z wykresu zbioru wartości funkcji jako ⟨-2, 3⟩ oraz przedziału maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca jako ⟨-2, 2⟩. Schemat oceniania: 1 pkt za poprawne zapisanie zbioru wartości lub przedziału, 2 pkt za oba poprawne zapisy. Uwagi dotyczące akceptowalnych zapisów przedziałów i zbiorów wartości.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 12: Zadanie 27 (0-2 pkt): Modelowanie matematyczne, zastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. I sposób: układ równań 2y=x+19, x+y=8, rozwiązanie x=-1, y=9. II sposób: układ równań a₁+a₁+r=8, a₁+2r=19, rozwiązanie a₁=-1, r=10, x=a₁=-1, y=a₂=9. Punktacja: 1 pkt za zapisanie równań, 2 pkt za poprawne obliczenie x i y.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 13: Zadanie 27 (1-2 pkt): wprowadzenie oznaczeń x=a₁, y=a₂, 19=a₃, obliczenia sumy S₃=x+y+19=27, zastosowanie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, a₁=-1, y=9. Zadanie 28 (0-2 pkt): użycie tożsamości trygonometrycznych, sprowadzenie wyrażenia do wspólnego mianownika, sin²α+cos²α=1, wynik sinαcosα=½.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 14: II sposób rozwiązania: rysunek trójkąta prostokątnego z oznaczeniami boków a, b, c; zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: $c^2 = a^2 + b^2$; obliczenia prowadzą do $ \frac{c^2}{a \cdot b} = 2$; końcowy wynik: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$. III sposób rozwiązania: podobny rysunek trójkąta; wyprowadzenie $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$; obliczenia $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$; końcowy wynik: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$.$

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 15: Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania: 1 pkt za narysowanie trójkąta prostokątnego i zapisanie sin α = a/c, cos α = b/c, a² + b² = 2ab, zakończenie z błędem. 2 pkt za obliczenie sin α cos α = 1/2. IV sposób rozwiązania: zapis tg α + 1/tg α = 2, tg² α - 2tg α + 1 = 0, tg α = 1, α = 45°, sin 45° cos 45° = 1/2. Schemat oceniania IV sposobu: 1 pkt za zapisanie równania, 2 pkt za obliczenie sin α cos α = 1/2. V sposób: tg α = 1, α = 45°, sin 45° cos 45° = 1/2.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 16: Schemat oceniania V sposobu rozwiązania: 1 pkt za zapisanie, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2, tga=1 lub sinα/cosα=1, α=45°. 2 pkt za obliczenie sinαcosα=1/2. Zadanie 29 (0-2): Rozumowanie i argumentacja, uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty. I sposób rozwiązania: analiza trójkątów równoramiennych ABE i DCE, kąty wewnętrzne trapezu ABCD, końcowy wynik ∠AED=90°. Schemat oceniania I sposobu: 1 pkt za zależności między miarami kątów, 2 pkt za uzasadnienie ∠AED=90°.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 17: Zadanie 2: dowód geometryczny dotyczący trapezu ABCD z dorysowanym odcinkiem EF równoległym do podstaw. Trójkąty DCE i ABE są równoramienne. Kąty CED i AEB oznaczone jako α i β. Wyprowadzenie równości kątów oraz dowód, że kąt AED wynosi 90°. Szkic trapezu z zaznaczonymi kątami. Punktacja: 1 pkt za wskazanie równoramienności trójkątów i 2 pkt za uzasadnienie kąta AED=90°.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 18: Zadanie 3 (3 pkt): rozwiązanie zadania dotyczącego trapezu ABCD z kątem α. Trójkąty DCE i ABE są równoramienne. Kąty AEB i AEF obliczone jako (180°-α)/2, kąty EDC, CED, DEF jako α/2. Dorysowanie odcinka EF równoległego do podstawy trapezu. Ostateczny wniosek: kąt AED = 90°. Zadanie zawiera schemat oceny: 1 pkt za poprawne równoległości i kąty, 2 pkt za uzasadnienie kąta AED = 90°.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 19: Zadanie IV sposób rozwiązania: analiza trapezu ABCD z trójkątami równoramiennymi DCE i ABE, kąty α i β, wyprowadzenie zależności kątowych, kąt AED=90°, szkic trapezu z zaznaczonymi kątami. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie zależności kątowych, 2 pkt za uzasadnienie kąta AED=90°. Uwaga: przyjęcie dodatkowych założeń skutkuje 0 pkt.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 20: Zadanie 30 (0–2 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia. I sposób (metoda klasyczna): zdarzenia elementarne to pary (a, b), obliczono |Ω|=7², liczba sprzyjających zdarzeń |A|=16, P(A)=16/49. II sposób (metoda tabeli): tabela z krzyżykami, obliczono |Ω|=7², |A|=16, P(A)=16/49. Schemat oceniania: 1 pkt za obliczenie |Ω| lub |A|, 2 pkt za obliczenie P(A)=16/49.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 21: Zadanie 1: III sposób rozwiązania (metoda drzewa) - rysunek drzewa z gałęziami o prawdopodobieństwie 1/7, obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = 16 * 1/7 * 1/7 = 16/49. IV sposób rozwiązania (metoda drzewa) - rysunek drzewa z prawdopodobieństwami 2/7, 3/7, obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = 2/7 * 2/7 + 3/7 * 2/7 + 2/7 * 3/7 = 16/47.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 22: Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania, punktacja za narysowanie drzewa i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A jako 16/49. Zadanie 31 (0–4 pkt): wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej z okręgiem. I sposób rozwiązania: obliczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej, zapisanie równania prostej, rozwiązanie układu równań, współrzędne punktu styczności (23/5, 31/5).

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 23: Zadanie 1 (1 pkt): zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej y=2x-3, m=-1/2. Zadanie 2 (2 pkt): zapisanie układu równań, y=2x-3 i y=-1/2x+17/2. Zadanie 3 (3 pkt): przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, rozwiązanie x=23/5, y=31/5. Zadanie 4 (4 pkt): obliczenie współrzędnych punktu styczności (23/5, 31/5). Zadanie 5 (1 pkt): obliczenie odległości punktu S od prostej, d=4/√5. Zadanie 6 (2 pkt): zapisanie układu równań.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 24: Zadanie (3 pkt): zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. 5x²-46x+105=4/5. Rozwiązanie pełne (4 pkt): obliczenie współrzędnych punktu styczności P=(23/5, 31/5). III sposób rozwiązania: układ równań dla punktu styczności okręgu i prostej y=2x-3, przekształcenie do równania kwadratowego, Δ=0, r²=16/5, x=23/5. Punkt P=(23/5, 31/5). Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie układu równań, 2 pkt za przekształcenie do równania kwadratowego.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 25: Zadanie 32 (0-5 pkt): Modelowanie matematyczne, rozwiązanie zadania praktycznego prowadzącego do równania kwadratowego z jedną niewiadomą. I sposób: układ równań, przekształcenie do równania kwadratowego, Δ=9+112=121, x₁=-7 (sprzeczne), x₂=4, y=28, turysta przechodzi dziennie 28 km. II sposób: podobne przekształcenia, Δ=144+1792=1936, y₁=-16 (sprzeczne), y₂=28, turysta przechodzi dziennie 28 km.

Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 26: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań, x·y=112, 112−12x+3y−36=112, przekształcenie do y=4x+12, obliczenia dla x₁=−7, x₂=4, y=28, turysta przechodzi dziennie 28 km. Zadanie 2: rozwiązanie równania kwadratowego y²−12y−448=0, Δ=1936, y₁=−16, y₂=28, turysta przechodzi dziennie 28 km. Schemat oceniania: 1 pkt za niewielki postęp, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pokonanie trudności zadania.

$Matematyka, matura podstawowa, maj 2011, CKE - strona 27: Zadanie 3 (5 pkt): obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, wynik 28 km. III sposób rozwiązania: równanie $ y = \frac{112}{x} $, przekształcenie do $ x^2 + 3x - 28 = 0 $, rozwiązania $ x_1 = -7 $, $ x_2 = 4 $, obliczenie $ y = 28 $. Schemat oceniania: przyjęcie oznaczeń, zapisanie zależności, pokonanie trudności zadania, zapisanie równania z jedną niewiadomą.$